클리크 게임

클리크 게임은 두 명의 플레이어가 번갈아 가장자리를 따는 포지션 게임으로, 주어진 크기의 완전한 클리크를 차지하려고 한다.

게임은 2개의 정수 n > k로 파라미터화 됩니다.게임 보드는 n개의 정점에 있는 완전한 그래프의 모든 모서리 집합입니다.위닝 세트는 k개의 정점에 있는 모든 클리입니다.이 게임에는 몇 가지 종류가 있습니다.

이 게임의 강력한 위치 변형에서는 k-clique를 가진 첫 번째 플레이어가 승리합니다.아무도 이기지 못하면 무승부입니다.
Maker-Breaker 변형에서는 k-clique를 유지하면 첫 번째 플레이어(Maker)가 승리하고, 그렇지 않으면 두 번째 플레이어(Breaker)가 승리합니다.추첨이 없어요.
Avoider-Enforcer 버전에서는 첫 번째 플레이어(Avoider)가 k-clique를 보유하지 않으면 승리합니다.그렇지 않으면 두 번째 선수(Enforcer)가 승리합니다.추첨이 없어요.이 변종의 특별한 경우는 Sim입니다.

패거리 게임(강력한 위치 변형)은 폴 에르데스와 존 셀프리지가 처음 선보였고,^[1] 그는 시몬스가 그것을 만들었다고 말했다.램지의 정리(아래 참조)와 밀접한 관련이 있기 때문에 램지 게임이라고 부릅니다.

당첨 조건

램지의 정리는 우리가 그래프를 두 가지 색으로 칠할 때마다 적어도 하나의 단색 집단이 있다는 것을 암시한다.또한 모든 정수 k에 대해 $n\geq R_{2}(k,k)$ 정수 R(k,k)이 존재하며, n $n\geq R_{2}(k,k)$ $,$ k)\ $displaystyle$ n\ $geq R_{2}(k,$ k $n\geq R_{2}(k,k)$ )}개의 $n\geq R_{2}(k,k)$ 을 가진 모든 그래프에서 임의의 2색상은 최소 k 크기의 단색 클리크를 포함한다.즉, n $n\geq R_{2}(k,k)$ $n\geq R_{2}(k,k)$ 2 ( $n\geq R_{2}(k,k)$ , $n\geq R_{2}(k,k)$ k $n\geq R_{2}(k,k)$ ) { $displaystyle$ n \ $geq$ R _ { $2}$ ( $k$ , $k$ ) $n\geq R_{2}(k,k)$ }인 경우, clique 게임은 무승부로 끝날 수 없습니다.Strategy-style n $\geq$ R_ ${k}$ 인수는 첫 번째 플레이어가 항상 무승부를 강요할 수 있음을 의미합니다.따라서 $n\geq R_{2}(k,k)$ R $n\geq R_{2}(k,k)$ ( $n\geq R_{2}(k,k)$ , $n\geq R_{2}(k,k)$ ) { $style\geq$ R2 , k , k , k $}$ 인 경우램지 번호에 기존의 경계를 대입하면 k $k\leq {\log _{2}n \over 2}$ log 2 $k\leq {\log _{2}n \over 2}$ n $k\leq {\log _{2}n \over 2}$ \ $display$ k \ $leq$ \ $log$ _ ${2} n$ \ $over$ 2 $k\leq {\log _{2}n \over 2}$ } $k\leq {\log _{2}n \over 2}$ Maker가 이기게 됩니다.

한편, Erdos-Selfridge^[1] 정리는 k $k\geq {2\log _{2}n}$ 2 $k\geq {2\log _{2}n}$ 2 $k\geq {2\log _{2}n}$ n \ $display style$ k \ $geq { 2$ \ $log$ _ { $2$ } $k\geq {2\log _{2}n}$ }} $k\geq {2\log _{2}n}$ k k k k k k whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever whenever2 $k\geq {2\log _{2}n}$ k2 k2 q2

Beck는 이러한 경계를 다음과 ^[2]같이 개선했습니다.

