브룬의 정리

수 이론에서, 브룬의 정리에서는, 쌍성 소수(Prime number pares, 2가 다른 소수)의 왕복선의 합이 브룬의 상수로 알려진 유한 값으로 수렴되며, 보통 B가₂ 나타낸다(OEIS의 순서 A065421).브룬의 정리는 1919년 비고 브룬에 의해 증명되었으며, 체의 방법 도입에 역사적 중요성이 있다.

쌍발 소수점 점근 한계

쌍성 소수들의 왕복 합계는 쌍성 소수들의 순서의 밀도에 대한 경계로부터 따른다.$\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$이(가) p + 2도 prime인 p ≤ x의 primes 수를 나타냅시다$$(예: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$은 최대 x에서 작은 쌍 primese를 나타낸다$$.그럼, x 3 3은.

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\왼쪽({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}:}\오른쪽).}$

즉, 쌍둥이 소수점은 소수보다 거의 로그 인자에 의해 덜 빈번하다.이 경계로부터 쌍발자리의 왕복선의 합이 수렴하거나, 다시 말하면 쌍발자락이 작은 집합을 형성하는 것으로 이어진다.명시적 용어로 총액

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

용어가 매우 많거나 또는 무한히 많지만 수렴성이 있다. 그 가치는 브룬의 상수로 알려져 있다.

만약 합계가 갈린 경우라면, 그 사실은 무한히 많은 쌍둥이 소수들이 있다는 것을 의미할 것이다.쌍둥이 프리임의 왕복 합계가 대신 수렴되기 때문에, 이 결과로부터 쌍둥이 프리므가 상당히 많거나 무한히 많다는 결론을 내릴 수 없다.브룬의 상수는 무한히 많은 쌍둥이 소수만이 있을 때 비합리적인 수가 될 수 있다.

수치적 추정치

시리즈는 극히 느리게 수렴된다.토마스 그레이는 첫 10억 (10⁹) 조건을 합친 후에도 상대적 오류는 여전히 5%^[1] 이상이라고 말했다.

쌍둥이의 소수점을 10까지¹⁴ 계산함으로써(그리고 도중에 펜티엄 FDIV 버그를 발견함) 잘 경험적으로 브런의 상수를 1.902160578로 추정했다.^[1]그레이는 2010년 1월 18일 현재 연산을 1.6×10까지¹⁵ 늘렸으나, 이것이 그 유형의 최대 연산은 아니다.

2002년에 파스칼 세바와 패트릭 데미첼은 B₂ ≈ 1.902160583104라는 추정치를^[2] 제시하기 위해 10까지¹⁶ 모든 쌍둥이를 사용했다.그러므로

연도	B2	쌍쌍둥이 한 벌 # 아래의 primes	에 의해
1976	1.902160540	1×1011	브렌트
1996	1.902160578	1×1014	멋지다
2002	1.902160583104	1×1016	세바와 데미첼

마지막은 1.830484424658...10 이하의¹⁶ 쌍둥이를 위해.도미니크 클라이브는 (미발표 논문에서) B₂ < 2.1754 (확장된 리만 가설을 가정하면)라고 조건부로 보여주었다.B₂ < 2.347이라고 무조건 보여 왔다.^[3]

또한 브런의 4중주자를 위한 상수도 있다.프라임 쿼드러플트는 두 쌍의 쌍둥이를 가진 쌍둥이로, 4의 거리(가능한 가장 작은 거리)로 분리되어 있다.첫 번째 프라임 쿼드러플은 (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109)이다.B가₄ 가리키는 브룬의 프라임 쿼드러플 상수는 모든 프라임 쿼드러플의 왕복선의 합이다.

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

다음과 같은 가치를 지닌

B₄ = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005, 오류 범위는 양호하게 99% 신뢰 수준을 가진다.^[1]

이 상수는 B로도4 쓰여진 형태의 프라임 쌍(p, p+4)으로서 사촌 프리타임에 대한 브룬의 상수와 혼동해서는 안 된다.울프는 브룬 타입의 합계 B의_n 4/n의 추정치를 도출했다.

추가 결과

${\displaystyle {Let\mathrm{}}_{}}$C ${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle 0.}$6601$$… {\$displaystyle C_{2}=0.6601$\ldots$$}(OEIS의 시퀀스 A005597)을 쌍 primary 상수로 한다.그렇다면 라고 추측된다.

${\displaystyle \pi _{2}(x)\심 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}.}$

특히.

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}:$

모든 > ${\displaystyle \varepsilon >0}$ 및 모두 충분히 큰 x에 대해.

이상의 많은 특례들이 입증되었다.가장 최근에, 지우는 충분히 큰 x를 위해,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<4.5{\frac {x}{(\log x)^{2}}$

여기서 4.5는 위의${\displaystyle }\epsilon {\displaystyle 3.18}$ ${\displaystyle \varepsilon$\varepsilon \ 3.$18}$에 해당한다.

대중문화에서

브룬 상수의 숫자는 노텔 특허 경매에서 1,902,160,540달러의 입찰에 사용되었다.이번 입찰은 구글이 올린 것으로 수학적 상수를 바탕으로 한 구글 3건의 입찰 중 하나였다.^[4]게다가 상수에 대한 학문적 연구는 궁극적으로 펜티엄 FDIV 버그가 인텔에게 주목할 만한 홍보 실패가 되는 결과를 낳았다.^[5][6]

참고 항목

• 프리타임의 왕복 합계의 차이
• 메셀-메르텐스 상수

메모들

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Brun's Constant". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Brun's Theorem". MathWorld.
• 브라운은 플래닛매트릭스에서 상수야
• 세바, 파스칼, 사비에르 구르돈, 쌍둥이의 프리타임 소개 및 브런의 지속적인 연산, 2002년.현대적인 상세 검사.
• 브런형 수량에 대한 울프의 기사