잭슨 q-베셀 함수

수학에서 잭슨 q-베셀 함수(또는 기본 베셀 함수)는 잭슨이 도입한 베셀 함수의 세 가지 q-아날로그 중 하나이다(1906a, 1906b, 1905a, 1905b). 세 번째 잭슨 q-베셀 함수는 한-엑스턴 q-베셀 함수와 동일하다.

정의.

세 가지 잭슨 q-Besel 함수는$$ q-Pochhammer 기호와 기본 초기하 함수 ${\displaystyle \phi$}에 의해 주어진다.

${\displaystyle J_{\nu }^{(1)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{2}\phi _{1}(0,0;q^{\nu +1};q,-x^{2}/4),\quad x <2,}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{0}\phi _{1}(;q^{\nu +1};q,-x^{2}q^{\nu +1}/4),\quad x\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(3)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{1}\phi _{1}(0;q^{\nu +1};q,qx^{2}/4),\quad x\in \mathbb {C} .}$

연속 한계에 의해 베셀 함수로 줄일 수 있다.

${\displaystyle \lim _{q\to 1}J_{\nu }^{(k)}(x(1-q);q)=J_{\nu }(x),\k=1,2,3.}$

첫 번째와 두 번째 잭슨 q-Besel 함수 사이에 연결 공식(Gasper & Rahman(2004)):

${\displaystyle J_{\nu }^{}^{(2)(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\nu }^{}^{{\nu }^{(1)(x;q),\x <2.}$

정수 순서의 경우 q-Besel 함수가 충족됨

${\displaystyle J_{n}^{(k)}(-x;q)=(-1)^{n_{n}^{n}{n}}{(k)}(x;q),\\n\in \mathb {Z},\=1,2,3.}$

특성.

음의 정수 순서

관계를 사용함으로써 (Gasper & Rahman(2004)):

${\displaystyle (q^{m+1};q)_{\inflt }=(q^{m+n1};q)_{\inflt }(q^{m+1};q)_{n}}}}$

${\displaystyle (q;q)_{m+n}=(q;q)_{m}(q^{m+1};q)_{n}\m,n\in \mathb {Z},}$

우리는 얻는다.

${\displaystyle J_{-n}^{(k)}(x;q)=(-1)^{n_{n}^{n}^{(k)}(x;q),\k=1,2.}$

제로스

${\displaystyle {\mathrm{한씨}}_{}^{}}$는 $J{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}^{}}$( 2${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle J_{\nu }^{(2){{}}}(x;q)}}$에 실 0이 무한히 많다고$$ 언급했다(1949년). 이스마일은 > -1 ${\displaystyle \nu >-1}$의 경우, ${\displaystyle J_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle 2_{}^{}}$) (${\displaystyle x}$ ;${\displaystyle q}$ )$${\$displaystyle J_{\nu }^{(2)(x;q)}$의 0이 아닌 모든 루트가 진짜$$(ISmail (1982)임을 증명했다.

q-Besel 함수의 비율

The function ${\displaystyle -ix^{-1/2}J_{\nu +1}^{(2)}(ix^{1/2};q)/J_{\nu }^{(2)}(ix^{1/2};q)}$ is a completely monotonic function (Ismail (1982)).

재발 관계

첫 번째와 두 번째 잭슨 q-베셀 함수는 다음과 같은 반복 관계를 갖는다(1982년)와 가스퍼 & 라만(2004년) 참조:

${\displaystyle q^{\nu }J_{\nu +1}^{(k)}}(x;q)={\frac {2(1-q^{\nu }}}{x}J_{{}(k)-J_{\nu -1}^{x;q), k=1,2}$

${\displaystyle J_{\nu }^{{\sqrt {q};q)=q^{\pm \nu /2}\좌측(J_{\\nu }^1)\pm {\frac {x}{2}}J_{{{}{pm}{{{{{{}}}}}}}{x;q.}$

