합리적 재구성(수학)

수학에서 합리적 재구성은 충분히 큰 정수에서 합리적인 숫자를 그 값에서 회복시킬 수 있는 방법이다.

문제명세서

합리적인 재구성 문제에서 값 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle r}$/ s${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{mod}}$ $){\$${\displaystyle m}$$}}}$을 입력으로 주어진다$.$ 즉, $n{\displaystyle }$ ${\$ns$$$\$$equiv$ r${\pmod$합리적인 수 $r{\displaystyle /s}$ ${\displaystyle r/s}$은(는) 알 수 없으며$$, 문제의 목표는 주어진 정보로부터 복구하는 것이다.

문제가 해결되려면 $계량{\displaystyle }$ m ${\displaystyle$m}이(가) r$${\$displaystyle r$} 및 $s{\displaystyle }${\$displaystyle s$}에 비해 충분히 크다고 가정해야 한다$.$ $일반적$으로 r$${\$displaystyle r}$ $및$ s$${\$displaystyle s}$의 가능한 값의 범위가 다음과$$ 같이 알려져 있다고 가정한다.< ${\displaystyle r <N}$과() 0 ${\displaystyle N$}과(와$)$ D {\displaystyle $D$$}$ 두 가지 숫자 $파라미터$에 대한 0 < D {\$displaystyle$ 0$>.$$매시$ > ${\displaystystylease$m >$2$.$ND}$ 및 솔루션이 존재하며, 솔루션은 고유하며 효율적으로 찾을 수 있다.

해결책

Paul S의 방법을 사용한다. Wang, 다음과 같이 유클리드 알고리즘을 사용하여$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 및 $m$ ${\displaystyle m}$에서 $r{\displaystyle /s}$ ${\displaystyle r/s}$을(를) 복구할 수 있다.^[1][2]

One puts ${\displaystyle v=(m,0)}$ and ${\displaystyle w=(n,1)}$. One then repeats the following steps until the first component of w becomes ${\displaystyle \leq N}$. Put ${\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {v_{1}}{w_{1}}}\right\rfloor }$, put z = v − qw.그런 다음 v = w 및 w = z를 넣어 새로운 v와 w를 얻는다.

그럼 w와 같은은 w1≤ N{\displaystyle w_{1}\leq N}, 하나 만드는 두번째 구성 요소 긍정적에서 놓고 w)−w 만약 w2<0{\displaystyle w_{2}<0}. 만약 w2<>;D{\displaystyle w_{2}<D}과gcd(w1, w2)=1{\displaystyle \gcd(w_{1},w_{2})=1}, 그때는 분수 rs{\d.isplaystyle${\frac {r}{s}}$이(가) 존재하며 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$${1},$${\displaystyle }s{\displaystyle }$ = ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 그렇지 않으면 그러한 분율은 존재하지 않는다.

참조