다중 커밋 흐름 문제

다중 통신성 흐름 문제는 서로 다른 소스와 싱크 노드 사이에 여러 상품(흐름 수요)이 존재하는 네트워크 흐름 문제다.

정의

Given a flow network ${\displaystyle \,G(V,E)}$, where edge ${\displaystyle (u,v)\in E}$ has capacity ${\displaystyle \,c(u,v)}$. There are ${\displaystyle \,k}$ commodities ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{k}}$, defined by ${\displaystyle K_i=(}$${\displaystyle \,K_{i}=(s_{i},t_{i},d_{i})}$, where ${\displaystyle \,s_{i}}$ and ${\displaystyle \,t_{i}}$ is the source and sink of commodity ${\displaystyle \,i}$, and ${\displaystyle \,d_{i}}$ is its demand.The variable ${\displaystyle \,f_{i}(u,v)}$ defines the fraction of flow ${\displaystyle \,i}$ along edge ${\displaystyle \,(u,v)}$, where ${\displaystyle \,f_{i}(u,v)\in [0,1]}$ in case the flow can be split among multiple paths, and ${\displaystyle f_i(u,v)\in \{}$${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \,f_{i}(u,v)\in{0,1\}$ 이외의$$ 경우(예: "단일 경로 라우팅").다음 네 가지 제약 조건을 충족하는 모든 흐름 변수 할당을 찾으십시오.

(1) 링크 용량:링크를 통해 라우팅된 모든 흐름의 합은 그 용량을 초과하지 않는다.

${\displaystyle \forall (u,v)\in E:\,\sum _{i=1}^{k=1}f_{i}(u,v)\cdot d_{i}\leq c(u,v)}$

(2) 운송 노드의 흐름 보존:중간 노드 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 들어가는 흐름의 양은 노드를 나가는 것과 동일하다$$.

${\displaystyle \ for all i\in K:\,\sum _{w}(u,w)-\sum _{w\in V}f_{i}(w,u)=0\quad \quadmatrm {when}\neq s_{i}t_{i}}}}}}}}}}}}}}}}{i}}}}}i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(3) 소스의 흐름 보존 : 흐름은 소스의 노드에서 완전히 벗어나야 한다.

${\displaystyle \for \in K:\,\sum _{w}(s_{i},w)-\sum _{w\in V}f_{i}(w,s_{i})=1}$

(4) 목적지에서의 흐름 보존 : 흐름은 싱크 노드에 완전히 들어가야 한다.

${\displaystyle \for \in K:\,\sum _{w\in V}f_{i}(w,t_{i})-\sum _{w\in V}f_{i}(t_{i},w)=1}$

해당 최적화 문제

로드 밸런싱은 모든 링크$({\displaystyle u,}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle }$)의$$ $활용률{\displaystyle }$ U ${\displaystyle (u}$, ${\displaystyle v}$ ) ${\displaystyle U(u,v)}$이${\displaystyle (}$가) ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (u,v)\in E}$이(가) 짝수이 되도록$$ 흐름을 라우팅하려는 시도로서, 여기서

${\displaystyle U(u,v)={\frac {\sum _{i=1}^{k=1}f_{i}(u,v)\cdot d_{c(u,v)}}}}}}}$

예를 들어 $\sum {\displaystyle \underset{u}{}}$ , ${\displaystyle \underset{}{v}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ V (${\displaystyle \underset{}{}{u\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle v{}^{}}$) 2 ${\$ _${u,v\in$ V$}(U(u,v)^{2$ 이 문제의 공통적인 선형화는 ${\displaystyle {\mathrm{최대}}_{}}$ $활용률{\displaystyle {}_{}}$ U ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ x$${\$displaysty U_{max}$의 최소화로 해결할 수 있다$.$

$\forall (u,v)\in E:\,U_{max}\geq U(u,v)}$

최소 비용 다중 커밋 플로우 문제에서${\displaystyle }$플로우 전송에$$ 대한 $비용{\displaystyle }$ a${\displaystyle (u}$, v${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cdot f}$(${\displaystyle u}$, v ) ⋅f (u ,${\displaystyle }$${\displaystyle v}$) ${\$$displaystyle$ $a(u$${\displaystyle ,}$$v)\cdot f($$u,v$$)}$이($)$ 있다$.$ 그런 다음 최소화할 필요가 있다.

${\displaystyle \sum \{(u,v)\in E}\좌(a,v)\sum _{i=1}^{k}f_{i}(u,v)\오른쪽)}$

최대 멀티콤포트 흐름 문제에서는 각 상품의 수요가 고정되어 있지 않으며${\displaystyle \underset{}{\overset{}{,}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ 수요의 합을 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{maximizing}}}}$ i = 1k d ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\$을(를) 최대화하여 총 처리량을 극대화한다.

기타 문제와의 관계

다중 계통 흐름 문제의 최소 비용 변형은 최소 비용 $흐름{\displaystyle }$ 문제의 일반화다(이 경우 소스 s ${\displaystyle$ s$}$와 싱크 t ${\displaystyt t}$이$($가) 하나만 있다). 순환 문제의 변형은 모든 흐름 문제의 일반화다.즉, 어떤 흐름 문제도 특정 순환 문제로 볼 수 있다.^[1]

사용법

광네트워크의 광학 버스트 스위칭에서 라우팅과 파장 할당(RWA)은 다중 커밋도 흐름 공식을 통해 접근할 수 있을 것이다.

해결 방법

문제의 결정 버전에서, 모든 요구를 만족시키는 정수 흐름을 생성하는 문제는 두 가지 상품과 단위 용량(이 경우 문제를 강하게 NP-완전하게 만드는 것)에 대해서도 ^[2]NP-완전이다.

부분적인 흐름이 허용된다면,^[3] 문제는 선형 프로그래밍을 통해 다항 시간 또는 (일반적으로 훨씬 더 빠른) 완전 다항 시간 근사 체계를 통해 해결될 수 있다.^[4]

외부 자원

• 이 문제에 대한 클리퍼드 스타인의 논문: http://www.columbia.edu/~cs2035/190/#mcf
• 소프트웨어 문제 해결: https://web.archive.org/web/20130306031532/http://typo.zib.de/opt-long_projects/Software/Mcf/

참조

추가: Jean-Patrice Netter, Flow Augmenting Meshings: muti-commodity 네트워크의 최대 정수 흐름에 대한 원시적 접근 방식, Ph.D 논문 존스 홉킨스 대학교, 1971년