불평등

언제ν>− 1{\displaystyle \nu>)}, 두번째 잭슨 q-Bessel 기능이 만족하실 정도:Jν(2)(z, q)≤(− q, q)∞(q.q)∞(z2)ν exp ⁡{로그 ⁡(z2qν/4)2로그 ⁡ q}.{\displaystyle\left J_{\nu}(z, q)\right \leq{\fr.교류{(-${\sqrt {q}};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac { z }{2}}\right)^{\nu }\exp \left\{{\frac {\log \left( z ^{2}q^{\nu }/4\right)}{2\log q}}\right\}.}$ (see Zhang (2006).)

For ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \left J_{n}^{(2)}(z;q)\right \leq {\frac {(-q^{n+1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac { z }{2}}\right)^{n}(- z$$^{2};q)_{\inful }}$ $$(Koelink(1993) 참조)

함수 생성 중

다음 공식은 베셀 함수에 대한 생성 함수의 q-아날로그다(Gasper & Rahman(2004) 참조).

${\displaystyle \sum \sum _{n=-\infit }^{}^{n_{n}^{(2)(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infit }e_{q}(xt/2)e_{q}(-x/2t),},}}}}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infit }^{}^{n_{n}^{(3)(x;q)=e_{q}(xt/2)E_{q}(-qx/2t).}$

${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$는 q-message 함수다.

대체 표현

적분 표현

두 번째 잭슨 q-Besel 함수는 다음과 같은 적분 표현을 가지고 있다(Rahman(1987년)과 이스마일 & 장(2018a년) 참조).

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{2\nu };q)_{\infty }}{2\pi (q^{\nu };q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\left(e^{2i\theta },e^{-2i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{-i\theta };q\right)_{\infty }}{(e^{2i\theta }q^{\nu },e^{-2i\theta }q^{\nu };q)_{\infty }}}\,d\theta ,}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};q)_{\infit }=(a_{1};q)_{\infit }}{n2};q)_{\inft }\re \nu >0,}$

여기서${\displaystyle }$( a${\displaystyle }$; ${\displaystyle q{}_{}}$)$∞{\$는 q-Pochhammer 기호다. 이 표현은 제한 $q{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q\\to 1}$에서 베셀 함수의 통합 표현으로 감소한다$.$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\sqrt {2\pi \log q^{-1}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left({\frac {q^{\nu +1/2}z^{2}e^{ix}}{4}};q\right)_{\infty }\exp \left({\frac {x^{2}}{\log q^{2}}}\right)}{(q,-q^{\nu +1/2}e^{ix};q)_{\infty }}}\,dx.}$

초기하 표현

두 번째 잭슨 q-Besel 함수는 다음과 같은 초지압 표현을 가지고 있다(Koelink(1993년), Chen, Ismail 및 Muttalib(1994년) 참조).

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }}{{(q;q)_{\}\{1}{1}\phi _{1}(-x^{2}/4;0;q;q^{1},nu +1}),}}}}$

${\displaystyle J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }({\sqrt {q}};q)_{\infty }}{2(q;q)_{\infty }}}[f(x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)+f(-x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)],\ f(x,a;q):=(iax;{\sqrt {q}})_{\infty }\ _{3}\phi _{2}\left({\begin{matrix}a,&-a,&0\\-{\sqrt {q}},&iax\end{matrix}};{\sqrt {q}},{\sqrt {q}}\right).}$

두 번째 공식의 즉각적인 결과로 무증상 팽창을 얻을 수 있다.

다른 초기하학적 표현은 Rahman(1987년)을 참조한다.

수정된 q-Besel 함수

수정된 베셀 함수의 q-아날로그는 잭슨 q-베셀 함수(1981년)와 올샤네츠키 & 로고프(1995)로 정의된다.

