피코네 아이덴티티

보통의 미분 방정식 분야에서,^[1] 마우로 피코네의 이름을 딴 피코네 아이덴티티는 동질 선형 2차 순서 미분 방정식에 관한 고전적인 결과물이다.1910년에 창간된 이래, 그것은 스투름 비교 정리에 대한 거의 즉각적인 증거와 연관되어 엄청난 성공과 함께 사용되었는데, 그 증명서가 스투름의 1836년의 원래 회고록에서 많은 페이지를 차지했던 정리였다.또한 그러한 방정식의 진동을 연구하는 데도 유용하며 다른 유형의 미분 방정식과 차이 방정식으로 일반화되었다.

피코네 정체성은 스터름-피코네 비교 정리를 증명하는 데 사용된다.

피코네 아이덴티티

u와 v가 자가 적합성 형태의 두 개의 동종 선형 2차 순서 미분 방정식의 솔루션이라고 가정하자.

${\displaystyle(p_{1}(x)u')+q_{1}(x)u=0}$

그리고

${\displaystyle (p_{2}(x)v')+q_{2}(x)v=0.}$

그런 다음 v(x)가 0인 모든 x에 대해 다음 ID가 유지됨

${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}{v}(p_{1}u'-p_{2}uv')\오른쪽)=\왼쪽(q_{2}-q_{1}\1}\right)^{2}+{2}+{2}u'^{2+p_{2}{2}}}\왼쪽(u'-v'{\frac {u}{v}\오른쪽)^{2}}$

증명

${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=p_{1}u'^{2}-p_{2}{\frac {u'}{v}}uv'-p_{1}{\frac {uv'u'}{v}}+p_{2}{\frac {u^{2}v'^{2}}{v^{2}}}+{\frac {u}{v}}(p_{1}u')'v+p_{1}{\frac {uu'v'}{v}}-{\frac {u}{v}}(p_{2}v')'u-p_{2}{\frac {uv'u'}{v}}=}$

${\displaystyle =p_{1}u'^{2}-p_{2}u'^{2}+p_{2}u'^{2}-2p_{2}{\frac {u}{v}}u'v'+p_{2}{\frac {u^{2}}{v^{2}}}v'^{2}-{\frac {u}{v}}(q_{1}u)v+{\frac {u}{v}}(q_{2}v)u=\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}}\좌(u'-v'{\frac {u}{v}}\우)^{2}+\좌(q_{2}-q_{1}\우)^{2}}$

메모들

• Picone, Mauro (1910). "Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare del secondo ordine". Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 11: 1–141.
• Swanson, Charles A. (1975). "Picone's Identity". Rendiconti di Matematica. 8 (2): 373–397.

참조