좋은 스패닝 트리

그래프 이론의 수학적 분야에서 내장된 평면 $그래프{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 양호한 스패닝 트리${\displaystyle }$T {\$displaystyle$ T$}$은 트리 외 가장자리가 다음 조건을 만족하는$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 루트 스패닝 트리다.

• $T{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle u}$ 및$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) T {\$displaystyle T}$의 루트부터 리프까지의 경로에 놓여$$ 있는 비 트리 에지$({\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$) ${\displaystystyle (u,v)}$이(가) 없음
• 꼭지점 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$v}에 대한 가장자리는 세 세트 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}{}_{}}$ Y ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {Y\_}_{}}$${v}$ 및$$ $Z{\displaystyle {}_{}}$ v ${\$로 나눌 수 있으며$$$,$ 여기서,
  • ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$은(는) 트리 이외의 에지 집합으로, 빨간색 영역에서 종료된다.
  • ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$은(는) 트리 가장자리 집합으로, $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$의 자식임
  • ${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$은(는) 트리 이외의 가장자리 집합으로 그린 존에서 종료된다.

형식 정의^[1][2]

$G{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) 평면 그래프로$$ 한다.Let ${\displaystyle T}$ be a rooted spanning tree of ${\displaystyle G_{\phi }}$. Let ${\displaystyle P(r,v)=(r=u_{1}),u_{2},\ldots ,(v=u_{k})}$ be the path in ${\displaystyle T}$ from the root ${\displaystyle r}$ to a vertex ${\dis$$플레이$ 스타일 $v\neq r$너를 제외한 두 그룹으로 P(r, 건물){P(r,v)\displaystyle}너의 나는}{\displaystyle u_{나는}은 아이들 길은(나는 < 1≤, k){\displaystyle(1\leq i<, k)}, 나는 + 1{\displaystyle u_{i+1}},;x{왼쪽 그룹 나는{L\displaystyle}와 오른쪽 그룹 R{R\displaystyle}. 아이.\disp$laystyle x}$ of ${\displaystyle u_{i}}$ is in group ${\displaystyle L}$ and denoted by ${\displaystyle u_{i}^{L}}$ if the edge ${\displaystyle (u_{i},x)}$ appears before the edge ${\displaystyle (u_{i},u_{i+1})}$ in clockwise ordering of the edges incident to ${\displaystyle u_{i}}$ when the ordering is started from the edge ${\displaystyle (u_{i},u_{i+1})}$. Similarly, a child ${\displaystyle x}$ of ${\displaystyle u_{i}}$ is in the group ${\displaystyle R}$ and denoted by ${\displaystyle u_{i}^{R}}$ ifthe edge ${\displaystyle (u_{i},x)}$ appears after the edge ${\displaystyle (u_{i},u_{i+1})}$ in clockwise order of the edges incident to ${\displaystyle u_{i}}$ when the ordering is started from the edge ${\displaystyle (u_{i},u_{i+1})}$.The tree ${\displaystyle T}$ is called a good spanning tree^[1] of ${\displaystyle G_{\phi }}$ if every vertex ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (v\neq r)}$ of ${\displaystyle G_{\phi }}$ satisfies the following two conditions with respect to ${\displaystyle P(r,v)}$.

• [Cond1] $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\$에 이외의 에지$({\displaystyle v}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle(v,u_{i}),$ <${\displaystyle$ i$<k$ 및
• [Cond2] the edges of ${\displaystyle G_{\phi }}$ incident to the vertex ${\displaystyle v}$ excluding ${\displaystyle (u_{k-1},v)}$ can be partitioned into three disjoint (possibly empty) sets ${\displaystyle X_{v},Y_{v}}$ and ${\displaystyle Z_{v}}$ satisfying the 다음 조건(a)-(c)
  • (a) $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$와 Z ${\displaystyle v_{}}$ ${\$의 각각은 연속적인 비트리 가장자리 집합이고$$ $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$는 연속적인$$ 트리 가장자리 집합이다.
  • (b) ${\displaystyle X_{}}$ v ${\$ $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$ $Z$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$의 가장자리는 가장자리$({\displaystyle {uk}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,$){\displaystystyle(u_{k-1}v)}$에서 시계 방향으로 나타난다$$$.$
  • 각 가장자리의 경우(c)(v, v′)∈ Xv{\displaystyle(v,v의)\in X_{v}}, v′{\displaystyle v'}T네가 나는 나는{\displaystyle T_{u_{나는}^{L}에}},;, 각 가장자리에 Zv{\displaystyle(v,v의)\in Z_{v}∈(v, v′)}k{\displaystyle i<, k}<, v에 함유되어 있는′{\displaystyle v'}c은ontainEd in $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {u_{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}_{}}$ R ${\$ i< > ${\displaystyle$ i$<k$
    

    A plane graph ${\displaystyle G_{\phi }}$ (top), a good spanning tree ${\displaystyle T}$ of ${\displaystyle G_{\phi }}$ (down) solid edges are part of good spanning tree and dotted edges are non-tree edges in ${\displaystyle G_{\phi }}$ with respect to ${\displaystyle T}$.

적용들

그래프의 단일 도면,^[2] 그래프의 2 가시성 표현.^[1]

올바른 스패닝 트리 찾기

모든 평면 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에는 G ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\$이(가) $내장$되어 $있어{\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle {\varphi }_{}}$ ${\$이(가) 양호한 스패닝 트리를 포함하고$$ 있다.좋은 스패닝 트리와 적절한 임베딩은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 선형적으로$$ 찾을 수 있다.^[1]$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 임베딩이 양호한 스패닝 트리를 포함하는$$ 것은 아니다.

참고 항목

• 스패닝 트리
• 슈나이더 리얼라이저

참조