민엔트로피

정보 이론에서 최소 엔트로피는 가장 가능성이 높은 결과의 확률에 대한 부정적인 로그로서 결과 집합의 예측 불가능성을 측정하는 가장 보수적인 방법에 해당하는 엔트로피 계열 중 가장 작은 것이다.다양한 레니 엔트로피는 균일한 분포에 대해 모두 동일하지만, 균일하지 않은 분포의 예측 불가능성을 다른 방식으로 측정한다.최소 엔트로피는 일반 엔트로피 또는 섀넌 엔트로피(결과들의 평균 예측 불가능성을 측정함)보다 결코 크지 않으며, 0이 아닌 확률의 결과 수의 로그로 정의되는 하틀리 또는 최대 엔트로피보다 결코 크지 않다.null

고전적인 샤논 엔트로피와 그것의 양자 일반화, 폰 노이만 엔트로피와 마찬가지로, 최소 엔트로피의 조건부 버전을 정의할 수 있다.조건부 양자 최소 엔트로피는 조건부 양자 엔트로피의 원샷, 즉 보수적인 아날로그다.null

조건부 정보 측정을 해석하기 위해 앨리스와 밥이 초당 양자 상태 ${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$를 공유한다고 가정해 보십시오$.$ 앨리스는 $시스템{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에, B는 시스템 $B{\displaystyle }$ ${\displaystytle B}$에 액세스할 수 있다$.$조건부 엔트로피는 밥이 자신의 시스템에서 추출한 샘플링에 대해 앨리스의 상태에 대해 갖는 평균 불확실성을 측정한다.최소 엔트로피는 최대적으로 얽힌 상태로부터 상태의 거리로 해석할 수 있다.null

이 개념은 프라이버시 증폭의 맥락에서 양자암호학에 유용하다(예: 참조).null

정의들

정의:$\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$ 공간 H ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle B_{}}$ ${\$에 대해 초당적 밀도 연산자가 되게 한다$$$.$$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 조건화된$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 최소 엔트로피는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle H_{\min }(AB)_{\rho }\equiv -\inf _{\sigma_{B}{B}}}$

여기서 최소 범위는 모든 밀도 연산자 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$ 공간$$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$$측정치{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Dmax}_{}}$ ${\$은(는) 다음과 같이 정의된 최대 상대 엔트로피이다.

${\displaystyle D_{\max}(\rho \\sigma )=\inf _{\lambda }\\rho \leq 2^{\lambda }}\sigma \}}}}}}$

부드러운 최소-엔트로피는 최소-엔트로피의 관점에서 정의된다.null

${\displaystyle H_{\min }^{\epsilon }(A B)_{\rho }=\sup _{\rho '}H_{\min }(A B)_{\rho '}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 supp 및 inf의 범위는 밀도 연산자 A B ${\displaystyle {\rho }_{}^{}}$ ${\$${\displaystyle \epsilon }-$${\displaystyle {\mathrm{가<img\; alt="\backslash epsilon\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:0.944ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="46">}}_{}}$ close$$ A B ${\$에 가까운 AB$\}.$ $display${\$displaystyle \$epsilon$$ }-close의 측정치는 정제 거리의 관점에서 정의된다.

${\displaystyle P(\rho ,\sigma )={\sqrt{1-F(\rho ,\sigma )^{2}}$

여기서 $F{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \rho }$ ,${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )}$은 충실도 측정이다.null

이러한 양은 폰 노이만 엔트로피의 일반화로 볼 수 있다.실제로 폰 노이만 엔트로피는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle S(A B)_{\rho }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\lim _{n\rightarrow \inflit }{\frac {1}{n}}}}}H_{\min }^{\epsilon }(A^{n}B^{n})_{\rho^{\otimes n}~}$

이것을 완전 양자점증적 등전 정리라고 한다.^[2]매끄러운 엔트로피는 폰 노이만 엔트로피와 많은 흥미로운 성질을 공유한다.예를 들어, 부드러운 최소-엔트로피는 데이터 처리 불평등을 만족시킨다.

