다차원 할당 문제

다차원 할당 문제(MAP)는 윌리엄 피어스칼라가 ^[1]도입한 근본적인 조합 최적화 문제입니다.이 문제는 선형 할당 ^[2]문제의 일반화로 볼 수 있습니다.즉, 문제는 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

문제의 인스턴스에는 다수의 에이전트(즉, 카디널리티 매개 변수)와 작업, 기계, 시간 간격 등과 같은 다수의 작업 특성(즉, 차원 매개 변수)이 있습니다.예를 들어, 시간 간격 Z 동안 시스템 Y에서 태스크 X를 수행하도록 에이전트를 할당할 수 있습니다.특정 비용으로 고유한 작업 특성을 조합하여 작업을 수행하도록 모든 에이전트를 할당할 수 있습니다.이러한 비용은 특정 작업, 기계, 시간 간격 등의 작업 특성 조합에 따라 달라질 수 있습니다.문제는 에이전트를 할당하는 데 드는 총 비용을 최소화하여 각 작업 특성에 에이전트를 할당하는 것이 주입식 기능, 즉 에이전트에서 지정된 작업 특성에 대한 일대일 기능이 되도록 하는 것입니다.

또는 그래프 이론을 사용하여 문제를 설명합니다.

다차원 할당 문제는 가중치가 부여된 다분할 그래프에서 가장자리의 가중치 합이 ^[3]최소인 주어진 크기의 일치를 찾는 것으로 구성됩니다.

형식 정의

이 문제의 다양한 공식은 문헌에서 찾을 수 있습니다.비용 함수를 사용하여 ${displaystyle$ D $D$ 차원 할당 문제( $또는$ D ${displaystyle$ D $D$ MAP)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

D

{displaystyle

D}

A

A

{

displaystyle

A

}

및

A

J_{1},\ldots J_{D-1}

…

J_{1},\ldots J_{D-1}

-

J_{1},\ldots J_{D-1}

1({{

displaystyle J_{

1},\

ldots

J_

{D-1

비용 배열 또는 다차원 가중치

함수

C {

displaystyle

C

}

C

:

A\times J_{1}\times \ldots \times J_{D-1}\rightarrow \mathbb {R} _{+}

×

A\times J_{1}\times \ldots \times J_{D-1}\rightarrow \mathbb {R} _{+}

A\times J_{1}\times \ldots \times J_{D-1}\rightarrow \mathbb {R} _{+}

×

A\times J_{1}\times \ldots \times J_{D-1}\rightarrow \mathbb {R} _{+}

…

A\times J_{1}\times \ldots \times J_{D-1}\rightarrow \mathbb {R} _{+}

-

A\times J_{1}\times \ldots \times J_{D-1}\rightarrow \mathbb {R} _{+}

A\times J_{1}\times \ldots \times J_{D-1}\rightarrow \mathbb {R} _{+}

J_{d}

A\times J_{1}\times \ldots \times J_{D-1}\rightarrow \mathbb {R} _{+}

+ {\

displaystyle

A

\times

J_

{1}\times

\

ldots \times

J_{

D-1

}\

rightarrow \mathbb

{

R

}_

J_{d}

A\times J_{1}\times \ldots \times J_{D-1}\rightarrow \mathbb {R} _{+}

D

D-1

-

J_{d}

D-1

\

displaystyle

D-1

}

\pi _{d}

을

D-1

\pi _{d}

D-1

으로써 총 비용 함수는 다음과

.

\displaystyle \sum _{a\in A}C(a,\pi _{1}(a),\ldots,\pi _{D-1}(a))}

최소화됩니다.^[4]

문제 매개 변수

MAP(다차원 할당 문제)에는 문제 인스턴스의 크기를 결정하는 두 가지 주요 매개 변수가 있습니다.

차원 $매개$ 변수 D ${displaystyle$ D $}$
카디널리티 $N=|A|$ N $=$ {\ $displaystyle$ N = $A$ $|A|$ 서 A {\ $displaystyle$ A $|A|$ 는 $|A|$ A{\ $displaystyle$ A $A$ 의 요소 수를 나타냅니다.

비용 배열 크기

$매개$ 변수 D $,$ ${displaystyle$ D $, N$ }이 $D,N$ (가) 있는 MAP의 문제 인스턴스에는 고유한 $비용$ 배열C{\ $displaystyle$ C $}$ 가 있으며, 이는 $({$ $displaystyle$ $N^{$ $D$ 인스턴스별 $N^{D}$ 비용/ $C(a,a_{1},\ldots ,a_{D-1})$ 매개 $C(a,a_{1},\ldots ,a_{D-1})$ 변수 $a, a1,$ $C(a,a_{1},\ldots ,a_{D-1})$ - 1 $)로$ $N^{D}$ 됩니다 $.$ ${$ N $^{D}}$ 는 $N^{D}$ 비용 배열의 크기입니다.

