하지스 추정기

통계학에서, 조지프 호지스의 이름을 딴 호지스의^[1] 추정기(또는 호지스-르 캠 추정기^[2])는 "충분"^[3]한 추정기의 유명한 반례이다. 즉, 일반 효율적인 추정기보다 점근 분산을 더 작게 한다.그러한 반사례의 존재는 정규 추정치의 개념을 도입하는 이유이다.

Hodges의 추정기는 단일 지점에서 일반 추정기보다 개선됩니다.일반적으로 어떤 초충분 추정기라도 르베그 측정치 ^[4]0의 집합에서 정규 추정기를 초과할 수 있다.

건설

$\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ 를 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ n \ $displaystyle$ \ $scriptstyle \hat \theta }_{n}$ 이 $\scriptstyle\hat\theta_n$ (가) 일부 파라미터의 "공통" 추정치라고 합니다.이는 일관성이 있으며, 평균 0과 분산이 있는 정규_θ 분포이며, 평균은 ""에 의존할 수 있습니다.

{sqrt {n}({\hat {theta }}_{n}-\theta})\\\\\rightarrow {d}\L_{\theta }\ .

그럼 호지스의 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}$ $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}$ $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}$ H $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}$ \ $script$ style $\ hat$ \ $theta$ } $_$ { $n$ }^{ $H}}$ 는 $\scriptstyle\hat\theta^H_n$ 다음과 같이 정의됩니다^[5].

{\displaystyle\hat\theta}_{n}^{H = case } { \ hat { \ theta } _ { n } 、 { \ text { } 、 { n } 、 { \ text { and } 、 \ 0 、 \ text { } } { \ n } < n ^ 1 / 4 }\end {case}}

$\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ 추정치는 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ ^ $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ \ displaystyle^−1/4^−1/4 $\scriptstyle$ \ $hat$ \ $theta$ } $_$ { $n$ } 입니다 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ .단, 0 이 되는 작은 간격은 제외합니다.이 추정치는 θ에 대해 일관성이 있고 점근 분포가^[6] 다음과 같은 것을 쉽게 알 수 있습니다.

{\displaystyle {naligned}&n^{\alpha }({\hat {theta}_{n}-\theta})\{xrightarrow {d}\0,\qquad {t}{text}}\theta=0,\&{\trt {n}{n}^{\t}^{\h}^{\h}^{\t}^{\t}^{\ta}^{\ta}^{\t}^{\ta}^{\t}^{\t

모든 α δ R에 대해.따라서 이 추정치는 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ ^ n $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ \ $displaystyle \scriptstyle \hat {theta$ }} $_{n}$ 의 $\scriptstyle\hat\theta_n$ 점근 분포가 모든 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ 0 0에 대해 동일하지만 δ = 0에 대해서는 수렴 속도가 임의로 빨라진다.이 추정치는 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}$ $(\$ }} $_{n})$ 의 $\scriptstyle\hat\theta_n$ 점근 거동을 적어도 한 지점 θ = 0으로 초과하므로 충분하다.일반적으로 초자급성은 파라미터 공간 δ의 르베그 측정 0의 서브셋에서만 달성될 수 있다.

예

Hodges 추정기의 평균 제곱 오차(배 n)입니다.파란색 곡선은 n = 5, 보라색에서 n = 50, 올리브에서 n = ^[7]500에 해당합니다.

x, ..., x가_n 정규 분포 N(,, 1)에서 알 수 없지만 알려진 분산을 갖는 독립적이고 균등하게 분포된(IID) 랜덤 표본이라고 가정합니다₁.다음으로 모집단 평균 is의 공통 추정치는 모든 관측치의 산술 평균입니다. $\scriptstyle {\bar {x}}$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $script style$ \ $bar$ { x $\scriptstyle {\bar {x}}$ } $\scriptstyle {\bar {x}}$ 。 $대응$ 하는 Hodges의 추정치는 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ 1 { $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ 1 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ } { x $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ n $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}\;=\;{\bar {x}}\cdot \mathbf {1} \{|{\bar {x}}|\,\geq \,n^{-1/4}\}$ - $4$ { $displaystyle \script$ style { \ $hat } _$ { $n$ } { H } \ ; = = } \ $cdot$ \ $mathbf$ { 1 } \ { { { \ $bar { n$ } \ $ge bar$ { $1 },$ }은(는) 표시기 기능을 나타냅니다.

정규 추정기 x와 관련된 평균 제곱 오차(n으로 스케일링됨)는 상수이며 모든 µ에 대해 1과 같습니다. $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}$ 에 호지스 추정기의 평균 제곱 오차 $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}$ $\scriptstyle {\hat {\theta }}_{n}^{H}$ H \ $scriptstyle \ hat$ \ $theta$ } _ { $n$ }^{ $H$ 0 부근에서 불규칙하게 동작하며, n → ∞로 제한되지도 않습니다.이는 Hodges의 추정기가 규칙적이지 않고 점근 특성이 형식의 한계(고정, n → µ)로 적절하게 설명되지 않음을 보여준다.

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제임스-스타인 추정기

메모들

^ Vaart (1998년, 페이지 109
^ 케일(1985년)
^ Bikkel (1998, 페이지 21)
^ Vaart (1998년, 페이지 116
^ 스토이카 & 오터스텐 (1996년, 135페이지)
^ Vaart (1998년, 페이지 109
^ Vaart (1998, 페이지 110)

레퍼런스

Bickel, Peter J.; Klaassen, Chris A.J.; Ritov, Ya’acov; Wellner, Jon A. (1998). Efficient and adaptive estimation for semiparametric models. Springer: New York. ISBN 0-387-98473-9.
Kale, B.K. (1985). "A note on the super efficient estimator". Journal of Statistical Planning and Inference. 12: 259–263. doi:10.1016/0378-3758(85)90074-6.
Stoica, P.; Ottersten, B. (1996). "The evil of superefficiency". Signal Processing. 55: 133–136. doi:10.1016/S0165-1684(96)00159-4.
Vaart, A. W. van der (1998). Asymptotic statistics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78450-4.

[1] Vaart (1998년, 페이지 109

[2] 케일(1985년)

[3] Bikkel (1998, 페이지 21)

[4] Vaart (1998년, 페이지 116

[5] 스토이카 & 오터스텐 (1996년, 135페이지)

[6] Vaart (1998년, 페이지 109

[7] Vaart (1998, 페이지 110)

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