다중성(통계 역학)

통계역학에서 다중성(통계적 무게라고도 함)은 열역학 시스템의 특정한 매크로 상태에 해당하는 마이크로스테이트의 수를 가리킨다.^[1]일반적으로 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$로 표시되며$,$ 볼츠만의 엔트로피 공식을 통해 분리된 시스템의 구성 엔트로피와 관련이 있다.

$\displaystyle S=k\log \Oomega ,}$

여기서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은 엔트로피이고 k${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1.38}$⋅ ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle 23{}^{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle J\mathrm{}}$/ K ${\$은 볼츠만의 상수다.

예제: 2-상태 파라마그넷

2-상태 파라자석의 단순화된 모델은 특정한 매크로 상태의 다중성을 계산하는 과정의 예를 제공한다.^[1]이 모델은 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 현미경$$ 다이폴 ${\displaystyle \mu }$의 시스템으로 구성되며, $이$ μ{\$displaystyle B}$과(와$)$ 정렬되거나 반정렬될 수 있다$.$ Let $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\uparrow }_{}}$ ${\$은 외부 F와 정렬된 디폴의 수를 나타낸다$$.ield 및 $↓{\$은(는) 반정렬 쌍각형의 수를 나타낸다$$.정렬된 단일 이중극의 에너지는 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\uparrow }_{}}$=${\displaystyle \mathrm{-\mu B}}$ ${\displaystyle U_{\uparrow }=-\mu B}$인 반면$,$ 반정렬 이중극의 에너지는 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\downarrow }_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\mu B}}$ ${\displaystyle U_{\downarrow }=\mu B}$이다$.$ 따라서 시스템의 전체 에너지는

${\displaystyle U=(N_{\downarrow }-N_{\uparrow }\mu B.}$

목표는 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 함수로써 다중성을 결정하는 것이다$.$ 여기서부터 시스템의 엔트로피 및 기타 열역학적 특성을 결정할 수 있다.단, $↑{\$ $↓{\$의 함수로써 다중성을 계산하는 것이 중간 단계로 유용하며$,$ 이 접근방법은 사용 가능한 매크로스테이트 수가 ${\displaystyle \mathrm{N}}$+ 1 ${\displaysty N+1}$임을 보여준다$.$For example, in a very small system with ${\displaystyle N=2}$ dipoles, there are three macrostates, corresponding to ${\displaystyle N_{\uparrow }=0,1\,\mathrm {or} \,2}$. Since the ${\displaystyle N_{\uparrow }=0}$ and ${\displaystyle N_{\uparrow }=2}$ macrostates r두 쌍극 모두 각각 반정렬 또는 정렬된 상태여야 하며, 두 상태 중 하나의 다중성은 1이다.그러나 $N{\displaystyle {}_{}}$ ↑${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle {}_{}1}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }=$1}에서$$정렬된 쌍극자에 대해 쌍극자를 선택할 수 있으므로 다중성은 2이다$.$일반적인 경우, $↑{\$ 정렬된$$ 쌍극자(dipole)가 콤비네이터에서 따르며, 그 결과 다음과 같은 결과가 나타난다.

${\displaystyle \Oomega ={\frac {N!}{{N_{\uparrow }!(N-N_{\uparrow })!}}}}={\frac{N!}{{N_{\uparrow }!N_{\downarrow }!}},}$

여기서 두 ${\displaystyle {}_{}}$ 단계는 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\uparrow }_{}}$+ N ${\displaystyle {\downarrow }_{}}$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{\uparrow }+N_{\downarrow }=N}$라는 사실로부터 따르게 된다$.$

Since ${\displaystyle N_{\uparrow }-N_{\downarrow }=-U/\mu B}$, the energy ${\displaystyle U}$ can be related to ${\displaystyle N_{\uparrow }}$ and ${\displaystyle N_{\downarrow }}$ as follows:

${\displaystyle {\reasoned}N_{\uparrow }&={\frac {N}{2}}-{\frac {U}{2\mu B}\\\N_{\downarrow }&={\frac{{N}}}}}}}{\frac}{2\frac {U}{2\muB}}}}}}.\end{정렬}}}$

따라서 내부 에너지의 함수로서 다중성에 대한 최종 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \Oomega ={\frac {N!}{{(N/2-U/2\mu B)!(N/2+U/2\mu B)!}}.}$

이것은 볼츠만의 엔트로피 공식에 따라 엔트로피를 계산하는 데 사용될 수 있다; 거기서 온도와 열 용량과 같은 다른 유용한 특성을 계산할 수 있다.

참조

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