프란틀-마이어 함수

${\displaystyle }$ 함수(M {\displaystyle $\nu }$)와 마하 번호(${\displaystyle }$ ${\$displaystyle $M$ 및 특정 열 용량의 비율$({\displaystyle \gamma })$의 변동.파선은 마하 수가 무한대로 증가함에 따라$$ 제한 값 $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{max}}_{}}$ ${\$을 나타낸다.

공기역학에서 Prandtl-Meyer 함수는 흐름이 소닉 속도(M=1)에서 1보다 큰 마하(M) 숫자로 등전적으로 변하는 각도를 설명한다.소닉(M = 1) 흐름이 볼록한 모서리를 회전할 수 있는 최대 각도는 M =$\$ {\$displaystyle$ \$inflt }$에 대해 계산한다$.$ 이상적인 기체는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\cdot \arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}(M^{2}-1)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}\end{aligned}}}$

여기서 $\nu {\displaystyle }$ ${\$은(는) Prandtl-Meyer 함수, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 흐름의 마하 수, $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 특정 열 용량의 비율이다.

관례에 따라${\displaystyle \mathrm{\nu }}$ ( 1${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 0.}$ ${\$과 같은 통합 상수가 선택된다.

마하 숫자는 1에서 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$까지 다양하므로 ${\displaystyle \infit },$$\nu {\displaystyle }$ ${\$\,}은(는) ${\displaystyle {\text{0}}_{}}$에서 최대 $displaystyle \nu_{\text{max},}$까지의 값을$$ 취한다$.$

${\displaystyle \nu _{\text{max}={\frac {\pi }{2}}:{\bigg (}{\sqrt {\\frac{\1}{\frac -1}-1}{\bigg )}}}}}}}}}}$

등방성 팽창의 경우,	${\displaystyle \nu(M_{2})=\nu(M_{1})+\theta \,}$
등방성 압축의 경우,	${\displaystyle \nu(M_{2})=\nu(M_{1}-\theta \,}$

여기서, $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$은 흐름이 회전하는 각도의 절대값이며, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$M}은$$ 흐름 마하 수이며 접미사 "1"과 "2"는 각각 초기 조건과 최종 조건을 나타낸다.

참고 항목

• 가스 역학
• 프란틀-마이어 확장 팬

참조

• Liepmann, Hans W.; Roshko, A. (2001) [1957]. Elements of Gasdynamics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-41963-3.

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