리-카터 모델

Lee-Carter 모델은 사망률 예측과 기대 수명 예측에 사용되는 수치 알고리즘이다.^[1]모델에 대한 입력은 시간별로 단조롭게 배열된 연령별 사망률의 행렬이며, 일반적으로 열과 행이 있는 연령은 연령별 사망률의 행렬이다.출력은 입력과 동일한 형식의 예측 사망률 행렬이다.

이 모델은 단수 값 분해(SVD)를 사용하여 다음을 찾는다.

• 사망률 추세의 80~90%를 포착하는$$ 일변량 시계열 벡터 $k{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ (여기서 $첨자{\displaystyle }$t {\$displaystyt t}$은 시간을 가리킴$$)
• 각 연령(여기서 첨자 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mathbf {b} _{x})$의 상대적 사망률을 설명하는$$$$ 벡터 $b{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ x$}$ 및
• 스케일링 상수(여기서는 s ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}로 표시되지만$$ 문헌에는 이름이 없음).

놀랍게도 $k{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 대개 선형이며$$, 이는 대부분의 모집단에서 기대수명에 대한 증가가 매년 상당히 일정함을 의미한다.SVD를 계산하기 전에 먼저 연령별 사망률을 A ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle t_{}}$ ${\$로 변환한 다음 시간이 지남에 따라 연령별 수단을 빼서 중심을 맞춘다.시간 경과에 따른 연령별 평균은 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$로 표시된다$.$첨자 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x,t}$은(는${\displaystyle {)}_{}}$ A $,$ t {\$displaystyle$ \$mathbf {A}$_{x$,t}$가 나이와 시간 모두에 걸쳐$$ 있다는 사실을 가리킨다$$.

많은 연구자들이 SVD로 $생성$된 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {k} _{t}$ 벡터를$$ 매년 경험적 수명 기대치에 적합시켜 k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {a} _{x}$ 및$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 벡터를 조정한다.이 접근법을 사용하여 조정할 때 k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {$k} _{t}$에 대한 변경은 대개 작다$$.

사망률을 예측하기 위해 k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$수정 여부)를 ARIMA 모델을 사용하여 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$ 미래$$ 연도에 투영한다.The corresponding forecasted ${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t+n}}$ is recovered by multiplying ${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}}$ by ${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$ and the first diagonal element of S (when ${\displaystyle \mathbf {U}$$\mathbf {S} \mathbf {V^{*} ={\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t}})$ ).$$실제 사망률은 이 벡터의 지수화를 통해 회복된다.

$k{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 선형성 때문에 일반적으로 추세가 있는 랜덤워크로 모델링된다$.$기대 수명 및 기타 수명표 측정은 정기적인 사망률을 산출하기 위해 평균을 다시 추가하고 지수 값을 취한 후 이 예측 행렬에서 계산할 수 있다.

대부분의 구현에서 예측에 대한 신뢰 구간은 몬테카를로 방법을 사용하여 다중 사망률 예측을 시뮬레이션하여 생성된다.시뮬레이션 결과의 5%와 95% 사이의 사망률 집단은 유효한 예측으로 간주된다.이러한 시뮬레이션은 $입력{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 데이터에서 파생된$$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {k} _{t}$의 표준 오차에 기초한 랜덤화를 사용하여 k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf$ {$k} _{t}}$를 미래로$$ 확장함으로써 이루어진다.

알고리즘.

알고리즘은 다음 방정식에 대한 최소 제곱법을 찾으려고 한다.

${\displaystyle \ln {(\mathbf {m} _{x,t})=\mathbf {a} _{x}+\mathbf {k} _{t}\mathbf {b} _{x}+\epsilon _{x,t}}}}$

여기서 ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, t ${\$는 $매년$ t ${\displaystyle$ t$\}$의 각 $연령$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대한 사망률의 행렬이다.

1. $각$ 연령에 대해$$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$,$$$){\$의 평균인$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ \ln}을(\mathbf {m} _{x,t}) 계산하십시오.

