브로카드의 문제

수학에서 해결되지 않은 문제:

$n!+1=m^{2}$ ! $n!+1=m^{2}$ + $n!+1=m^{2}$ = m $2 {\displaystyle$ n ! + 1 = m $^{2}}$ 개의 정수 해가 $n=4,5,7$ = $n=4,5,7$ $n=4,5,7$ $n=4,5,7$ ${\displaystyle$ n = $4, 5, 7}$ 개가 있습니까 $n=4,5,7$

(수학에서 더 많은 미해결 문제)

브로카드의 문제는 $n!+1$ 에서 n $!$ $n!+1$ 1 {\ $displaystyle n!+1$ }이( $가$ ) 완벽한 정사각형이 되도록 $n!+1$ $n$ $n$ 의 정수 값을 구하는 문제입니다. 여기서n! {\ $displaystyle n!}$ 이(가) 계승됩니다 $n!$ . $n$ $n$ 의 값은 4, 5, 7의 세 가지만 알려져 있으며 $n$ 더 이상 있는지 여부는 알 수 없습니다.

더 형식적으로는 다음과 $같은$ $m$ n ${\displaystyle$ n $}$ 과 $n$ m ${\displaystyle$ m $}$ 의 쌍을 찾습니다.

n!+1=m^{2}

이 문제는 헨리 브로카드가 1876년과 1885년에 한 쌍의 기사에서 제기했고,^[1]^[2] 1913년에는 독립적으로 스리니바사 라마누잔에 의해 제기되었습니다.^[3]

갈색수

브로카드의 문제를 해결하는 $(n,m)$ 숫자 $(n,m)$ ( $(n,m)$ ${\displaystyle(n,m)}$ 의 쌍은 클리포드 A에 의해 갈색 숫자로 명명되었습니다. Kevin S로부터 그 문제를 알게 된 후, 그의 1995년 저서 Keys to Infinity에서 픽오버.갈색.^[4]2022년 10월 현재 브라운 수는 세 쌍밖에 알려져 있지 않습니다.

(4,5), (5,11) 및 (7,71),

평등에 의거하여

4! + 1 = 5² = 25,

5! + 1 = 11 = 121, 그리고

7! + 1 = 71² = 5041.

폴 에르트 ő스는 다른 해결책이 존재하지 않는다고 추측했습니다.1,000조에 이르는 컴퓨터 검색 결과 더 이상의 해결책은 찾을 수 없었습니다.^[5]^[6]^[7]

abc 추측과의 연관성

abc 추측에 따르면 브라운 수는 한정적으로 많을 것입니다.^[8]더 일반적으로, 그것은 또한 abc 추측으로부터 따를 것입니다.

n!+A=k^{2}

는 주어진 정수

A

A

에 대해 유한개의 솔루션만 가지고 있습니다

A

^[9]

n!=P(x)

는 정수 계수가 2 이상인

P(x)

주어진 다항식 P

P(x)

P(x)

에 대해 정수 해만 한정적으로 가지고 있습니다.^[10]

참고문헌

^ Brocard, H. (1876), "Question 166", Nouv. Corres. Math., 2: 287
^ Brocard, H. (1885), "Question 1532", Nouv. Ann. Math., 4: 391
^ Ramanujan, Srinivasa (2000), "Question 469", in Hardy, G. H.; Aiyar, P. V. Seshu; Wilson, B. M. (eds.), Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, p. 327, ISBN 0-8218-2076-1, MR 2280843
^ Pickover, Clifford A. (1995), Keys to Infinity, John Wiley & Sons, p. 170
^ Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), "On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ " (PDF), Ramanujan Journal, 4 (1): 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, MR 1754629, S2CID 119711158
^ Matson, Robert (2017), "Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues" (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, archived from the original (PDF) on 2018-10-06, retrieved 2017-05-07
^ Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C++ Brocard GitHub Repository
^ Overholt, Marius (1993), "The Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ ", The Bulletin of the London Mathematical Society, 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104, MR 1204060
^ Dąbrowski, Andrzej (1996), "On the Diophantine equation $x! + A = y 2$ ", Nieuw Archief voor Wiskunde, 14 (3): 321–324, MR 1430045
^ Luca, Florian (2002), "The Diophantine equation $P (x) = n!$ and a result of M. Overholt" (PDF), Glasnik Matematički, 37(57) (2): 269–273, MR 1951531

추가열람

Guy, R. K. (2004), "D25: Equations involving factorial $n$ ", Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 301–302

외부 링크

Eric W. Weisstein, Brocard's Problem (Brown Numbers) at MathWorld.
Copeland, Ed, "Brown Numbers", Numberphile, Brady Haran, archived from the original on 2014-11-09, retrieved 2013-04-06

[broc1-1] Brocard, H. (1876), "Question 166", Nouv. Corres. Math., 2: 287

[broc2-2] Brocard, H. (1885), "Question 1532", Nouv. Ann. Math., 4: 391

[ramanujan-3] Ramanujan, Srinivasa (2000), "Question 469", in Hardy, G. H.; Aiyar, P. V. Seshu; Wilson, B. M. (eds.), Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, p. 327, ISBN 0-8218-2076-1, MR 2280843

[pickover-4] Pickover, Clifford A. (1995), Keys to Infinity, John Wiley & Sons, p. 170

[bergal-5] Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), "On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ " (PDF), Ramanujan Journal, 4 (1): 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, MR 1754629, S2CID 119711158

[matson-6] Matson, Robert (2017), "Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues" (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, archived from the original (PDF) on 2018-10-06, retrieved 2017-05-07

[epsgli-7] Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C++ Brocard GitHub Repository

[overholt-8] Overholt, Marius (1993), "The Diophantine equation $n! + 1 = m 2$ ", The Bulletin of the London Mathematical Society, 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104, MR 1204060

[dabrowski-9] Dąbrowski, Andrzej (1996), "On the Diophantine equation $x! + A = y 2$ ", Nieuw Archief voor Wiskunde, 14 (3): 321–324, MR 1430045

[luca-10] Luca, Florian (2002), "The Diophantine equation $P (x) = n!$ and a result of M. Overholt" (PDF), Glasnik Matematički, 37(57) (2): 269–273, MR 1951531

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