제어성 그래미언

제어 이론에서, 우리는 다음과 같은 시스템인지 아닌지를 알아내야 할지도 모른다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{array}}}$

is controllable, where ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ are, respectively, ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle n\times p}$, ${\displaystyle q\times n$$}$ 및$$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q\put p}$ 행렬$$.

그러한 목표를 달성할 수 있는 여러 가지 방법 중 하나는 관리 가능성 그래미안을 이용하는 것이다.

LTI 시스템의 제어 가능성

Linear Time Invariant (LTI) Systems are those systems in which the parameters ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ are invariant with respect to time.

단순히 쌍$({\displaystyle A\mathit{},B\mathit{}}$ $){\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{B})$을 보고 LTI 시스템이 제어 가능한지 여부를 관찰할 수 있다$.$그렇다면 다음과 같은 진술이 동등하다고 말할 수 있다.

1. 쌍$({\displaystyle A\mathit{}}$, ${\displaystyle B\mathit{}}$) ${\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{B})$을(를) 제어할 수 있다.

2. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ n$\times$n} 행렬$$

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}(t)=\int _{0^{t}e^{\boldsymbol{A}\tau{\\\boldsymbol {B^{B^}}T}}}}e^{{\boldsymbol {A}^{T}\tau =\int_{0}^{{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}(t-\tau )}{\boldsymbol {B^{B^}{{0}}}}}}T}}}e^{{\boldsymbol{A}^{T}(t-\tau )}d\tau }}$

> ${\displaystyle t>0}$에 대해 비일관적이다

3. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\times np}$ 관리 가능성$$ 매트릭스

${\displaystyle {\mathcal{C}=[{\begin{array}{ccc}{\boldsymbol{B}}&{\boldsymbol{AB}}&#\boldsymbol{A^{2}B}}&#...&{\boldsymbol {A^{n-1}B}\end{array}}}$

n등급을 가지고 있다.

4. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$( n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle n\time (n+p)}$ 행렬$$

${\displaystyle [{\begin{array}{cc}{{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{-\lambda }}}}{\boldsymbol {I}&{\boldsymbol {B}}}}}}}}}}}}$

$A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 모든 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 전체 행 순위를 지정함$.$

또한 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 모든 고유값이 음의 실제 부분(${\displaystyle \mathit{}}$ ${\$$})$을 갖는 경우, 랴푸노프 방정식의 고유한 솔루션

${\displaystyle {\boldsymbol {A}{\boldsymbol {W}_{c}+{\boldsymbol {W}{c}{\boldsymbol {A^}{\boldsymbol {A^}}T}}}=-{\boldsymbol{BB^{T}}}$

확실하고, 시스템은 통제할 수 있다.이 솔루션은 관리성 그래미안이라고 불리며 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\boldsymbol{}e^{\boldsymbol{A}\tau{\\\boldsymbol {B^}{\b^}T}}}e^{{\boldsymbol{A}^{T}\tau }d\tau }}$

다음 섹션에서는 관리 가능성 그래미안을 자세히 살펴보기로 한다.

제어성 그래미언

통제가능성은 Gramian이 준 랴푸노프 방정식의 해법으로서 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {A}{\boldsymbol {W}_{c}+{\boldsymbol {W}{c}{\boldsymbol {A^}{\boldsymbol {A^}}T}}}=-{\boldsymbol{BB^{T}}}$

사실, 우리가 만약 우리가 그것을 가지고 간다면, 우리는 그것을 볼 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\boldsymbol{}e^{\boldsymbol{A}\tau{\\\boldsymbol {B^}{\b^}T}}}e^{{\boldsymbol{A}^{T}\tau }d\tau }}$

해결책으로서 다음 사항을 찾아 보십시오.

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{{a}}{{\boldsymbol{W}}}+{\boldsymbol{W}}{c}{\boldsymbol{A^{A}}}}{\boldsymboldymbol}}{{A^}}}}}}}}}}T}}}&=&\int _{0}^{0}^{\boldsymbol{A}e^{{\boldsymbol{A}\tau{\\boldsymbol{B^{\boldsymbol}}{\boldsymbold}{B^{{{}}T}}}}e^{{\boldsymbol {A}^{T}\tau }\d\tau &+&\int_{0}^{0}{\boldsymbol{A}\boldsymbol {B^}{\boldsymbol {B^{{{{}}}}T}}}e^{{\boldsymbol{A}^{T}\tau}{\boldsymbol {A^}{\boldsymbol {A^}{{\boldsymbol {A^}{}}}T}}}d\\tau \&=\int _{0}^{\infl}{d}{d}{d\tau }}}(e^{\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}}}{\boldsymbol{B}^{B}}^{{{{}}}}}}}}}^^^T}e^{{\boldsymbol {A}^{T}\tau }d\tau &=&e^{\boldsymbol{A}{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{B}}^{\boldsymboldymbol}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}^{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}T}e^{{\boldsymbol{A}}^{T}t} _{t=0}^{\inful }\\&={\boldsymbol{0}-{\boldsymbol{BB^{T}}\\&={\boldsymbol{-BB^{T}}\end{array}}$

