누메로프의 방법

Numerov의 방법(코웰의 방법이라고도 함)은 1차 항이 나타나지 않는 보통의 미분방정식을 푸는 수치적 방법입니다. 4차 선형 다단계 방식입니다. 이 방법은 암시적이지만 미분 방정식이 선형인 경우 명시적으로 만들 수 있습니다.

Numerov의 방법은 러시아 천문학자 Boris Vasil'evich Numerov에 의해 개발되었습니다.

방법이.

Numerov 방법을 사용하여 형태의 미분방정식을 풀 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-g(x)y(x)+s(x).}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 ${\displaystyle {3개}_{}}$의 등거리점 $x{\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- $, y$ ${\displaystyle {}_{}}$$, y$+$$$1$ {\$displaystyle$$y_$${n-1$}, $y_{$${\displaystyle n_{}}$$}, y_${n$+1}$의 3가지 값은 $다음$과 같습니다$$$.$

${\displaystyle y_{n+1}\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}g_{n+1}\right)=2y_{n}\left(1-{\frac {5h^{2}}{12}}g_{n}\right)-y_{n-1}\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}g_{n-1}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}(s_{n+1}+10s_{n}+s_{n-1})+{\mathcal {O}}(h^{6}),}$

where ${\displaystyle y_{n}=y(x_{n})}$, ${\displaystyle g_{n}=g(x_{n})}$, ${\displaystyle s_{n}=s(x_{n})}$, and ${\displaystyle h=x_{n+1}-x_{n}}$.

비선형 방정식

형식의 비선형 방정식의 경우

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f(x,y),}$

그 방법이 주는

${\displaystyle y_{n+1}-2y_{n}+y_{n-1}={\frac {h^{2}}{12}}(f_{n+1}+10f_{n}+f_{n-1})+{\mathcal {O}}(h^{6}).}$

이는 암시적 선형 다단계 방법으로, $f$ ${\displaystyle$ $f$$}$가 y ${\displaystyle$ $y$$}$에서 선형인 경우 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x,}$ y${\displaystyle )}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle g}$(x ) y (x ) + s (x ) {\displaystyle f (x, y) = - g (x) y (x) + s (x)}를 설정하여 위에 주어진 명시적인 방법으로 축소됩니다. 순서-4 정확도를 달성합니다(Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.10).

어플

수치 물리학에서 이 방법은 임의의 전위에 대한 일차원 슈뢰딩거 방정식의 해를 찾는 데 사용됩니다. 그 예로는 구형 대칭 퍼텐셜에 대한 반경 방정식을 푸는 것이 있습니다. 이 예제에서는 변수를 분리하고 각도 방정식을 해석적으로 푼 후에 반지름 $함수{\displaystyle }$ R${\displaystyle (r)}$ ${\display R(r)}$의 다음 식을$$남깁니다.

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)-{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}(V(r)-E)R(r)=l(l+1)R(r).}$

이 식을 다음과 같이 치환하면 Numerov의 방법을 적용하는 데 필요한 형태로 줄일 수 있습니다.

${\displaystyle u(r)=rR(r)\Rightarrow R(r)={\frac {u(r)}{r}},}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dr}}={\frac {1}{r}}{\frac {du}{dr}}-{\frac {u(r)}{r^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}\left(r{\frac {du}{dr}}-u(r)\right)\Rightarrow {\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)={\frac {du}{dr}}+r{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}-{\frac {du}{dr}}=r{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}.}$

그리고 우리가 대체를 할 때, 반지름 방정식은

${\displaystyle r{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}-{\frac {2mr}{\hbar ^{2}}}(V(r)-E)u(r)={\frac {l(l+1)}{r}}u(r),}$

아니면

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}+\left(V(r)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right)u(r)=Eu(r),}$

1차원 슈뢰딩거 방정식과 동등하지만 수정된 유효 퍼텐셜을 갖는

${\displaystyle V_{\text{eff}}(r)=V(r)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}=V(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}},\quad L^{2}=l(l+1)\hbar ^{2}.}$

이 방정식은 우리가 1차원 슈뢰딩거 방정식을 풀었을 때와 같은 방법으로 풀 수 있습니다. 우리는 방정식을 조금 다르게 다시 쓸 수 있고 따라서 뉴머로프의 방법의 가능한 적용을 더 명확하게 볼 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-V_{\text{eff}}(r))u(r),}$

${\displaystyle g(r)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-V_{\text{eff}}(r)),}$

${\displaystyles(r)=0.}$

파생

우리는 미분 방정식이 주어졌습니다.

