한계에서의 연산

계산가능성 이론에서 함수는 균일하게 계산 가능한 함수의 시퀀스의 한계일 경우 계산 가능한 한계라고 불린다.한계, 한계 재귀 및 재귀 근사치로 계산할 수 있는 용어 또한 사용된다.계산 가능한 한계 함수는 결국 정확한 계산 가능한 추정 절차를 실제 값으로 인정하는 함수로 생각할 수 있다.집합의 특성 함수가 한계일 때에만 한계값을 계산할 수 있다.

시퀀스가 D에 대해 균일하게 계산 가능한 경우 함수는 D로 계산 가능하다.

형식 정의

총$$ 함수 $r{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle r(x)}$은(는) 다음과 같은 총 계산 $가능$한 함수 r${\displaystyle ^}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$) {\$displaystyle {\r}(x,$s)이 있는 경우 계산이$$ 가능하다.

${\displaystyle \displaystyle r(x)=\lim _{s\to \infit }{\hat {r}(x,s)}$

총 함수 $r{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ r$(x)}$은(는) D에서 계산 가능한 총 함수 $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle }$x , ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle {\r}(x,s)$도 D에서 계산 가능한 경우 D에서도 계산 가능함수 r (${\displaystyle x}$,s)는 제한됨$$

${\displaystyle \displaystyle r(x)=\lim _{s\to \infit }{\hat {r}(x,s)}$

자연수 집합은 특성 함수가 한계에서 계산 가능한 경우에만 한계에서 계산 가능하도록 정의된다.이와는 대조적으로, $\varphi {\displaystyle }$${\displaystyle (t}$ ,${\displaystyle i}$)$${\$displaystyle \pi(t$,i$)}$ 함수에 의해 한계에서 계산이 가능하고$$, i${\displaystyle (t}$, i ) ${\displaysty \pi(t,i)}$가 안정화되었을 정도로 큰 t$$ 값을 반환하는 두 번째 계산 함수가 있는 경우에만 세트가 계산된다.

한계 보조정리

한계 보조기구는 자연수 집합을 $0{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$빈 집합의 튜링 점프)에서 계산할 수 있는 경우에만 계산할 수 있다고 명시한다.상대화 한계 보조정리에서는 집합이 $\$ {\$displaystyle$ D$'}$에서 계산 가능한 경우에만$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에서 계산할 수 있다고 명시하고 있으며$,$ 또한 한계 보조정리(및 그 상대화)가 균일하게 유지된다.Thus one can go from an index for the function ${\displaystyle {\hat {r}}(x,s)}$ to an index for ${\displaystyle {\hat {r}}(x)}$ relative to ${\displaystyle 0'}$. One can also go from an index for ${\displaystyle {\hat {r}}(x)}$ relative to ${\displaysty$$r$^(x${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$) {\$displaystyle {\r}(x$${\displaystyle ,}$$s)$ {\displaystyle ${\displaystyle {\r}(x$에 대한 인덱스에$$ 0$'}.$

증명

$0{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는) [계산 가능한] 집합이므로 계산 가능한 함수를 정의할 수 있으므로 한계 자체에서 계산 가능해야 한다.

${\displaystyle \data{r}}(x,s)={\data{case}1&{\text{stage}s,x{\text{{not}}}}에 대해 {\displaysty}s,x{0&{\text}{case}}}}}}}에 열거됨$

제한 $r{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) {\$displaystyle r(x)}$이(가) s ${\displaystyle s}$로 무한대로 가는$$ 것이 $0{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 0$'}$의 특성 함수다$.$

따라서 Turing 감소에 의해 한계 계산성이 보존되는 경우, $이$는 0 ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$부터 계산 가능한 모든 세트가$$ 한계 계산 가능하다는 것을 보여주기에 충분하다.Fix sets ${\displaystyle X,Y}$ which are identified with their characteristic functions and a computable function ${\displaystyle X_{s}}$ with limit ${\displaystyle X}$. Suppose that ${\displaystyle Y(z)=\phi ^{X}(z)}$ for some Turing reduction ${\displaystyle \phi }$ and de연산 가능한 함수 ${\displaystyle {Ys}_{}}$ ${\$을(를$$) 다음과 같이 미세화한다.

