비튼 제타 함수

수학에서 위튼제타 함수는 해당 리 그룹의 불가해한 표현 정도를 암호화하는 루트 시스템과 연관된 함수다.이러한 제타 기능은 에드워드 위튼이 그들의 특별한 가치에 대해 연구한 (다른 것들 중)의 이름을 딴 돈 자기에에 의해 도입되었다.^[1][2]에서는 ^[2]비튼 제타 함수가 그 자체로 명시적 객체로 나타나지 않는다는 점에 유의한다.

정의

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 콤팩트한 세미 구현 Lie 그룹인 경우 관련 Witten zeta 함수는 시리즈(영문형 연속)이다.

${\displaystyle \zeta _{G}=\sum _{\rho }{\frac {1}{{{(\dim \rho )^{s}}}}$

여기서 합은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 수정 불가능한 표현에 대한 과당량 등급이다$.$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 연결되고 단순하게 연결된 경우, Weyl 치수 공식과 함께 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과(와) Lie 대수 사이의 대응은 $\zeta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$(${\displaystyle s)}$ ${\displaysty \zeta _{G}}}$은(가)로 쓸 수 있음을$$ 암시한다.

${\displaystyle \sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}\prod _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\frac {1}{\langle \alpha ^{\lor },m_{1}\lambda _{1}+\cdots +m_{r}\lambda _{r}\rangle ^{s}}},}$

여기서 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$+ ${\$는 양의 뿌리 집합을 나타내며$$$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}\}}}}$는 단순한$$ 뿌리 집합이고 r ${\displaysty$ r$}$은 $순위$다.

예

• ${\displaystyle {\zeta }_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$( ${\displaystyle 2_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \zeta }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \zeta _{SU(2)}=\zeta$ ($s)}$ ,$$Riemann 제타 함수.
• ${\displaystyle \zeta _{SU(3)=\sum _{x=1}^{\inflt }{y=1}^{\frac {1}{(x+y)/2)^{s}}.}$

수렴의 압시사

If ${\displaystyle G}$ is simple and simply connected, the abscissa of convergence of ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ is ${\displaystyle r/\kappa }$, where ${\displaystyle r}$ is the rank and ${\displaystyle \kappa = \Phi ^{+} }$.이것은 알렉스 루보츠키와 마이클 라르센에 의한 정리다.^[3]보다 일반적인 결과를 산출하는, 즉 형태의 어떤 "멜린 제타 함수"의 융합에 대한 추상적인 가치(단순 결합의 관점에서)를 부여하는 새로운^[4] 증거가 요크 헤세와 알렉산더 스타신스키에 의해 제시된다.

${\displaystyle \sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{}{\frac {1}{p(x_{1},\dots,x_{r}}}^{s}}}}}}}}}}}$

여기서 $P{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{r}}$는 음이$$ 아닌 실제 계수를 갖는 선형 다항식의 산물이다.

참조