메이커는 k $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ 2 $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ 2 $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ n $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ - $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ 2 $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ 2 $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ n + $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ 2 $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ e - $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ / 3 $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ + $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ o ( $k\leq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-10/3+o(1)$ ) { $display k$ \ $leq$ 2 \ $log$ _ { $2 }$ \ log _ { 2 } $n +$ 2 \ $log$ _ { $2$ \ log _ { 2 } n + 2 \ $log$ _ { 2 \ log _ {2} e - 3 + 3 + 3 + log _ 3 ( 1 ) $)$ ; ; k ; k k k k k k k k k k k k 1 。
브레이커는 k $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ 2 $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ n - $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ 2 $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ + 2 $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ 2 $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ e - $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ + $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ o ( $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ $){ displaystyle$ k \ $geq 2$ \ $log$ _ {2} $n -$ 2 \ $log$ _ {2} $n + 2$ \ $log$ _ { $2}$ e - $1$ + $o$ ( $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ 1 $k\geq 2\log _{2}n-2\log _{2}\log _{2}n+2\log _{2}e-1+o(1)$ )가 될 때마다 이깁니다.

고차 하이퍼그래프의 램지 게임

완전한 그래프 대신, 더 높은 순서의 완전한 하이퍼그래프에서도 클리크 게임을 할 수 있습니다.예를 들어 세쌍둥이 패거리 게임에서는 게임 보드는 정수 1,...n의 세쌍둥이 세트(즉, 크기가 ( ${n \choose 3}$ 3 $),$ 위닝 세트는 모두 k개의 정수(즉, 위닝 세트의 크기는 ${k \choose 3}$ 의 세쌍둥이 세트입니다(즉, (k ${k \choose 3}$ 3 ) ${k \choose 3}$ \ $display$ style {k ${k \choose 3}$ \ $choose$ 3 $}).$ ${k \choose 3}$

램지의 3루타 정리에 따르면 n $n\geq R_{3}(k,k)$ $n\geq R_{3}(k,k)$ 3 $n\geq R_{3}(k,k)$ ( $n\geq R_{3}(k,k)$ , $n\geq R_{3}(k,k)$ k ) { $display style$ n \ $geq$ R _ { $3}$ ( $k$ , $k$ ) $n\geq R_{3}(k,k)$ }이면 메이커가 승리합니다.현재 알려진 상한 R3(k, km그리고 4.9초 만){\displaystyle R_{3}(k,k)에게 덤벼들다}매우, 2k2/6<R3(k, km그리고 4.9초 만)<>224k− 10{\displaystyle 2^{k^{2}/6}<> 크다.R_ᆫ(k,k)<, 2^{2^{4k-10}}}. 대조적으로, Beck[3]2k2/6<R3∗(k, km그리고 4.9초 만)<>k 4명은 2k3/6{\display을 증명한다. $style$ 2 $^{k^{2}/6}<R_{3}^*}(k,k)<k^{4}2^{k^{$ 3}/ $6$ 여기서 $R_{3}^{*}(k,k)$ 3 $R_{3}^{*}(k,k)$ ( ( $R_{3}^{*}(k,k)$ , $R_{3}^{*}(k,k)$ ) $R_{3}^{*}(k,k)$ { $displaystyle$ R _ { $3}^{*} (k$ , k )는 $R_{3}^{*}(k,k)$ 메이커가 승리 전략을 가진 최소 정수입니다.특히 k $k^{4}2^{k^{3}/6}<n$ $k^{4}2^{k^{3}/6}<n$ k $k^{4}2^{k^{3}/6}<n$ / $k^{4}2^{k^{3}/6}<n$ < $k^{4}2^{k^{3}/6}<n$ \ $displaystyle$ k^ { $4$ } $2$ ^ { $k$ ^ { 3 $k^{4}2^{k^{3}/6}<n$ } / $6$ < $n$ } $k^{4}2^{k^{3}/6}<n$ 게임은 Maker의 승리입니다.