${\displaystyle H_{\min }^{\epsilon }(A B)_{\rho }{\rho }\geq H_{\min }^{\epsilon }}{\rho }}.}$

평활 민-엔트로피의 작동 해석

따라서 어떤 상태를 평가하는지에 대한 맥락에서 명확할 경우 최소 엔트로피에서$$ 첨자 ${\displaystyle \rho }$을(를) 삭제한다.null

고전적 정보에 대한 불확실성으로서의 최소 엔트로피

에이전트가 상태 ${\displaystyle {\rho }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ x ${\$이(가) 일부 고전적 $변수{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$X}에 종속된$$$$ 양자 $시스템{\displaystyle }$ B$${\$display$B}에 액세스할 수 있었다고 가정하고$,$ 더 나아가 각 $요소{\displaystyle }$ x$${\$displate x}$이 일부$$ 분포 ${\displaystyle P_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}x}$ ${\displaystyle )}${\$displaysty$)에 따라 분포된다고 가정하십시오.$aystyle P_{X}(x$ 이는 시스템 ${\displaystyle X}$ B ${\displaystyle XB}$를 통해 다음 상태로 설명할 수 있다$.$

${\displaystyle \rho _{XB}=\sum _{X}(x) x\angle x \otimes \rho _{B}^{x}}}}$

여기서${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$} ${\displaystyle \{ x\rangele$\}}은(는) 직교 기준을 형성한다$$.에이전트가 고전적 $변수{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle x$}에 대해 무엇을 알 수 있는지 알고 싶다$.$ 최적의 측정 전략을 사용할$$ 때 $에이전트$가 X$${\$displaystyle$ $p_{g}(X$ B$)$를 추측할 $확률$은 p g $)$로 한다.

${\displaystyle p_{g}(X B)=\sum _{x}P_{X}(x)tr(E_{x}\rho _{B}^{x}),}$

여기서 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 이 식을 최대화하는 POVM이다.이 최적값은 다음과 같이 최소 엔트로피 단위로 표현할 수 있음을 알 수 있다.

${\displaystyle p_{g}(XB)=2^{-H_{\min }(XB)}~}$

If the state ${\displaystyle \rho _{XB}}$ is a product state i.e. ${\displaystyle \rho _{XB}=\sigma _{X}\otimes \tau _{B}}$ for some density operators ${\displaystyle \sigma _{X}}$ and ${\displaystyle \tau _{B}}$, then there is no correlation between the systems ${\displaystyle X}$${\displaystyle X},$ $B$ ${\displaystyle B$ 이 경우 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {{Hmin}_{}}^{}}$(${\displaystyle X{{}_{}}^{}}$B ${\displaystyle {)}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 최대 ${\displaystyle \underset{}{x}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$) . ${\displaystyle 2^{-H_{\min }}}}=\max _{x}(x)~}.$

최대 얽힘 상태로부터의 거리만큼의 최소 엔트로피

초당적 시스템 H ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle{H}$$_${$A}\otimes{\mathcal{H}}_{B}$의 최대 얽힘 상태는 다음과$$정의된다$$.

${\displaystyle \phi^{+}\rangele _{AB}={\frac {1}{\sqrt{d}}\sum _{x_{A}}}x_{B}}x_{A}\rangele x_{B}\rangele }}}}}}$

여기서${\displaystyle }${${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle A_{}⟩\}}${\$displaystyle \{A}\rangele \}$과$({\displaystyle }$와) {${\displaystyle x{}_{}}$ $⟩}$ {\$displaystyle$은(는) $각각{\displaystyle }$$$ A$$$${\displaysty $A}$과 B$}공간$에 대해 정형 기준을 형성한다$$.초당적 양자 상태 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$의 경우 최대 얽힘 상태와의 최대 중첩을 다음과 같이 정의한다$.$

${\displaystyle q_{c}(AB)=d_{A}\max _{\mathcal {E}\f\left(I_{A}\otimes{\mathcal {E})\rho_{AB}\nangle \langle \langle \pi ^{{{{{{+}{{{{{+}}}}{{{{{+}}}}}}^2}}:2}}:$

여기서 최대값은 모든 CPTP 작업 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 및$$ $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$에 걸쳐 있음$A}$은(는) 서브시스템 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 치수로서$,$ $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$ 상태와 얼마나 상관관계가 있는지 측정한$$ 것이다.$q{\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle c_{}}$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle )}$= 2${\displaystyle {}^{}}$- H ${\displaystyle {{min}_{}}^{}}$(${\displaystyle A^{}}$ B${\displaystyle {}^{}}$) ${\$$}}}}}}}}}}}}}}}}}}A에 포함$된 정보가 고전적인 경우$$ 이는 추측 확률에 대한 위의 표현으로 줄어든다$.$null

최소 엔트로피의 작동 특성 증명

그 증거는 2008년 쾨니히, 샤프너, 레너에 의한 논문에서 나온 것이다.^[4]그것은 반제품 프로그램의 기계와 관련이 있다.^[5]우리에게 약간의 초당적 밀도 연산자 ${\displaystyle {\mathrm{operator}}_{}}$ A ${\$가 주어진다고 가정해 보자$.$ 최소 엔트로피의 정의에서 우리는 다음과 같이 말했다.