${\displaystyle Y_{s}(z)={\begin{case}\phi ^{X_{s}}}{X_{s}}{\text{{stext}}{{{s}}}}{\text{stepes}}는 최대 {{s{\text{stepes} 단계로 수렴된다.}}\\0&{\text{{\text}{}}}\end{case}}$

이제 X(z)ϕ 계산{\displaystyle\phi ^{X}(z)}s{s\displaystyle}단계에 X{X\displaystyle}의 처음으로{s\displaystyle}조각처럼 보이는 한 점인. 이제 말해 두′ 을 골랐잖니{\displaystyle s'&gt니다.}가 모든 z<>의+1{\displaystyle z<, s+1}에 X 같아 s′(z))X(}{\displaystyle X_{s'}(z)=X(z). 만약 t합니다′{\displaystyle t&gt의 '} 다음 계산 ϕ Xt(z){\displaystyle\phi ^{X_{t}}(z)}에 대부분의 그것에 전진′<>Xϕ에{\displaystyle s'&lt는}단계를 아는 일(}{\displaystyle\phi ^{X}(z). 따라서 Ys{\displaystyle Y_(z).{s}(z)}h$\varphi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle Y}$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \phi ^{X}(z)=Y(z)}$의 한도로서$,$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) 계산할$$ 수 있다.

$\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 집합은$$ 포스트의 정리에 의해$$ $0{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$부터 계산 가능한 집합에 불과하므로, 한계 보조정리 또한 계산 가능한 집합은 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 집합임을$$ 수반한다.

계산 가능한 실수 제한

real number x는 x로 수렴되는 합리적 숫자(또는 등가, 계산 가능한 real number)의 계산 가능한 시퀀스 ${\displaystyle r_{}}$ i ${\$가 있는 경우 한계에서 계산 가능하다.대조적으로, 실제 숫자는 그것과 수렴되고 계산 가능한 수렴 계수가 있는 합리적인 숫자의 순서가 있는 경우에만 계산 가능하다.

실제 숫자를 비트 시퀀스로 볼 때 다음과 같은 등가 정의는 유지된다.An infinite sequence ${\displaystyle \omega }$ of binary digits is computable in the limit if and only if there is a total computable function ${\displaystyle \phi (t,i)}$ taking values in the set ${\displaystyle \{0,1\}}$ such that for each i the limit ${\displaystyle \lim$$_{t\rightarrow \infit }\phi (t,i)}$이(가) 존재하며$$ $\Omega {\displaystyle }$ (${\displaystyle i}$) ${\displaystyle \omega (i)}$과 같다$.$따라서 각 i에 대해 t가 증가함에 따라$\varphi {\displaystyle }$(${\displaystyle }$t${\displaystyle }$, ${\displaystyle i}$ ) {\$displaystyle \pi (t,$i)}의 값은 결국$$ 일정해지고 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle (i}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \omega (i)}$과 같다$.$ 계산 가능한 실수의 경우와 마찬가지로, 계산 가능한 계산 가능한 실수의 두 표현 사이에서 효과적으로 이동할 수 없다.

예

• 이항 확장이 정지 문제를 인코딩하는 실제는 한계에서 계산할 수 있지만 계산할 수는 없다.
• 1차 산술의 진리 세트를 이항 확장이 인코딩하는 실제는 한도에서 계산할 수 없다.
• 차이틴은 계속.

참고 항목

• 스피커 수열

참조

1. J. Schmidhuber, "Kolmogorov의 일반화된 복잡성과 한계에서 계산할 수 없는 보편적 측정의 히에라치" 2002년 컴퓨터 과학 재단 국제 저널.
2. R. 소어.반복적으로 열거할 수 있는 세트 및 도.스프링거-베를라크 1987.