이중 벡터 번들

수학에서 이중 벡터 번들은 두 개의 호환 가능한 벡터 번들 구조의 조합으로, 특히 벡터 $번들{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$의 접선 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TE}$와 이중 접선 번들 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystytle T^{2}M}$을 포함한다$.$

정의와 첫 번째 결과

이중 벡터 번들은${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle H^{}}$, ${\displaystyle E}$ V${\displaystyle {}^{}}$, B${\displaystyle }$) ${\displaystyle (E,E^{H},E^{V},B)$로 구성된다$.$

1. ${\displaystyle {측면}^{}}$ 번들 E $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ E$^{$$H}$ 및$$ $E{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle V^{}}$ ${\$는 $기본$ B ${\displaystyle B$
2. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$은(는) 양쪽 번들에 ${\displaystyle {있는}^{}}$ 벡터 번들 E$H{\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ E$^{$$H}$과 $E{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle V^{}}$ ${\$ E$^{V$
3. 두 벡터 번들 구조물에 대한 투영, 덧셈, 스칼라 곱셈, E의 영도 등은 형태론이다.

이중 벡터 번들 형태론

이중 벡터 번들 형태론$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}{}_{}}$, f ${\displaystyle {}_{}}$, f ${\displaystyle B_{}}$) ${\displaystyle (f_{E},f_{H},f_{V},f_{B}}}}$은(는) 맵 ${\displaystyle F_{}}$: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$E\mapsto E$ f ${\displaystyle H_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ E ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$ ${\$$E^{H}\mapsto E^{$$H}{}'},$f ${\displaystyle V_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle V^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ E ${\displaystyle V^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$ ${\$$E^{V}\mapsto E^{V}{}'}$ 및$$ f ${\displaystyle B_{}}$: ${\displaystyle B}$↦ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$B\mapsto B'}$ such that ${\displaystyle (f_{E},f_{V})}$ is a bundle morphism from ${\displaystyle (E,E^{V})}$ to ${\displaystyle (E',E^{V}{}')}$, ${\displaystyle (f_{E},f_{H})}$ is a bundle morphism from ${\displaystyl$$e$$(E,E^{H}})$ ~${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle (E',E^{})$$H}{}')}$, ${\displaystyle (f_{V},f_{B})}$ is a bundle morphism from ${\displaystyle (E^{V},B)}$ to ${\displaystyle (E^{V}{}',B')}$ and ${\displaystyle (f_{H},f_{B})}$ is a bundle morphism from ${\displaystyle (E^{H},B)$$}$ ~${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle (E^{)$$H}{},"B')}}$.

The 'flip of the double vector bundle ${\displaystyle (E,E^{H},E^{V},B)}$ is the double vector bundle ${\displaystyle (E,E^{V},E^{H},B)}$.

예

$({\displaystyle E}$, ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle (E,M)}$이(가) 다른 $다지관{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$ 위에 있는 벡터 번들이라면,${\displaystyle }$(${\displaystyle T}$E ,${\displaystyle E}$ , T ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle (TE,E,TM, M)$은 2차 벡터 번들 구조를 고려할 때 이중 벡터 번들이다$$.

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 서로 다른 다지관이라면 이중 접선 번들$({\displaystyle \mathrm{TTTM}}$ ,${\displaystyle }$T M ,${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ,${\displaystyle }$T ${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle(TTTM,TM,$TM,$TM,M)}$은 이중 벡터 번들이다$$.

참조

Mackenzie, K. (1992), "Double Lie algebroids and second-order geometry, I", Advances in Mathematics, 94 (2): 180–239, doi:10.1016/0001-8708(92)90036-k