${\displaystyle H_{\min }(AB)=-\inf _{\sigma _{B}\inf _{\lambda }\{AB}\lambda }^{\lambda }(I_{A}\}\otime \sigma _{B}).}$

이것은 로 다시 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle -\log \inf _{\sigma _{B}\operatorname {Tr}(\sigma _{B})$

조건에 따라

${\displaystyle \sigma _{B}\geq 0}$

${\displaystyle I_{A}\여러 번 \sigma _{B}\geq \rho _{AB}~~}$

우리는 최소가 콤팩트 세트로 대체되므로 최소로 대체될 수 있다는 것을 알아챘다.그리고 이것은 세미더파인 프로그램으로 간결하게 표현될 수 있다.원시적인 문제를 고려하라.

${\displaystyle {\text{min:}}}\operatorname {Tr}(\sigma _{B}})$

${\displaystyle {\text{대상: }}}{A}\otimes \sigma _{B}\geq \rho _{AB}}}$

${\displaystyle \sigma _{B}\geq 0~.}$

$이$ 원시적인 문제는 행렬$({\displaystyle }$ ( ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$, ${\displaystyle I_{}}$ B${\displaystyle {}_{}}$, $Tr$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$)에 의해서도 완전히 지정될 수 있다$.$$I_{B},\operatorname {Tr} ^{*}}$ 여기서$$ ${\displaystyle {\mathrm{Tr}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaysty A$에 대한 부분 트레이스의 보조점이다$$.$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 연산자에 대한$$ ${\displaystyle {\mathrm{Tr}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$의 작업은 다음과 같이 기록할 수 있다$$.

${\displaystyle \operatorname {Tr}^{*}(X)=I_{A}\여러 번 X~~.}$

연산자 ${\displaystyle {EA}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$에 대한 최대화로서 이중 문제를 표현할 수 있다.$AB{\displaystyle }$$}$ 공간 ${\displaystyle \mathrm{AB}}$ ${\displaystyle AB}$에 다음과$$ 같이$$ AB}

${\displaystyle {\text{max:}}}\operatorname {Tr}(\rho _{AB}E_{}{AB}}$

${\displaystyle {\text{대상: }\operatorname {Tr} _{A}(E_{AB})=I_{B}}$

${\displaystyle E_{AB}\geq 0.}$

Choi-Jamiowkowski 이소모르프리즘을 이용하여 채널 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$E}$을(를) 다음과 같이$$ 정의할 수 있다.

${\displaystyle d_{A}I_{A}\otimes {\mathcal{E}^{\doger }(\phi ^{+}\angle \langle \langle \langle \phi ^{+} )=E_{{}AB}$

${\displaystyle {}^{}}$서 종 상태는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 공간 위에 정의된다$.$ 이것은 우리가 이중 문제의 객관적 기능을 다음과 같이 표현할 수 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle \langle \rho _{AB}E_{AB}\rangele =d_{A}\langle \rho_{AB}I_{A}\otimes {\mathcal{E}^{\doger }(\phi ^{+}\angle \langle \langle \phi ^{+} )\rangele }$

${\displaystyle =d_{A}\langle I_{A}\회수 {\mathcal{E}(\rho_{AB}), \phi ^{+}\langle \langle \langle \langle \langle \pi ^{+} )\rangle }}$

소원대로null

시스템 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 위와 같이 부분적으로 고전적인 상태일$$ 경우, 우리가 추구하는 수량은 다음과 같이 감소한다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \max P_{X}(x)\langle x {\mathcal{E}(\rho_{B}^{x}) x\angle ~.}$

$E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 추측 전략으로$$ 해석할 수 있으며, 이는 적수가 시스템 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 통해 양자 정보에 액세스할 수 있는$$ 문자열 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 찾으려는 위에서 주어진 해석으로 축소된다$.$

참고 항목

• 폰 노이만 엔트로피
• 일반화 상대 엔트로피
• 최대 엔트로피

참조