${\displaystyle \mathrm{안정적}}$인 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$$displaystyle e^{{\$$boldsymbol$ ${$$A}=$$0}$에서 ${\displaystyle {eA}^{}}$=${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyt t=\infit }($모든 고유값은 음의 실제 부품을 가지고 있음)$$라는 사실을 사용한 경우.이는 W ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 실제로 분석 중인 랴푸노프 방정식의 솔루션임을 보여준다$$.

특성.

$우리$는 ${\displaystyle {\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle {B\mathit{}}^{}}$ T$${\$displaystyle${\$boldsymbol {BB^}$을(를) 볼 수 있다.$T}}}}}$은 대칭 행렬이므로 W ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$도 마찬가지다$.$

$만약{\displaystyle \mathit{}}$ A ${\$이(가) 안정적이라면$$(모든 고유값이 음의 실제 부분을 가지고 있음) W ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 독특하다는 사실을 다시 한 번 보여줄 수 있다.이를 증명하기 위해 두 가지 다른 해결책이 있다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle {\boldsymbol {A}{\boldsymbol {W}_{c}+{\boldsymbol {W}{c}{\boldsymbol {A^}{\boldsymbol {A^}}T}}}=-{\boldsymbol{BB^{T}}}$

$W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$및 $W$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$ 그러면 다음이 제공된다.

${\displaystyle{\boldsymbol{A}{{{c1}-{\boldsymbol{W}_{c2}+{\boldsymbol{{{c1}-{{{}}}{\boldsymbol{W}}}}\boldsymboll {Ca^{{{{}}}}}}}}}}}}}}}T}}}={\boldsymbol{0}}$

${\displaystyle {eA{\mathit{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\${$A$$}t}$을(를) 왼쪽으로$$ 곱한 후 ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ T$$t {\$displaystyle$ e$^{\boldsymbol{$A}^{\boldsymbol}{A$}}^{}}}}$$오른쪽$으로 T$}t}}$이(가) 있으면

${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}[{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}]e^{{\boldsymbol{A^{T}}}}}={\frac {d}{dt}[e^{{\boldsymbol{A}}}[({\boldsymbol{W}_{c1}-{\boldsymbol{W}}-{c1}-{\boldsymbol{A^{A}}}}]T}}}}]={\boldsymbol{0}}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에서 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }($으)로$$ 통합$:$

${\displaystyle [e^{\boldsymbol {A}t}[({\boldsymbol {W}_{c1}-{\boldsymbol {W}_{c2}}e^{\boldsymbol {A^{{\boldsymbold}{A^{{{{{}}}}}]T}}}}}] _{{t=0}^{\nft }={\boldsymbol{0}}}}$

${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle {A\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$→ 0 ${\displaystyle$ e$^{\boldsymbol {A}\}\오른쪽$ 화살표 $0}$을(를) $t{\displaystyle }$→ t → $【\displaystyle t\오른쪽$ 화살표 $\infty}$로 사용$:$

${\displaystyle {\boldsymbol {0}-({\boldsymbol {W}_{c1}-{\boldsymbol {W}_{c2}={\boldsymbol {0}}}}}}$

즉 $W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 고유해야 한다$$.

또한, 우리는 그것을 볼 수 있다.

${\displaystyle {\displaysymbol {x^{T}W_{c}x}}=\int_{0}^{\inful }{\boldsymbol{x}}^{\boldsymbol{x}}}^{{}}}}{{}}}}}}T}e^{{\boldsymbol {A}t}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol{A}}^{T}}{\boldsymbol{x}dt=\int _{0}^{\infit }\왼쪽\vert {\boldsymbol {B^{T}e^{{\boldsymbol{A}}^{T}t}{\boldsymbol{x}}}\오른쪽\Vert _{2}^{2}dt}$

모든 t에 대해 양수(${\displaystyle }$b ${\displaystyle {B\mathit{}}^{}}$ T ${\displaystyle {}^{}{\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle {A{\mathit{}}^{}}^{}}$ T ${\displaystyle {{\mathit{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathit{}}${$${\$displaystyle \left\vert$ {\boldsymbol ${B^}{$$T}e^{{\boldsymbol{A}}^{$$T}t}{\boldsymbol {x}}}\오른쪽\Vert }}$이(가) 0이 아니다$$.이로써 $W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 양의 확정 행렬이 된다$$.