   ${\displaystyle \mathbf {a} _{x}={\frac {\sum _{t=1}^{}T}{\ln {(\mathbf {m} _{x,t}}}}}}}}{T}}$

2. $SVD$에서${\displaystyle {}_{}}$할 ${\displaystyle {\mathrm{계산}}_{}}$ A$$x , t {\$displaystyle \mathbf {A} _{x,$t}:

   ${\displaystyle \mathbf {A} _{x,t}=\ln {(\mathbf {m} _{x,t})-\mathbf {a} _{x}}}$

3. $A{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle t_{}}$ ${\$:의 단수 값 분해 계산

   ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V^{*}}:{\text{svd}}(\mathbf {A} _{x,t})}}}$

4. Derive ${\displaystyle \mathbf {k} _{t}}$, ${\displaystyle s_{1}}$ (the scaling eigenvalue), and ${\displaystyle \mathbf {b} _{x}}$ from ${\displaystyle \mathbf {U} }$, ${\displaystyle \mathbf {S} }$, and ${\displaystyle \mathbf {V^{*}} }$:

   ${\displaystyle \mathbf {k} _{t}=(u_{1,1}, u_{2,1}, u_{t,1}$

   ${\displaystyle \mathbf {b} _{x}=(v_{1,1},v_{1,2},...,v_{1,x}})$

5. $표준{\displaystyle }$ 일변량 ARIMA 모델을 사용하여$$ $예측{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 추가$$ 연도를 n ${\displaystyle n}:$

   ${\displaystyle \mathbf {k} _{t+n}={\text{ARIMA}(\mathbf {k} _{t}n)}$

6. 예측된 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+$$ {\$displaystyle$ \$mathbf {k}$ _${t+n$ $원본{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ b x ${\$및 x ${\$를 사용하여$$ 각 연령에 대해 예측된 사망률을 계산하십시오.

   ${\displaystyle \mathbf {m} _{x,t+n}=\exp(\mathbf {a} _{x}+s_{1}\mathbf {k} _{t+n}\mathbf {b} _{x}}}}}}}}}}$

토론

SVD나 다른 치수 감소 방법을 적용하지 않으면 사망률 데이터 표는 높은 상관 관계가 있는 다변량 데이터 시리즈로, 이러한 다차원 시계열의 복잡성으로 인해 예측하기 어렵다.SVD는 구글의 페이지 순위 알고리즘을 포함한 많은 다양한 분야에서 치수 감소 방법으로 널리 이용되고 있다.

Lee-Carter 모델은 Ronald D에 의해 소개되었다. 이 대통령과 로렌스 카터는 1992년 '미국 사망률의 시계열 모델링 및 예측'(미국 통계협회 87년(9월) 저널: 659–671년)이라는 기사로 함께했다.^[2]이 모델은 1980년대 후반과 1990년대 초반에 역사 인구 자료에서 비율을 추론하기 위해 역투영법을 사용하려고 시도하면서 그들의 작품에서 성장했다.^[3]이 모델은 미국 사회보장국, 미국 인구조사국, 유엔에서 사용되어 왔다.그것은 오늘날 세계에서 가장 널리 사용되는 사망률 예측 기법이 되었다.^[4]

Lee-Carter 모델에 대한 확장이 있었는데, 이는 가장 두드러지게 결측년수, 상관관계가 있는 남성과 여성 인구, 사망률 체계를 공유하는 인구(예: 서유럽)의 대규모 일관성을 설명하기 위한 것이다.관련 논문은 로널드 리 교수의 홈페이지에서 많이 찾아볼 수 있다.

구현

리-카터 모델로 예측하는 소프트웨어 패키지는 의외로 적다.

• LCFIT는 대화형 형태의 웹 기반 패키지다.
• Rob J. Hyndman 교수는 리-카터 모델을 만들고 예측하는 루틴을 포함하는 인구통계 R 패키지를 제공한다.
• R의 대안으로는 빌레가스, 밀로소비치, 카이셰프(2015년)의 StMoMo 패키지가 있다.
• 독일 로드리게스 교수는 스타타를 이용한 리-카터 모델에 대한 코드를 제공한다.
• 맷랩을 이용해 에릭 존더우 교수와 마이클 로킹거 교수가 장수 도구 상자를 모아 매개변수 추정을 했다.

참조