세티 모형

세티 모델은 수레쉬 P에 의해 개발되었다. 세티(Sethi)는 광고에 대응하여 매출이 시간이 지남에 따라 어떻게 진화하는지에 대해 설명하고 있다.^[1][2]모델은 미분양 부분에 긍정적으로 작용하는 광고에 대한 대응, 시장의 판매 부분에 부정적으로 작용하는 경쟁적 요인에 의한 망각 또는 가능성으로 인한 손실, 어느 쪽으로든 갈 수 있는 무작위 효과 등 세 가지 효과에 따라 매출 변동률이 좌우된다고 가정한다.

수레쉬 세티는 1983년에 자신의 논문 "동적 광고 모델의 결정론적이고 확률론적 최적화"를 발표했다.^[1]세티 모델은 Vidale-Wolfe 광고 모델의 확률적 확장일 뿐만 아니라 수정이다.^[3]모델과 그 경쟁력과 다중 에셀론 채널 확장은 문헌에서^[4] 광범위하게 사용되어 왔다.^{[5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23][24][25][26][27][28]}게다가, 이러한 확장들 중 일부는 경험적으로 시험되었다.^{[6][7][10][13]}

모델

Sethi 광고 모델 또는 단순하게 Sethi 모델은 다음과 같은 확률적 미분 방정식의 형태로 판매 광고 역동성을 제공한다.

${\displaystyle dX_{t}=\left(rU_{t}{\sqrt {1-X_{t}}}-\delta X_{t}\right)\,dt+\sigma (X_{t})\,dz_{t},\qquad X_{0}=x}$.

위치:

• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$의 시장 점유율이다.
• ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 $시간{\displaystyle }$ t$${\$displaystyle t}$의 광고 비율이다.
• ${\displaystyle r}$ $[\displaystyle r}$은(는) 광고 효과의 계수임
• ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \delta }$은(는) 붕괴 상수임
• ${\displaystyle \sigma }$( ${\displaystyle X_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \sigma (X_{t}})$는 확산 계수임
• ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$은 Wiener 공정(표준 브라운 운동)이며 d z t ${\$은 White noise로 알려져 있다.

설명

매출 변동률은 세 가지 효과에 따라 달라진다: $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$을 통해 시장의 미분양 부분에 긍정적으로 작용하는 광고에 대한 반응$,$ ${\displaystyle \delta}$을$$통해 시장의 판매 부분에 부정적으로 작용하는 경쟁적 요인에 의한 손실 또는 가능한 가능성, 그리고 무작위 효과 usin.g 어느 쪽으로든 갈 수 있는 확산 또는 백색 소음 용어.

• 계수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은 광고 혁신 효과의 계수다.
• 계수 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은(는) 붕괴 상수다$$.
• 제곱근이라는 용어는 적어도 낮은 판매 수준에서는 소위 입소문 효과를 가져온다.^[1][5]
• 확산 용어 $\sigma {\displaystyle (X_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle d}$ z ${\displaystyle t_{}}$ ${\$}}}}{t$}})$는 랜덤 효과를 가져온다$$.

최적의 광고 문제의 예

초기 시장 점유율 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과 함께 위의 Sethi 모델에 따라 다음과 같은 목표 기능을 고려하십시오$.$

${\displaystyle V(x)=\max _{U_{t}\geq 0}\;E\left[\int _{0}^{0}^{}e^{-\rho t}(\pi X_{t}-U_{t}^{2}}\,dt\오른쪽),}$

여기서 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$은 총 시장에 해당하는 매출 수익을 나타내며$$, 즉, $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=1},$> ${\displaysty \rho >0}$은 할인율을 나타낸다.

${\displaystyle 이}$ 문제의 값 함수는$$V ( x ) {\$displaystyle$ V$(x)}$로 알려져 있으며, 다음과$$ 같이^[2] 표시된다${\displaystyle .}$

${\displaystyle V(x)={\bar {\lambda }x+{\frac {{\bar {{\lambda }^{2}r^{2}}{4\rho },}$

어디에

${\displaystyle {\bar {\bar {\bar}}={\frac {{\sqrt {(\rho +\pi )^{2}+r^{2}-(\rho +\pi )}{r^{r^{2}.}$

이^[2] 문제에 대한 최적의 제어는

${\displaystyle U_{t}^{*}=u^{*}(X_{t})={\frac {r{\bar {\lambda }}{\sqrt {1-\ X_{t}}}}{2}}={\begin{cases}{}>{\bar {u}}&{\text{if }}X_{t}<{\bar {x}},\\{}={\bar {u}}&{\text{if }}X_{t}={\bar {x}},\\{}<{\bar {u}}&{\text{if }}X_{t}>{\bar {x}},\end{cases}}}$

어디에

${\displaystyle {\x}={\frac {r^{2}{\bar {\bar {\bar}{{r^{2}{r^{2}{\bar {\bar}}{\bar {\bar {}/2+\}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle {\bar{u}}={\frac {r{\bar{\bar}}}{\sqrt{1-{\bar{x}}}{2}}.}$

Sethi 모델의 확장

• 경쟁력 모델:나시 차등 게임^{[5][8][9][10][11][13][14][18][19][20][21][22][23][26][27][28]}
• 멀티 에셀론 모델^[4]
• Sethi 모델 및 확장의^{[6][7][10][13]} 경험적 시험
• 공동 광고:Stackelberg 차등 게임
• 세티 내구재 모델^{[17][18][20][24][26]}

참고 항목

• 베이스 확산 모델
• 차등 경기
• 확률 미분 방정식
• 혁신의 확산
• 스택레버그 대회
• 나시 평형

참조