실현 가능한 솔루션 수

MAP의 실행 가능한 영역 또는 솔루션 공간은 매우 큽니다.실현 가능한 솔루션(MAP 인스턴스의 크기)의 K{\ $displaystyle$ K $}$ 숫자는 $K$ MAP 매개변수 $,$ N {\ $displaystyle$ D, $N$ $K=(N!)^{D-1}$ 에 따라 달라집니다. $K=(N!)^{D-1}$ 으로 K $=$ ( $N!)$ D - $K=(N!)^{D-1}$ { $D-1$ ^[2]

계산 복잡도

문제는 일반적으로 NP-hard입니다.즉, 다항 시간 내에 이 문제를 해결하기 위한 알려진 알고리즘이 없기 때문에 중간 크기의 문제 인스턴스를 해결하는 데 긴 계산 시간이 필요할 수 있습니다(차원 및 카디널리티 ^[5]매개 변수에 기초함).

적용들

여러 도메인에서 응용 프로그램이 발견되었습니다.

레퍼런스

^ ^a ^b Pierskalla, William P. (1968). "Letter to the Editor—The Multidimensional Assignment Problem". Operations Research. INFORMS. 16 (2): 422–431. doi:10.1287/opre.16.2.422.
^ ^a ^b ^c Kammerdiner, Alla; Semenov, Alexander; Pasiliao, Eduardo (2021). "Multidimensional Assignment Problem for multipartite entity resolution". arXiv:2112.03346 [cs.DM].
^ Natu, Shardul; Date, Ketan; Nagi, Rakesh (2020). "GPU-accelerated Lagrangian heuristic for multidimensional assignment problems with decomposable costs". Parallel Computing. 97: 102666. doi:10.1016/j.parco.2020.102666. ISSN 0167-8191. S2CID 221667518.
^ Karapetyan, Daniel; Gutin, Gregory (2011-06-01). "Local search heuristics for the multidimensional assignment problem". Journal of Heuristics. 17 (3): 201–249. doi:10.1007/s10732-010-9133-3. ISSN 1572-9397. S2CID 3446729.
^ Nguyen, Duc Manh; Le Thi, Hoai An; Pham Dinh, Tao (2012-10-12). "Solving the Multidimensional Assignment Problem by a Cross-Entropy method". Journal of Combinatorial Optimization. 27 (4): 808–823. doi:10.1007/s10878-012-9554-z. ISSN 1382-6905. S2CID 254658376.
^ Poore, Aubrey B. (1994). "Multidimensional assignment formulation of data association problems arising from multitarget and multisensor tracking". Computational Optimization and Applications. 3 (1): 27–57. doi:10.1007/BF01299390. S2CID 33848795.
^ Pusztaszeri, Jean-François; Rensing, Paul E.; Liebling, Thomas M. (1996). "Tracking elementary particles near their primary vertex: a combinatorial approach". Journal of Global Optimization. 9 (1): 41–64. doi:10.1007/BF00121750. S2CID 2002168.
^ Kammerdiner, Alla R.; Guererro, Andre N. (2019). "Data-driven combinatorial optimization for sensor-based assessment of near falls". Annals of Operations Research. 276 (1–2): 137–153. doi:10.1007/s10479-017-2585-1. ISSN 0254-5330. S2CID 254223885.

https://issuu.com/ostraky/docs/the_top_5_english_coursework_help_strategies_for_t

[Pier68-1] Pierskalla, William P. (1968). "Letter to the Editor—The Multidimensional Assignment Problem". Operations Research. INFORMS. 16 (2): 422–431. doi:10.1287/opre.16.2.422.

[Pasi21-2] Kammerdiner, Alla; Semenov, Alexander; Pasiliao, Eduardo (2021). "Multidimensional Assignment Problem for multipartite entity resolution". arXiv:2112.03346 [cs.DM].

[3] Natu, Shardul; Date, Ketan; Nagi, Rakesh (2020). "GPU-accelerated Lagrangian heuristic for multidimensional assignment problems with decomposable costs". Parallel Computing. 97: 102666. doi:10.1016/j.parco.2020.102666. ISSN 0167-8191. S2CID 221667518.

[4] Karapetyan, Daniel; Gutin, Gregory (2011-06-01). "Local search heuristics for the multidimensional assignment problem". Journal of Heuristics. 17 (3): 201–249. doi:10.1007/s10732-010-9133-3. ISSN 1572-9397. S2CID 3446729.

[5] Nguyen, Duc Manh; Le Thi, Hoai An; Pham Dinh, Tao (2012-10-12). "Solving the Multidimensional Assignment Problem by a Cross-Entropy method". Journal of Combinatorial Optimization. 27 (4): 808–823. doi:10.1007/s10878-012-9554-z. ISSN 1382-6905. S2CID 254658376.

[6] Poore, Aubrey B. (1994). "Multidimensional assignment formulation of data association problems arising from multitarget and multisensor tracking". Computational Optimization and Applications. 3 (1): 27–57. doi:10.1007/BF01299390. S2CID 33848795.

[7] Pusztaszeri, Jean-François; Rensing, Paul E.; Liebling, Thomas M. (1996). "Tracking elementary particles near their primary vertex: a combinatorial approach". Journal of Global Optimization. 9 (1): 41–64. doi:10.1007/BF00121750. S2CID 2002168.

[8] Kammerdiner, Alla R.; Guererro, Andre N. (2019). "Data-driven combinatorial optimization for sensor-based assessment of near falls". Annals of Operations Research. 276 (1–2): 137–153. doi:10.1007/s10479-017-2585-1. ISSN 0254-5330. S2CID 254223885.

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