S정리m n

계산가능성 이론에서 S
mn 정리(번역 보조정리, 매개변수 정리, 매개 변수화 정리라고도 함)는 프로그래밍 언어에 관한 기본적인 결과이다(그리고 더 일반적으로 계산 가능한 함수의 괴델 수). (Soare 1987, Rogers 1967).그것은 스티븐 콜 클린에 의해 처음 증명되었다.S
mn이라는 이름은 정리의 원래 공식에 첨자 n과 윗첨자 m이 있는 S의 발생에서 유래합니다(아래 참조).

실질적으로, 이 정리는 주어진 프로그래밍 언어와 양의 정수 m과 n에 대해, m + n 자유 변수를 가진 프로그램의 소스 코드를 m 값과 함께 입력으로 받아들이는 특정한 알고리즘이 존재한다고 말한다.이 알고리즘은 첫 번째 m 자유 변수의 값을 효과적으로 대체하고 나머지 변수는 빈 상태로 두는 소스 코드를 생성합니다.

세부 사항

이 정리의 기본 형식은 두 가지 주장의 함수에 적용된다(Nies 2009, 페이지 6).재귀함수의 Gödel $번호부여{\displaystyle }$ ${\$ { $style \varphi }$가 주어지면 다음 속성을 가진 2개의 인수에는 2개의 기본 재귀함수 s가 있습니다: 2개의 인수를 가진 부분 계산가능함수 f의 각 Gödel 번호 p에 대해 ${\displaystyle {식}_{}}$ ${\displaystyle {(}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$( p${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}x}$ )${\displaystyle }$($$y ) \ $displaystyle$ \$varphi _${ $s ( px$ )$$} }${\displaystyle }$및 ${\displaystyle \mathrm{fx}}$ }${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$ $)({displaystyle$ f$(x,y)}$는 자연수 x와 y의 동일한 조합에 대해 정의되며 이러한 조합에 대해 값이 동일합니다.즉, 모든 x에 대해 다음과 같은 함수의 확장적 균등성이 유지됩니다.

$\displaystyle \varphi _{s(p,x)}\displayq \displayda y.\varphi _{p}(x,y)}$

보다 일반적으로 m, n > 0에 대해 m + 1 인수의 원시 재귀 $함수{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle S_{}^{}}$ n$$ {\$displaystyle S_{n}^{$m_m$}$이 존재하며, m + n 인수가 있는 부분 계산 가능 함수의 모든₁ Gödel 수 p에 대해 다음과 같이 동작합니다.

$\displaystyle \varphi _{S_{n}^{m}(p,x_{1},\dots,x_{m})\simeq \lambda y_{1},\dots,y_{n}.\varphi _{p}(x_{1},\varphi,x_{m},y_{1},\varphi,y_{n}).}$

위에서 설명한 기능은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$1 {{$displaystyle S_{1}^{1$로 간주할 수 있습니다.

형식적 진술

모든 Turing ${\displaystyle {\text{Machine}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$x \$style \text${ \ $display$ $style$ m$$}$및$ n \ $displaystyle$ n$$$ities{\displaystyle }$ 。$TM}}_{x}$의 $arity{\displaystyle }$m +$$({$displaystyle$ m$+n$$})$ 및 가능한 모든 ${\displaystyle {입력값\mathrm{}}_{}}$ y1${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ $ym {$에 Turing 머신 ${\displaystyle {}_{}}$k {$displaystyle {text}$이 존재합니다.TM$}_{k}$의 $arity{\displaystyle }$n(\$displaystyle$ n$)$을 $나타냅니다$.

$\displaystyle \forall z_{1},\displays,z_{n:{\text{TM}}_{x}(y_{1},\dots,y_{m},z_{1},\text,z_{n}=text{}TM}_{k}(z_{1},\dots,z_{n}).}$

${\displaystyle {또한}_{}^{}}$ x$({$${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle \}}$ $및$ y$displaystyle$y$\})$에서$$k${\displaystyle {}_{}^{}}$$displaystyle$ k$})$를 $계산$할 수 $있는{\displaystyle }$ 튜링 $머신{\displaystyle }$S$({displaystyle$ S$})$도 있습니다${\displaystyle .}$

비공식적으로 S$(\displaystyle$ S$)$가 튜링 ${\displaystyle {\text{머신}}_{}}$의 ${\displaystyle {}_{}}$k(\$displaystyle\text)$를 찾습니다.$TM}}_{$k$$}:$y$의 값을$$ ${\displaystyle {}_{}}$x$\$$displaystyle$로 하드코딩한 결과입니다$.$$TM}_{x$그 결과는 모든 튜링 완전 컴퓨팅 모델로 일반화된다.

예

다음 Lisp 코드는 를 Lisp용으로 구현합니다₁₁.

 (삭제하다 s11 (f x)    (허락하다 ((y (겐시)))      (목록. '네바다' (목록. y) (목록. f x y)))) 

예를들면,(s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3)까지 평가하다.(lambda (g42) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 g42)).

「 」를 참조해 주세요.

• 카레잉
• 클라인의 재귀 정리
• 부분평가

레퍼런스

• Kleene, S. C. (1936). "General recursive functions of natural numbers". Mathematische Annalen. 112 (1): 727–742. doi:10.1007/BF01565439.
• Kleene, S. C. (1938). "On Notations for Ordinal Numbers" (PDF). The Journal of Symbolic Logic. 3: 150–155. (이는 1989년판 오디프레디의 "고전 재귀 이론"이 131페이지에서 ${\displaystyle S_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m$({n}{m$}) $정리$에 대한 참조이다.)
• Nies, A. (2009). Computability and randomness. Oxford Logic Guides. Vol. 51. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923076-1. Zbl 1169.03034.
• Odifreddi, P. (1999). Classical Recursion Theory. North-Holland. ISBN 0-444-87295-7.
• Rogers, H. (1987) [1967]. The Theory of Recursive Functions and Effective Computability. First MIT press paperback edition. ISBN 0-262-68052-1.
• Soare, R. (1987). Recursively enumerable sets and degrees. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag. ISBN 3-540-15299-7.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Kleene's s-m-n Theorem". MathWorld.