에르데스-모델 불평등

유클리드 기하학에서 Erdős-Mordell 불평등은 ABC 내부의 어떤 삼각형 ABC와 점 P에 대해 P에서 옆면까지의 거리의 합계가 P에서 정점까지의 거리의 합계의 절반 이하 또는 같음을 명시한다.폴 에르디스와 루이 모르델의 이름을 따서 지어졌다.Erdes(1935)는 불평등을 증명하는 문제를 제기했고, 2년 후 Mordell과 D에 의해 증거가 제공되었다.F. 바로우(1937).그러나 이 해결책은 그리 초보적이지 않았다.이어서 카자리노프(1957년), 뱅크오프(1958년), 알시나 앤 넬슨(2007년)이 간단한 증거를 찾아냈다.

바로우의 불평등은 P에서 측면까지의 거리가 P에서 toAPB, ∠BPC, ∠CPA의 각도 이등분자가 측면을 가로지르는 지점까지의 거리로 대체되는 Erdds-Mordell 불평등의 강화된 버전이다.교체된 거리가 더 길지만, 이들의 합은 여전히 정점에 대한 거리의 합계의 절반 이하 또는 같다.

성명서

Let ${\displaystyle P}$ be an arbitrary point P inside a given triangle ${\displaystyle ABC}$, and let ${\displaystyle PL}$, ${\displaystyle PM}$, and ${\displaystyle PN}$ be the perpendiculars from ${\displaystyle P}$ to the sides of the triangles. (If the triangle is obtuse, one of these p수직은 삼각형의 다른 면을 가로지르고 한쪽 면을 지탱하는 선에서 끝날 수 있다.)그러면 불평등은 다음과 같이 말한다.

$PA+PB+PC\geq 2(PL+PM+PN)}$

증명

ABC의 측면을 A, B, C의 반대편에 두도록 한다. 또한 PA = p, PB = q, PC = r, dist(P;BC) = x, dist(P;CA) = y, dist(P;AB) = z. 먼저, 우리는

$Cr\geq 도끼+by.}$

이것은 와 같다.

${\displaystyle {\frac {c(r+z)}{2}}\geq {\frac {ax+by+cz}{2}}.}$

오른쪽은 삼각형 ABC의 영역이지만 왼쪽은 r+z가 적어도 삼각형의 높이여서 왼쪽은 오른쪽보다 작을 수 없다.이제 C의 각도 이등분선에 P를 반사한다.우리는 P의 반영을 위한 cr ay ay + bx를 발견한다.마찬가지로 bq ≥ 아즈 + cx 및 ap ≥ bz + cy.우리는 r, q, p에 대한 이러한 불평등을 해결한다.

${\displaystyle r\geq(a/c)y+(b/c)x,}$

${\displaystyle q\geq (a/b)z+(c/b)x,}$

${\displaystyle p\geq (b/a)z+(c/a)y.}$

셋을 더하면, 우리는 알 수 있다.

${\displaystyle p+q+r\geq \left \frac {b}{b}}{b}}{b}\frac {b}\frac {a}{a}}{c}}}{c}}}{c}}}}{b}}{b}}{b}{b}{a\frac {b}{a\frac {a\frac {a\frac {a\frac)z)z)zz.}$

양수의 합과 그 역수의 합은 AM-GM 불평등에 의해 적어도 2가 되기 때문에, 우리는 끝냈다.평등은 P가 그것의 중심인 정삼각형에만 있다.

또 다른 강화된 버전

ABC를 원(O)에 새겨진 삼각형이 되게 하고, P를 ABC 내부의 지점이 되게 한다.D, E, F를 BC, CA, AB. M, N, Q에 대한 P의 직교 돌출부가 각각 A, B, C에서 (O)에 대한 접선 위에 직교 돌출부가 되게 한 다음, 다음,

${\displaystyle PM+PN+PQ\geq 2(PD+)PE+PF)}$

평등은 삼각형 ABC가 등각형인 경우에만 유지된다(Dao, Nguyen & Pham 2016; Marinscu & Monea 2017).

일반화

$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$2$}...$A_{n}}$는 볼록한 다각형이고$$, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$는 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$의 내부 지점${\displaystyle .}$ .${\displaystyle n_{}}$ ${\$$A_{n}}$. Let ${\displaystyle R_{i}}$ be the distance from ${\displaystyle P}$ to the vertex ${\displaystyle A_{i}}$ , ${\displaystyle r_{i}}$ the distance from ${\displaystyle P}$ to the side ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$, ${\displaystyle w_{i}}$ the$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ P ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ 각도의 이등분자 세그먼트$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P$${\displaystyle {\}}_{}}$에서 ${\displaystyle {\mathrm{측면<img\; alt="P"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.745ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="60">}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$$$i + 1$$${\$와 교차하는 PA_{i$+1$} 그 $다음(Lenhard$ 1961):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}w_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}}$

절대 기하학에서

절대 기하학에서 Erdss-Mordell 불평등은 팜부치안(2008)에서 증명된 바와 같이 삼각형의 각도의 합이 두 직각보다 작거나 같다는 진술과 동등하다.

참고 항목

• 삼각 불평등 목록

참조

• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "A visual proof of the Erdős-Mordell inequality", Forum Geometricorum, 7: 99–102.
• Bankoff, Leon (1958), "An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem", American Mathematical Monthly, 65 (7): 521, doi:10.2307/2308580, JSTOR 2308580.
• Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), "A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality" (PDF), Forum Geometricorum, 16: 317–321, MR 3556993.
• Erdős, Paul (1935), "Problem 3740", American Mathematical Monthly, 42: 396, doi:10.2307/2301373.
• Kazarinoff, D. K. (1957), "A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles", Michigan Mathematical Journal, 4 (2): 97–98, doi:10.1307/mmj/1028988998.
• Lenhard, Hans-Christof (1961), "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone", Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, 12: 311–314, doi:10.1007/BF01650566, MR 0133060.
• Marinescu, Dan Ștefan; Monea, Mihai (2017), "About a strengthened version of the Erdős-Mordell inequality" (PDF), Forum Geometricorum, 17: 197–202.
• Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), "Solution to 3740", American Mathematical Monthly, 44: 252–254, doi:10.2307/2300713.

• Pambuccian, Victor (2008), "The Erdős-Mordell inequality is equivalent to non-positive curvature", Journal of Geometry, 88: 134–139, doi:10.1007/s00022-007-1961-4.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Erdős-Mordell Theorem". MathWorld.
• Alexander Bogomolny, Cut-the-Knot의 "Erdös-Mordell 불평등".