선형속도상승정리

계산 복잡도 이론에서 어떠한 실질적인 c를 감안할 때 튜링 기계의 선형 운전 시간 단축 정리 상태;0과 어떤k-tape 튜링 기계 시간 f(n)에 문제가 해결, 많은에서 시간 동안 같은 문제를 해결하는 다른k-tape 기계 f(n)/c+2n+3, 만일 원본기 명확하지 않습니다 어디에 k>, 1.[1][2], 그때를 찾다.e새 machine는 또한 비파괴주의적이다.예를 들어 2n + 3의 상수 2와 3을 n + 2로 낮출 수 있다.^[1]

증명

이 구조는 원래 기계 M의 여러 테이프 기호를 새 기계 N의 하나의 테이프 기호로 포장하는 것에 기초한다.그것은 프로세서에서 긴 단어와 명령을 사용하는 것과 비슷한 효과를 가지고 있다: 그것은 계산 속도를 높이지만 기계 크기를 증가시킨다.얼마나 많은 오래된 기호가 새로운 기호에 채워지는가는 원하는 속도 향상에 달려있다.

새 기계가 세 개의 오래된 기호를 새 기호로 포장한다고 가정합시다.그러면 새로운 기계의 알파벳은 $\Sigma \cup \Sigma ^{3}$ $\Sigma \cup \Sigma ^{3}$ ∪ $\Sigma \cup \Sigma ^{3}$ 3 ${\$ : 원래의 기호와 포장된 기호로 구성된다.새 기계는 같은 번호 k > 1의 테이프를 가지고 있다.N의 상태는 다음과 같은 구성 요소로 구성된다.

M의 상태;
각 테이프에 대해, 머리 아래에 포장된 기호를 설명하는 포장된 기호 3개, 왼쪽에 포장된 기호 및 오른쪽에 포장된 기호
각 테이프에 대해 N 머리 아래의 포장 기호 내의 원래 머리 위치.

새 시스템 N은 지정된 입력을 새 알파벳으로 인코딩하는 것으로 시작한다(따라서 해당 알파벳에는 $\Sigma$ $\Sigma$ 이(가) 포함되어야 한다). $\Sigma$ 예를 들어, 2-테이프 M에 대한 입력이 왼쪽에 있는 경우, 인코딩 후 N의 테이프 구성이 오른쪽에 있는 경우:

[ #

_

a

b

a

b

a

_

...]

[ #

(_,_,_)

...]

[ #

_

...]

[ #

(_,a,b)

(b,a,b)

(b,a,_)

...]

새 기계는 세 개의 오래된 기호(예: 빈 기호 _, 기호 a, 기호 b)를 새 기호(여기서_,a,b)에 넣고 두 번째 테이프에 복사하면서 첫 번째 테이프를 지운다.초기화가 끝나면 새 기계는 머리를 시작으로 향한다.전체적으로 2n + 3단계가 필요하다.

초기화 후 N의 상태는 $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ ( $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ 0 $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ ; $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ ? $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ , $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ ( $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ , $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ _ , $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ , $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ , $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ _ , ?, $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ ], $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ [ $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ , 1 , $(q_{0};~~~?,(\_,\_,\_),?;~~~?,(\_,a,b),?;~~~[1,1])$ ${\displaystyle (q_{0};~?,$ (\_ $, _, _$ ), $~?,$ (\ $_,a,b)?$ $;~~~[1,1])}$ , where the symbol $?$ means that it will be filled in by the machine later; the symbol $[1,1]$ means that the head of the original machine points to the first symbols inside $(\_,\_,\_)$ and $(\_,a,b)$ . Now t기계는 6개의 자체 전환기를 사용하여 m = 3번의 전환을 시뮬레이션하기 시작한다(이 경우 속도 상승은 없지만 일반적으로 m은 6보다 훨씬 클 수 있다).M과 N의 구성을 다음과 같이 하십시오.

[ #

_

b

a

b

a

_

...]

[ #

(_,a,b)

(b,a,b)

(b,_,_)

...]

[ #

_

a

b

a

b

_

...]

[ #

(_,_,b)

(b,a,b)

(b,a,_)

...]

여기서 굵은 기호는 머리 위치를 나타낸다.N의 상태는 $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ ( $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ ; $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ ? $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , ( $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , b $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ ) $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ ? ; $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ ( ) $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , ( $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ b , $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ ) $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ (b $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , ( $(q;~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ ; ~~? ) ${\displaystyle (q;~~~~?,$ (\ $_,\b),$ ?;~~(b $, _),$ ? $;$ ;~~[ $3,1$ 이제 다음과 같은 일이 일어난다.

N은 오른쪽, 왼쪽, 왼쪽, 오른쪽으로 움직인다.After the four moves, the machine N has all its $?$ filled, and its state becomes $(q;~~~\#,(\_,\_,b),(b,a,b);~~~(b,a,b),(b,\_,\_),(\_,\_,\_);~~~[3,1])$
이제 N은 원래 기계의 m = 3 전환에 따라 기호와 상태를 업데이트한다.이 작업에는 두 번의 이동이 필요할 수 있다(현재 기호를 업데이트하고 인접한 기호 중 하나를 업데이트).원래 기계는 다음과 같이 움직인다고 가정한다(오른쪽 N의 해당 구성).

[ #

_

b

a

_

...]

[ #

(_,a,b)

(b,_,_)

(_,_,_)

...]

[ #

_

a

b

_

...]

[ #

(_,_,_)

(_,_,b)

(b,a,_)

...]

$따라서$ N의 $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ 는 $q$ ; $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ ? , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , , , , , , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , , , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , , , , , , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , , , , , , , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , , , , , , , , , , , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , $(q';~~~?,(\_,\_,b),?;~~~?,(b,\_,\_),?;~~~[3,1])$ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , $,,,$ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , $;~~~[3,1])}$ .

복잡성

초기화를 위해서는 2n + 3단계가 필요하다.시뮬레이션에서 N의 6단계는 M의 m단계를 시뮬레이션한다.m > $\leq f(n)/c+2n+3.$ 를 선택하면 $\leq f(n)/c+2n+3.$ 시간 $\leq f(n)/c+2n+3.$ f $\leq f(n)/c+2n+3.$ ( n $\leq f(n)/c+2n+3.$ ) $\leq f(n)/c+2n+3.$ / $\leq f(n)/c+2n+3.$ + $\leq f(n)/c+2n+3.$ + 3. ${\displaystyle \leq f(n)/c+2n+3$ 이 생성된다 $.$ $}$

참조

^ ^a ^b Christos Papadimitriou (1994). "2.4. Linear speedup". Computational Complexity. Addison-Wesley.
^ Thomas A.Sudkamp (1994). "14.2 Linear Speedup". Languages and Machines: An Introduction to the Theory of Computer Science. Addison-Wesley.

[papadi-1] Christos Papadimitriou (1994). "2.4. Linear speedup". Computational Complexity. Addison-Wesley.

[sudkamp-2] Thomas A.Sudkamp (1994). "14.2 Linear Speedup". Languages and Machines: An Introduction to the Theory of Computer Science. Addison-Wesley.

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