2차원 필터

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2차원 필터는 그 중요성과 여러 도메인에 걸쳐 높은 적용 가능성 때문에 상당한 개발 노력이 있었다.2-D의 경우 다차원 다항식들은 일반적으로 고려될 수 없기 때문에 상황은 1-D의 경우와 상당히 다르다.이것은 임의의 전송 기능이 일반적으로 특정 구현에 의해 요구되는 형태로 조작될 수 없다는 것을 의미한다.2-D IIR 필터의 입력-출력 관계는 입력 샘플과 이전에 계산된 출력 샘플을 사용하여 출력 샘플의 값을 계산할 수 있는 일정 효율 선형 부분 차이 방정식을 준수한다.출력 샘플의 값이 다시 공급되기 때문에, 2-D 필터는 1-D 필터와 마찬가지로 불안정할 수 있다.

동기 부여 및 적용

정보과학과 컴퓨팅 기술의 급속한 발전으로 디지털 필터 설계와 응용 이론은 비약적인 발전을 이루었다.우리는 실생활에서 방송신호, 텔레비전신호, 레이더신호, 이동전화신호, 내비게이션신호, 전파천문학신호, 생물의학신호, 제어신호, 기상신호, 지진신호, 기계진동신호, 원격감지, 원격측정신호 등 다양한 신호를 접한다.이들 신호의 대부분은 아날로그 신호로, 그 중 극히 일부만이 디지털 신호일 뿐이다.아날로그 신호는 1차원, 2차원 또는 다차원일 수 있는 독립변수의 연속 함수다.대부분의 경우 1차원 아날로그 신호의 변수는 시간이다.시간 표본 추출과 크기 탈각 후, 그러한 아날로그 신호는 1차원 디지털 신호가 될 것이다.결과적인 디지털 신호는 이산 시퀀스로 나타낼 수 있다.예를 들어, 한 가지 일반적인 신호는 음성 신호다.2차원 신호의 예로는 영상이 있다.필터는 신호를 다른 신호로 변환할 수 있는 시스템이다.그러한 변환의 예로는 노이즈 제거를 위한 신호 평활화, 신호에서 주파수 구성요소 제거, 신호 향상을 위한 주파수 구성요소 증폭 등이 있다.필터의 설계와 구현은 신호 분석과 처리 기술의 중요한 분기다.필터는 또한 신호 획득, 전송, 처리 및 교환에도 주요한 역할을 한다.

문제문 & 기본개념

디지털 필터

디지털 신호 필터링은 디지털 필터를 구현하고 있다.디지털 필터는 해당 신호의 특정 측면을 줄이거나 향상시키기 위해 샘플링된 이산 시간 신호에 대해 수학적 연산을 수행하는 시스템이다.입출력 신호는 모두 디지털 신호다.이는 다른 주요 유형의 전자 필터인 아날로그 필터는 연속 시간 아날로그 신호로 작동하는 전자 회로와 대조적이다.사실 디지털 필터와 아날로그 필터의 기본 개념은 같다.유일한 차이점은 신호의 종류와 필터링 방법뿐이다.디지털 필터는 소프트웨어에서 숫자로 구현될 수 있으며 높은 처리 정확도, 안정된 시스템, 부피, 가벼운 무게 등의 장점을 가지고 있다.디지털 필터에는 임피던스 매칭이 없으며 디지털 필터는 아날로그 필터로는 달성할 수 없는 특수한 필터링 기능을 수행할 수 있다.아날로그 신호는 아날로그-디지털 변환기를 이용해 디지털 필터를 통해 처리할 수도 있다.

2차원 디지털 필터

2차원 필터는 2차원 디지털 신호를 처리하는 데 사용된다.1-D와 2-D 디지털 필터 문제의 설계에는 중요한 차이가 있다.1-D 사례에서는 필터의 설계와 구현을 보다 쉽게 별도로 고려할 수 있다.필터는 먼저 설계할 수 있고, 그 다음, 전송 함수의 적절한 조작을 통해 특정 네트워크 구조에 의해 요구되는 계수를 결정할 수 있다.2-D 사례에서는 설계와 구현이 보다 밀접하게 관련되어 있다.다차원 다항식은 일반적으로 고려될 수 없기 때문이다.이것은 임의의 다차원 전송 기능이 일반적으로 특정 구현에 의해 요구되는 형태로 조작될 수 없다는 것을 의미한다.만약 우리의 구현이 오직 인수 가능한 전송 기능만을 실현할 수 있다면, 우리의 설계 알고리즘은 이 등급의 설계 전용 필터에 맞춰져야 한다.이는 설계 문제를 복잡하게 만들고 실제 구현 횟수를 제한하는 효과가 있다.디지털 필터는 유한충동 응답(FIR)과 무한충동 응답(IIIR)의 두 가지 주요 유형으로 분류할 수 있다. 2-D FIR 디지털 필터는 비재순환 알고리즘 구조에 의해, 2-D IIR 디지털 필터는 재귀 피드백 알고리즘 구조에 의해 달성된다.^[1]

기존 접근 방식

2-D IIR 필터의 직접 형태 구현

IIR 필터는 입력 샘플과 이전에 계산된 출력 샘플의 관점에서 하나의 출력 샘플을 표현하도록 차이 방정식을 재배열하여 직접 형태로 구현될 수 있다.^[2]첫 번째 사분원 필터의 경우 입력 신호 $x{\displaystyle (n{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$n ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\$ x$\left(n_{1},n_{2}\right})$와 출력 $신호{\displaystyle }$ y${\displaystyle ({n\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\$rig$}\rig$)는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle y\왼쪽(n_{1},n_{2}\오른쪽)=\sum _{l_{1}=0}^{L_{1}-1}\sum _{l_{2}=0}^{L_{2}-1}a(l_{1},l_{2})x(n_{1}-l_{1},n_{2}-l_{2})-\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})y(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})}$

임펄스 $\Delta {\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$n ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \delta(n_{1},n_{2})$에 대한 필터의 응답은 정의상$$ 임펄스 응답 h${\displaystyle ({n\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\$이므로 관계를 도출할 수 있다.

