말그란지 준비 정리

수학에서 말그랑쥬 준비정리는 부드러운 기능을 위한 위어스트라스 준비정리의 아날로그다.그것은 르네 톰에 의해 추측되었고 B에 의해 증명되었다. 말그레지(1962–1963, 1964, 1967).

Malgrange 준비 정리 명세서

f(t,x)가 원점 근처에 있는 t∈R과 x∈R의ⁿ 부드러운 복합함수라고 가정하고, k가 다음과 같은 최소의 정수가 되도록 한다.

${\displaystyle f (0,0)=0,{\displaystyf \over t}(0,0)=0,{\dism ^{k-1}f \over t^{k-1}{k-1}f \display t^{k}}}{neq 0}$

그 다음 준비 정리의 한 형태는 원점 f가 원점에서 0이 아닌 매끄러운 함수 c의 산물로서 쓰여질 수 있고, t의 함수로서 도 k의 다항식인 매끄러운 함수의 산물로서 쓰여질 수 있다고 기술하고 있다.바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle f(t,x)=c(t,x)\left(t^{k}+a_{k-1}(x)t^{k-1}+\cdots +a_{0}(x)\right)}$

여기서 함수 c와 a는 원점에서 매끄러우며 c는 0이 아니다.

때때로 매더분할 정리라고 불리는 두 번째 형태의 정리는 일종의 "남은 분할" 정리인데, f와 k가 위의 조건을 만족하고 g가 원점에 가까운 부드러운 함수라면 우리는 쓸 수 있다고 되어 있다.

${\displaystyle g=qf+r}$

여기서 q와 r은 매끄러우며, t의 함수로서 r은 k보다 낮은 도수의 다항식이다.라는 뜻이다.

${\displaystyle r(x)=\sum _{0\leq j<k}^{j}r_{j}(x)}$

일부 부드러운 기능에 대해_j r(x)

정리의 두 형태는 쉽게 서로를 암시한다: 첫 번째 형태는 g가 t인^k "남은" 형태의 특별한 경우고, 나머지 형태의 분할은 우리가 t의 함수로서 f가 k의 다항식이라고 가정할 수 있는 것처럼 정리의 첫 번째 형태부터 따른다.

f와 g 함수가 실제일 경우 c, a, q, r 함수도 실제 함수로 간주할 수 있다.위어스트라스 준비 정리의 경우 이러한 기능은 f와 g에 의해 고유하게 결정되지만, 고유성은 더 이상 말그랑지 준비 정리에 대해 보유하지 않는다.

Malgrange 준비 정리 증빙

말그란지 준비 정리는 위어스트라스 준비 정리에서 추론할 수 있다.이것을 하는 분명한 방법은 효과가 없다: 스무스 기능이 원점에서 형식적인 파워 시리즈 확장을 가지고 있고, 위어스트라스 준비 정리가 형식 파워 시리즈에 적용되지만, 형식 파워 시리즈는 보통 원점 근처에 있는 부드러운 기능으로 수렴되지 않을 것이다.그 대신 푸리에 변환에 통합의 칸막이를 적용함으로써 매끄러운 기능을 분석 기능의 합으로 분해한다는 생각을 사용할 수 있다.이러한 선에 따른 증거는 (Mather 1968) 또는 (Hörmander 1983a, 섹션 7.5)를 참조한다.

Malgrange 준비 정리 대수 버전

말그랑쥬 준비정리는 매끄럽고 실제 가치가 있는 세균의 고리보다 모듈들에 대한 정리로서 재작성될 수 있다.X가 p∈X와 함께 다지관인 경우^∞_p, C(X)는 X의 p에서 매끄러운 기능의 실제 값 세균의 고리를 나타내도록 한다.렛츠_p M(X)은 p에서 사라지는 세균으로 구성된 C^∞_p(X)의 독특한 최대 이상을 나타낸다.A를 C^∞_p(X)-모듈로 하고, f:X → Y를 다지관 사이의 매끄러운 기능이 되도록 한다.q = f(p)로 한다.f는 f와 우측의 조성에 의해 링 동형성 f^*:C^∞_q(Y) → C^∞_p(X)를 유도한다.따라서 우리는 A를 C^∞_q(Y)-모듈로 볼 수 있다.그렇다면 Malgrange 준비 정리는 A가 미세하게 생성된^∞_p C(X)-모듈이라면 A/M_q(Y)A가 유한차원 실제 벡터 공간인 경우에만 A가 미세하게 생성된 C^∞_q(Y)-모듈이라고 말한다.

참조

• Golubitsky, Martin; Guillemin, Victor (1973), Stable Mappings and Their Singularities, Graduate Texts in mathematics 14, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90073-X
• Hörmander, L. (1983a), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6
• Malgrange, Bernard (1962–1963), Le théorème de préparation en géométrie différentiable I–IV, Séminaire Henri Cartan, 1962/63, vol. 11–14, Secrétariat mathématique, Paris, MR 0160234
• Malgrange, Bernard (1964), The preparation theorem for differentiable functions. 1964 Differential Analysis, Bombay Colloq., London: Oxford Univ. Press, pp. 203–208, MR 0182695
• Malgrange, Bernard (1967), Ideals of differentiable functions, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 3, London: Oxford University Press, pp. vii+106, MR 0212575
• Mather, John N. (1968), "Stability of C^∞ mappings. I. The division theorem.", Ann. of Math., 2, The Annals of Mathematics, Vol. 87, No. 1, 87 (1): 89–104, doi:10.2307/1970595, JSTOR 1970595, MR 0232401