결합잔차법

공차 잔차법은 선형 방정식의 시스템 해결에 사용되는 반복적 숫자 방법이다.크릴로프 아공간법으로 훨씬 더 인기 있는 공극 그라데이션 방식과 매우 유사하며, 시공성과 수렴성성이 유사하다.

이 방법은 형태의 선형 방정식을 푸는 데 사용된다.

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b}}$

여기서 A는 반전성 및 은둔성 행렬이고, b는 0이 아니다.

공차 잔차 방법은 주로 더 많은 수치 연산을 수반하고 더 많은 보관을 요구한다는 점에서 밀접하게 연관된 공차 그라데이션 방법과는 다르지만, 시스템 매트릭스는 대칭 양정확자가 아닌 에르미트어일 뿐이다.

솔루션 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 (임의) 초기 추정치를 지정하면 아래에 방법이 요약되어 있다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {x} _{0}:={\text{Some initial guess}}\\&\mathbf {r} _{0}:=\mathbf {b} -\mathbf {Ax} _{0}\\&\mathbf {p} _{0}:=\mathbf {r} _{0}\\&{\text{Iterate,}과}k{\text{에서 시작하여}}0:\\&,\qquad \alpha _{k}:={\frac{\mathbf{r}_{k}^{\mathrm{T}}}\mathbf,{아르곤}_{k}}{(\mathbf{Ap}_{k})^{\mathrm{T}{Ap}_{k}}}\\& \mathbf \qquad \mathbf{)}_{k+1}:=\mathbf{)}_{k}+\alpha _{k}\mathbf{p}_{k}\\&, \qquad \mathbf{r}_{k+1}:=\mathbf{r}_{k}-\alpha _{k}\mathbf{Ap}_{k}\\&, \qquad. \beta _{k}:={\frac {\mathbf {r} _{k+1}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ar} _{k+1}}{\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ar} _{k}}}\\&\qquad \mathbf {p} _{k+1}:=\mathbf {r} _{k+1}+\beta _{k}\mathbf {p} _{k}\\&\qquad \mathbf {Ap} _{k+1}:=\mathbf {Ar} _{k+1}+\beta _{k}\mathbf {Ap} _{k}\\&\qquad k:=k+1\end{aligned}}}$

$x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 수렴된 것으로 간주되면$$ 반복을 중지할 수 있다.이것과 결합 그라데이션 방법의 유일한 차이점은 ${\displaystyle {\alpha k}_{}}${\$displaystyle \alpha$ _${k}$와 ${\displaystyle {\beta }_{}}$ k$${\$displaystyle \beta$ _${k})($더하기$$ 끝에 A $p{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 선택적 증분 계산이다.

참고: 위의 알고리즘은 각 반복에서 하나의 대칭 행렬 벡터 곱셈만 만들 수 있도록 변환할 수 있다.

전제조건

몇 가지 대체 및 가변 변경을 통해 다음과 같은 방법으로 사전 정의된 결합 잔차 방법을 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {x} _{0}:={\text{Some initial guess}}\\&\mathbf {r} _{0}:=\mathbf {M} ^{-1}(\mathbf {b} -\mathbf {Ax} _{0})\\&\mathbf {p} _{0}:=\mathbf {r} _{0}\\&{\text{Iterate,}과}k{\text{에서 시작하여}}0:\\&,\qquad \alpha _{k}:={\frac{\mathbf{r}_{k}^{\mathrm{T}}}\mathbf,{A}\mathbf{r}_{k}}{(\mathbf{Ap}_{k})^{\mathrm{T}{M}^{)}\mathbf{Ap}_{k}}}\\& \mathbf \qquad \mathbf{)}_{k+1}:=\mathbf{)}_{k}+\alpha _{k}\mathbf{p}_{k}\\&, \qquad \mathbf{r}_{k+1}:=\mathbf{r}_{k}-\alpha _{k}\ma.thbf{M}^{-1}\mathbf{Ap}_{k}\\&, \qquad\beta _{k}:={\frac{\mathbf{r}_{k+1}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{r}_{k+1}}{\mathbf{r}_{k}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{r}_{k}}}\\&, \qquad \mathbf{p}_{k+1}:=\mathbf{r}_{k+1}+\beta _{k}\mathbf{p}_{k}\\&, \qquad \mathbf{Ap}_{k+1}:=\mathbf{A}\mathbf{r}{Ap}_{k}\mathbf _{k+1}+\beta_{k}\\&,\qquad k:=k+1\\\end{aigned}}$

전제조건 $M{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$은(는) 대칭 양수 한정자여야 한다$$.여기서 잔류 벡터는 전제 조건이 없는 잔류 벡터와 다르다는 점에 유의하십시오.

참조

• Yousef Saad, 희박한 선형 시스템에 대한 반복적 방법 (2차 개정), 194페이지, SIAM. ISBN978-0-89871-534-7.