${\displaystyle h\left(n_{1},n_{2}\right)=a(l_{1},l_{2})-\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})h(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})}$

양쪽의 2-D z 변환을 취함으로써, 우리는 시스템$$기능 H${\displaystyle }$($z{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ) $displaystyle H\left(z_{1},z_{2}\right)$에 대해 해결할 수 있다$.$

${\displaystyle H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {\sum _{l_{1}=0}^{}L_{1}-1}\sum _{l_{2}=0}^{L_{2}-1}a(l_{1},l_{2})z_{1}^{-l_{1}}z_{2}^{-l_{2}}}{\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})z_{1}^{-k_{1}}z_{2}^{-k_{2}}}}={\frac {A_{z}(z_{1},z_{2})}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}}$

This ratio may be viewed as resulting from the cascade of two filters, an FIR filter with a system function equal to${\displaystyle A(z_{1},z_{2})}$ and an IIR filter with a system function equal to ${\displaystyle 1/B(z_{1},z_{2})}$, as shown in the figure below.^[3]

2-D IIR 필터의 병렬 구현

복잡한 2-D IIR 필터를 구축하는 또 다른 방법은 서브 필터의 병렬 상호연결에 의한 것이다.이 경우, 전체 전송 함수가 된다.

${\displaystyle H_{z}^{p}(z_{1},z_{2})=\sum _{{i=1}H_{z}^{(i)}{{1},z_{2}}}}}}}$

방정식 사용

${\displaystyle H_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})={\frac {A_{z}^{}}(z_{1},z_{2})}{B_{z}^{{z}}}}}(z_{1},z_{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})$

그리고 공통분모 위에 합을 전달함수에 넣으면 확장된 형태를 얻을 수 있다.

${\displaystyle H_{z}^{p}(z_{1},z_{2})={\frac {A_{z}^{p}(z_{1},z_{2})}{B_{z}^{p}(z_{1},z_{2})}}={\frac {\sum _{j=1}^{N}\prod _{ij}A_{z}^{(j)}(z_{1},z_{2})B_{z}^{(j)}(z_{1},z_{2})}{\prod _{{i=1}^{N}B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}}}}}}}}}}}}}$

임의의 2-D 합리적 시스템 기능을 구현하기 위해 병렬 형식을 사용할 수 없다.^[4]그럼에도 불구하고 우리는 병렬 아키텍처에 의해 구현될 수 있는 흥미로운 2-D IIR 필터를 합성할 수 있다.예를 들어 다중 패스밴드로 필터를 설계할 때 병렬형식이 유리할 수 있다.또한 병렬 구현은 충격 반응이 대칭 필터와 같은 단일 사분면에 국한되지 않는 2-D IIR 필터를 구현하는 데 유용할 수 있다.

유전자 알고리즘을 이용한 2차원 IIR 필터 설계

2-D IIR 디지털 필터의 많은 설계 기법이 문헌에 보고되었다.^[1][2][3][4]지난 10년 동안 유전자 알고리즘은 디지털 필터 설계에 성공적으로 사용되어 왔다.여기서는 GA 기반 설계법이라고 하는 2-D IIR 필터의 설계 방법을 제시한다.

초기화

아래 그림은 제안된 GA 기반 설계 흐름을 보여준다.필터 계수는 CSD 번호 표현으로 인코딩된다.인구초기화에서는 염색체가 무작위로 생성된다.각 계수는 사전 지정된 단어 길이와 0이 아닌 숫자의 최대 개수를 가지며, 원하는 값으로 설정할 수 있다.^[5]

유전 연산자

룰렛 휠 셀렉션이 재생산자로 사용된다.각 교차 연산 후 교차점이 위치한 계수는 CSD 형식에서 점검된다.돌연변이 연산은 단순한 단일 비트 플립이다.돌연변이 후 자손의 각 계수는 CSD 포맷으로 점검한다.

체력 평가 및 교체 전략

체력평가는 2단계 과정이다.첫 번째 단계는 안정성 삼각형을 사용하여 각 2차 주문 섹션의 안정성을 점검하는 것이다.검사에 실패한 염색체에는 피트니스 값 0이 할당된다.노후 세대교체에는 엘리티스트 전략이 적용된다.생식 후 자손에서 가장 좋은 염색체와 가장 나쁜 염색체가 발견된다.설계된 필터는 분리 불가능한 분자와 분리 가능한 분모 전달 기능을 가지고 있다.^[6]숫자 복원 기법은 필터 계수가 미리 지정된 CSD 형식으로 표시되도록 하기 위해 사용된다.

참조