${\displaystyle y''(x)=-g(x)y(x)+s(x).}$

이 방정식을 풀기 위한 Numerov의 방법을 도출하기 위해 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 지점을$$중심으로 우리가 해결하고자 하는 함수인 $y{\displaystyle (}$x) ${\displaystyle y(x)}$의 테일러 확장으로 시작합니다$.$

${\displaystyle y(x)=y(x_{0})+(x-x_{0})y'(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}y''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{3}}{3!}}y'''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{4}}{4!}}y''''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{5}}{5!}}y'''''(x_{0})+{\mathcal {O}}(h^{6}).}$

$x$ ${\displaystyle x}$에서 ${\displaystyle x_{}}$ 0 ${\displaystyle x_{0}$까지의 거리를 h = ${\displaystyle x}$-$$x 0 {\displaystyle h = x-x_{0}로 나타내면 위 식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle y(x_{0}+h)=y(x_{0})+hy'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{0})+{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{0})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{0})+{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{0})+{\mathcal {O}}(h^{6}).}$

공간을 균일하게 이산화하면 $x$ ${\displaystyle x}$개의 점 격자가 생성되며, 여기서 $h$ = ${\displaystyle x_{}}$ n$$+ 1 - $x$ n {\displaystyle h = x_{n+1}-x_{n}}가 됩니다. 위 식을 이 이산 공간에 적용하면 y n {\displaystyle y_{n}}와 y + 1 {\displaystyle y_{n+1} 사이의 관계를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hy'(x_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{n})+{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{n})+{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6}).}$

계산적으로, 이것은 $h{\displaystyle }${\$displaystyle$h}만큼 한 걸음 앞으로 나아가는 것입니다$.$ 만약 우리가 한 걸음 뒤로 가고 싶다면, 우리는 모든 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$를${\displaystyle }$- ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle -h}$로 바꾸고$$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$에 대한 식을 $얻습니다.$

${\displaystyle y_{n-1}=y_{n}-hy'(x_{n})+{\frac {h^{2}}{2!}}y''(x_{n})-{\frac {h^{3}}{3!}}y'''(x_{n})+{\frac {h^{4}}{4!}}y''''(x_{n})-{\frac {h^{5}}{5!}}y'''''(x_{n})+{\mathcal {O}}(h^{6}).}$

$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$의 홀수 전원만 부호 변경이 발생했습니다$$. 두 방정식을 합하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle y_{n+1}-2y_{n}+y_{n-1}=h^{2}y''_{n}+{\frac {h^{4}}{12}}y''''_{n}+{\mathcal {O}}(h^{6}).}$

${\displaystyle y_{}}$+ 1 ${\display y_{n+1}}$에 대한 이 식을 ${\displaystyle y_{}^{}}$″ - $gn$n +${\displaystyle {}_{}{s}_{}}$ ${\display$ y'_{$n}$=-g_${n}y_{$n$\}+$s_{n}}의 시작에 주어진 식을 대입함으로써 풀 수 있습니다.$y$⁗ ${\display$ y''_{n} 인자에 $대한$ 식을 구하려면, ${\displaystyle y_{}}$ ″ = -$$gn n + s {\displaystyle y"_{n}=-g_{n}y_{n}+s_{n}}를 두 번 미분하고 위에서 한 것과 같은 방식으로 다시 근사하면 됩니다.

${\displaystyle y''''_{n}={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(-g_{n}y_{n}+s_{n}),}$

${\displaystyle h^{2}y''''_{n}=-g_{n+1}y_{n+1}+s_{n+1}+2g_{n}y_{n}-2s_{n}-g_{n-1}y_{n-1}+s_{n-1}+{\mathcal {O}}(h^{4}).}$

이것을 앞의 방정식에 대입하면,

${\displaystyle y_{n+1}-2y_{n}+y_{n-1}={h^{2}}(-g_{n}y_{n}+s_{n})+{\frac {h^{2}}{12}}(-g_{n+1}y_{n+1}+s_{n+1}+2g_{n}y_{n}-2s_{n}-g_{n-1}y_{n-1}+s_{n-1})+{\mathcal {O}}(h^{6}),}$

아니면

${\displaystyle y_{n+1}\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}g_{n+1}\right)-2y_{n}\left(1-{\frac {5h^{2}}{12}}g_{n}\right)+y_{n-1}\left(1+{\frac {h^{2}}{12}}g_{n-1}\right)={\frac {h^{2}}{12}}(s_{n+1}+10s_{n}+s_{n-1})+{\mathcal {O}}(h^{6}).}$

만약 우리가 순서 $6$ {\$displaystyle h^{$6}}의 항을 무시한다면, 이것은 Numerov의 방법을 산출합니다$.$ 수렴 순서(안정성 가정)는 4입니다.

참고문헌

• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.
  이 책은 다음과 같은 참고 문헌을 포함하고 있습니다.
• Numerov, Boris Vasil'evich (1924), "A method of extrapolation of perturbations", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 84 (8): 592–601, Bibcode:1924MNRAS..84..592N, doi:10.1093/mnras/84.8.592.
• Numerov, Boris Vasil'evich (1927), "Note on the numerical integration of d²x/dt² = f(x,t)", Astronomische Nachrichten, 230 (19): 359–364, Bibcode:1927AN....230..359N, doi:10.1002/asna.19272301903.