슈뢰더-번스타인 연산자 알헤브라스 이론

세트 이론에서 나온 슈뢰더-번스타인 정리는 컨텍스트 연산자 알헤브라스에서 유사점을 가지고 있다.이 기사는 그러한 운영자-알지브레이크 결과에 대해 논한다.

폰 노이만 알헤브라스

M이 폰 노이만 대수이고 E, F가 M의 투영이라고 가정하자.~는 M에 Murray-von Neumann 동등성 관계를 나타낸다.E ~ F'인 경우 E if F의 투영 계열에 대한 부분 순서 «을 정의한다.즉, U*U = E, UU* F와 같은 부분 등위계 U ∈ M이 존재하는 경우 E « F.

각각 M과 N에 대한 투영 P와_M P가_N M의 요소인 닫힌 서브 스페이스 M과 N의 경우, P_M « P인_N 경우 M « N의 요소들이다.

슈뢰더-베른슈타인 정리에는 M « N과 N « M이면 M ~ N이라고 명시되어 있다.

세트의 이론적 주장과 유사한 증명인 증거는 다음과 같이 스케치할 수 있다.구어적으로 N « M은 N이 M에 등축적으로 내장될 수 있다는 것을 의미한다.그렇게

${\displaystyle M=M_{0}\supset N_{0}}$

여기서 N은₀ M에서 N의 등축 복사본이다.가정해 보면, N, 따라서₀ N은 M의 등축 복사₁ M을 포함하고 있는 것도 사실이다.그러므로 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle M=M_{0}\supset N_{0}\supset M_{1}.}$

인덕션으로,

${\displaystyle M=M_{0}\supset N_{0}\supset N_{1}\supset N_{1}\supset M_{2}\supset N_{2}\supset \cdots .}$

는 것은 분명하다

${\displaystyle R=\cap _{i\geq 0}M_{i}=\cap _{i\geq 0}N_{i}.}$

내버려두다

${\displaystyle M\minus N{\stackrel {def}{=}{{}M\cap(N)^{\perp }}}$

그렇게

${\displaystyle M=\oplus _{i}(M_{i}\minus N_{i})\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \oplus R}$

그리고

${\displaystyle N_{0}=\oplus _{i}(M_{i}\minus N_{i})\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \oq 0}(N_{j}\j}\minus M_{j+1})\quad \oplus R.$

공지

${\displaystyle M_{i}\minus N_{i}\심 M\minus N\quad {\mbox{모두 표시}\quad i.}$

그 정리는 이제 ~의 헤아릴 수 있는 덧셈에서 따온 것이다.

C*알게브라 표현

슈뢰더-번스타인의 C*알게브라 표현에 대한 유사점도 있다.A가 C*-알지브라인 경우, A의 표현은 A에서 L(H)로 φ하는 *-호모형이며, Hilbert 공간 H의 경계 연산자다.

L(H)에 P projection(a) = A의 모든 a에 대해 exists(a) = φ(a) P가 존재하는 경우, exists의 하위 표현 σ은 P의 범위에 제한되는 :(a)는 φ(a)이다.그래서 φ은 그 다음에 φ = φ' σ의 두 하위표현의 직접적인 합으로 표현할 수 있다.

각각₁ H와₂ H에 대한 φ과₁ φ의₂ 두 가지 표현은 φ₁(a)U = Uφ₂(a)와 같은 단일 연산자 U → H가₂ 존재하는₁ 경우 단위 당 동등하다고 한다.

이 설정에서 슈뢰더-번스타인 정리는 다음과 같이 읽는다.

Hilbert 공간 H와 G에서 각각 두 개의 표현 ρ과 σ이 각각 다른 하나의 하위 표현과 단위적으로 동일하다면, 그것들은 단위적으로 동등하다.

이전의 주장과 유사한 증거가 윤곽을 드러낼 수 있다.이 가정은 H에서 G로 그리고 G에서 H로 이어지는 돌출적 부분 등위가 존재한다는 것을 의미한다. 이러한 부분 등위는 논쟁에 대해 2가지로 수정한다.가지고 있다

${\displaystyle \rho =\rho _{1}\simeq \rho _{1}\oplus \oplus \mbox}{where}\mbox}\ma _{1}\mema _{1}\simeq \ma.}$

결국.

${\displaystyle \rho _{1}\simeq \rho _{1}\oplus (\displayma _{1}\oplus \rho _{2}\mbox}\reason \rho _{2}\simeq \rho .}$

인덕션으로,

${\displaystyle \rho _{1}\simeq \rho _{1}'\oplus \sigma _{1}'\oplus \rho _{2}'\oplus \sigma _{2}'\cdots \simeq (\oplus _{i\geq 1}\rho _{i}')\oplus (\oplus _{i\geq 1}\sigma _{i}'),}$

그리고

$\displaystyle \chema _{1}\simeq \imma _{1}\oplus \oplus \oplus \oplus \oplus \oplus \oplus \i\geq 2}\rho_{i}\i}\ima _{i}.}$

이제 직접 합계 표현에서 각각의 추가 합계는 두 개의 고정 부분 등위계 중 하나를 사용하여 얻는다.

${\displaystyle \rho_{i}\simeq \rho _{j}\mbox{and}}\mema _{i}\simeq \simeq \i1}{j}\mbox{all for all}\mbox};}$

이것이 정리를 증명한다.

참고 항목

• 슈뢰더-번스타인 정리
• 슈뢰더-번스타인 재산

참조

• B. Blackadar, 2006년 스프링거 알헤브라스 오퍼레이터.