${\displaystyle I_{\nu }^{(j)}(x;q)=e^{i\nu \pi /2}J_{\nu \}^{}}}{(j)}(x;q),\j=1,2.}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(j)}(x;q)={\frac {\pi }{2\sin(\pi \nu )}}}}\왼쪽\{{}I_{-\nu }^{{-}(j)}-I_{\nu }^{{}}}}}}(j)}(x;q)\right\},\=1,2,\ \nu \in \mathb {C} -\mathb {Z},},}$

${\displaystyle K_{n}^{(j)}(x;q)=\lim _{\nu \to n}K_{\nu \}^{(j)}(x;q)\\in \mathb {Z}}}}$

수정된 q-Besel 함수 사이에는 다음과 같은 연결 공식이 있다.

${\displaystyle I_{\nu }^{}^{(2)(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infit }I_{\nu }^{(1)(x;q).}$

통계적 적용에 대해서는 Kemp(1997) harvtxt 오류: 대상 없음: CATEREFKemp1997 (도움말)을 참조한다.

재발 관계

잭슨 q-Besel 함수의 재발 관계와 수정된 q-Besel 함수의 정의에 의해 다음과 같은 재발 관계를 얻을 수 있다(${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {)}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}x;}$q ) ${\displaystyle K_{\nu }^{{}^{j(j$)}(x$;q)}}$도 같은 관계를 만족한다(Ismail(1981)).

${\displaystyle q^{\nu }I_{\nu +1}^{(j)}(x;q)={\frac {2}{z(1-q^{\nu }}}I_{\nu }^{(j)}(x;q)+I_{\nu -1}^{(j)}(x;q),\j=1,2.}$

다른 재발 관계는 올샤네츠키 & 로고프(1995)를 참조한다.

연속 분수 표현

수정된 q-Besel 함수의 비율은 연속 분수를 형성한다(1981):

${\displaystyle {\frac {I_{\nu }^{(2)}(z;q)}{I_{\nu -1}^{(2)}(z;q)}}={\cfrac {1}{2(1-q^{\nu })/z+{\cfrac {q^{\nu }}{2(1-q^{\nu +1})/z+{\cfrac {q^{\nu +1}}{2(1-q^{\nu +2})/z+\ddots }}}}}}.}$

대체 표현

초기하 표현

함수 $I{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}^{}}$( ${\displaystyle 2{}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{z}}_{}^{}}$; ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle I_{\nu }^{(2)(z;q)}$에는 다음과 같은 표현이 있다$$(Ismail & Zhang(2018b).

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)(z;q)={\frac{(z/2)^{\nu }{{}{{1}{1}{1}{1}}{1}\phi _{1}(z^{2}/4;0;q^{{1}.nu +1}).}$

적분 표현

수정된 q-Besel 함수는 다음과 같은 적분 표현을 가지고 있다(1981):

${\displaystyle I_{\nu }^{(2)}(z;q)=\left(z^{2}/4;q\right)_{\infty }\left({\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \nu \theta \,d\theta }{\left(e^{i\theta }z/2;q\right)_{\infty }\left(e^{-i\theta }z/2;q\right)_{\infty }}}-{\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t}z/2;q\right)_{\put }}\right),}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}},\ \arg z <\pi /2,}$

${\displaystyle K_{\nu }^{(1)}(z;q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh \nu \,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}}.}$

참고 항목

• q-베셀 다항식

참조

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• Gasper, G.; Rahman, M. (2004), Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 96 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719
• Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten, 2 (1–2): 4–34, doi:10.1002/mana.19490020103, ISSN 0025-584X, MR 0030647
• Ismail, Mourad E. H. (1981), "The Basic Bessel Functions and Polynomials", SIAM Journal on Mathematical Analysis, 12 (3): 454–468, doi:10.1137/0512038
• Ismail, Mourad E. H. (1982), "The zeros of basic Bessel functions, the functions J_ν+ax(x), and associated orthogonal polynomials", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 86 (1): 1–19, doi:10.1016/0022-247X(82)90248-7, ISSN 0022-247X, MR 0649849
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