제어 가능한 시스템의 더 많은 속성은 ^[1]LTI 시스템의 섹션 제어 가능성에서 제시된 "쌍$({\displaystyle A\mathit{}}$, ${\displaystyle B\mathit{}}$) ${\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{B}}}})$의 다른 동등한 문장에 대한 증거와 함께 에서 확인할 수 있다.

이산 시간 시스템

이산 시간 시스템의 경우

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}}$

쌍(${\displaystyle A\mathit{}}{\displaystyle }$,$){\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{B}}})$ 문장의$$ 동등성이 있는지 확인할 수 있다(연속적인 시간 사례에서 동등성은 매우 유사함).

We are interested in the equivalence that claims that, if “The pair ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$ is controllable” and all the eigenvalues of ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ have magnitude less than ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ is stable), then의 독특한 해결책

${\displaystyle W_{dc}-{\boldsymbol {A}{\boldsymbol {W}{dc}{\boldsymbol {A^}{\boldsymbol {A^}{\\\boldsymbol}{}}}T}}}={\boldsymbol{BB^{T}}}$

확실하고 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\boldsymbol{W}_{dc}=\sum _{m=0}^{\boldsymbol{A}^{\boldsymbol{B}^{\boldsymbol{}}}^{\boldmboldmbol {A}}^{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{m}}$

그것은 별개의 관리성 그래미안이라고 불린다.이산 시간과 연속 시간 사례 사이의 관련성, 즉 W ${\displaystyle d_{}}$ c ${\$이 양수이고$$ $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 모든 고유값은 시스템$$$({\displaystyle A\mathit{}}$, B)의$$크기가 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystysty}$보다 작다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.${\displaystyle )}$ ${\displaystyle({\boldsymbol{A},{\boldsymbol{B}}}$은(는) 제어할 수 있다.더 많은 재산과 증거를 찾을 수 있다.^[2]

선형 시간 변종 시스템

LTV(Linear Time Variable) 시스템은 다음과 같은 형식이다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}}$

즉, 행렬 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$ $B{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$ $C$ ${\$은 시간에 따라 항목이 달라진다$$.다시 말하지만, 연속 시간 사례와 이산 시간 사례에서도, 쌍$({\displaystyle A\mathit{}}$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle B}$ ( $){\displaystyle ({\boldsymbol{A}(t),{\boldsymbol{B}}}}}}}$에 의해 주어진 시스템이 제어 가능한지$$ 여부를 발견하는 데 관심이 있을 수 있다.이것은 앞의 경우와 매우 유사한 방법으로 행해질 수 있다.

만일이 유한한 t1을 존재하므로 시스템(A(t), B(t)){\displaystyle({\boldsymbol{A}}(t),{\boldsymbol{B}}(t))}당시 t0{\displaystyle t_{0}};t 0{\displaystyle t_{1}>, 관리 가능한 t_{0}}는 n×n{\displaystyle n\times의 스녀}행렬로 불리기도 하는 Controll.ability Gramian, by.

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau )d\tau ,}$

where ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$ is the state transition matrix of ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$, is nonsingular.

다시, 우리는 시스템이 통제 가능한 시스템인지 아닌지를 결정하는 유사한 방법을 가지고 있다.

$W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\boldsymbol {W}_{c}(t_{0},t_{1}})$의 속성

Controlability Gramian $W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ t ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle {\boldsymbol {W}_{c}(t_{0},t_{1})$의 속성은 다음과 같다.

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{c}(t,t_{1})+{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},t)}$

$W{\displaystyle {\mathit{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle {\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1}})$의 정의와 다음과$$ 같이 주장하는 상태 전환 매트릭스의 속성으로 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau )={\boldsymbol {\Phi }}}{\boldsymbol {\\phi }}}$

제어가능성에 대한 자세한 내용은 Gramian을 참조하십시오.^[3]

참고 항목

• 제어 가능성
• 관측성 그라미언
• 그래미안 행렬
• 최소 에너지 제어
• 한클 단수 값

참조

외부 링크

• 제어가능성을 계산하는 Mathematica 함수 Gramian