체거 바운드

수학에서 체거 바운드는 유한 상태, 이산 시간, 가역 가능한 정지 마코프 체인의 전환 매트릭스 중 두 번째로 큰 고유값의 경계다.이것은 확장형 그래프에서 체거 불평등의 특별한 사례로 볼 수 있다.

$X$ $X$ 을(를) 유한 집합으로 $X$ 하고 $K(x,y)$ , $K(x,y)$ ) $K(x,y)$ 을(를) $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 가역형 마르코프 체인에 대한 전환 확률을 제한 $K(x,y)$ $X$ 이 체인에 고정 분포 $\pi$ ${\displaysty \pi }$ 이 있다고 가정한다 $\pi$

정의

Q(x,y)=\pi(x)K(x,y)

$A,B\subset X$ A에 대해 $A,B\subset X$ $A,B\subset X$ $A,B\subset X$ ${\displaystyle A,B\subset$ X $} 정의$

[\displaystyle Q(A\times B)=\sum _{x\in A,y\in B}Q(x,y).}

상수 $\Phi$ $\Phi$ 을 $\Phi$ (를) 다음과 같이 정의하십시오.

\Phi =\min _{S\subset X,\pi(S)\leq {\frac {1}{1}2}}{\frac {Q(S\time S^{c}}}}{\PI(S)}}}}.

$|X|$ $K$ , ${\displaystyle$ $K$ $,}$ 이(가) X $displaystyle$ X $}$ 에서 $|X|$ $|X|$ $displaystyle$ X $}$ 에 이르는 함수의 공간에 대해 $K,$ 작용하며 $|X|$ 이 연산자는 다음과 같이 정의된다.

(K\phi )(x)=\sum _{y}K(x,y)\phi(y)

고유값 $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}$ $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}$ $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}$ $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}$ 2 $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}$ n n $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}$ n $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}$ \ $displaystyle \lambda_{1}\geq \lambda_{2}\geq \cdots \geq \lambda_$ ${n}}}.$ $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}$ λ $\lambda _{1}=1$ = $\lambda _{1}=1$ {\ $displaystystyplaysty \lambdaystylambda$ \lamba \lamba $\lamba_$ 1}.치거 바운드는 두 번째로 큰 고유값 $\lambda _{2}$ $\lambda _{2}$ ${\$

정리(치거 바운드):

1-2\Phi \leq \lambda _{2}\leq 1-{\frac {\Phi ^{2}}:{2}.

참고 항목

참조

J. Cheeger, Laplacian의 가장 작은 고유값을 위한 하한선, 분석상의 문제들, Salomon Bochner, 1969, Princeton University Pressure, Princeton, 195-199.
P. 디아코니스, D.스트룩, 마르코프 체인의 고유값에 대한 기하학적 경계, 적용 확률의 연보, 제1권, 36-61, 1991. 여기에 제시된 바운드의 버전을 포함한다.

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