박스메이킹 게임

박스만들기 게임(흔히 박스 게임이라고 함)은 두 명의 플레이어가 번갈아 짝을 이루어 한 쌍의 해체 세트("박스")의 요소들을 선택하는 편향된 포지셔닝 게임이다.BoxMaker라고 불리는 첫 번째 플레이어는 단일 상자의 모든 요소를 선택하려고 한다.BoxBreaker라고 불리는 두 번째 플레이어는 모든 상자 중에서 적어도 하나의 요소를 선택하려고 한다.

이 박스 게임은 폴 에르디스와 바클라프 차바탈이 처음 선보였다.^[1]나중에 하미두네와 라스베르가스에 의해 해결되었다.^[2]

정의

박스 게임은 다음과 같이 정의된다.

n 쌍-분할 세트의 제품군, $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $A_{1},\ldots ,A_{n}$ , $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $A_{1},\ldots ,A_{n}$ 가 서로 다른 $A_{1},\ldots ,A_{n}$ {\ $displaystyle A_{1},\ldots, A_{n$ 세트들은 종종 "박스"라고 불리고 요소들은 "볼"이라고 불린다.
두 정수 p와 q.

첫 번째 선수인 BoxMaker는 (같은 상자나 다른 상자에서) p 볼을 고른다.그리고 나서 두 번째 선수인 BoxBreaker는 q박스를 깨뜨린다.등등.

BoxMaker는 BoxBreaker가 이 상자를 깨뜨리기 전에 최소한 한 박스에 있는 모든 공을 골랐다면 승리한다.박스브레이커는 그가 모든 박스들을 간신히 부숴버리면 승리한다.

전략들

일반적으로 박스브레이커의 최적 전략은 남은 요소 수가 가장 적은 박스를 깨는 것이다.박스메이커의 최적 전략은 모든 박스 사이즈의 균형을 맞추는 것이다.이러한 전략을 시뮬레이션함으로써 하미두네와 라스베르가스는^[2] (p:q) 박스 게임에서 각 선수에게 충분하고 필요한 조건을 찾아냈다.

q=1인 특별한 경우, 다음의 각 조건이 충분하다.^[3]^{: 36–39}

모든 박스의 크기가 k이고 p $p\cdot \sum _{i=1}^{n}{1 \over i}<k$ $p\cdot \sum _{i=1}^{n}{1 \over i}<k$ = $p\cdot \sum _{i=1}^{n}{1 \over i}<k$ $p\cdot \sum _{i=1}^{n}{1 \over i}<k$ < $p\cdot \sum _{i=1}^{n}{1 \over i}<k$ > $[\displaystyle p\cdot \sum _{i=1}^{n}{1 \over$ i}{1 \n}{n}{1 $\$ over i $p\cdot \sum _{i=1}^{n}{1 \over i}<k$ 그러면 박스브레이커가 (p:1) 박스 게임에서 승리한다.비교를 위해 일반(p:q) 편향된 게임에서 브레이커의 승리 조건은 n $n<(q+1)^{k/p}$ < $n<(q+1)^{k/p}$ ( $n<(q+1)^{k/p}$ + $n<(q+1)^{k/p}$ ) $n<(q+1)^{k/p}$ / p ${\$ 이다. $n<(q+1)^{k/p}$ q=1과 함께 이것은 $p\cdot \log _{2}{n}<k$ $p\cdot \log _{2}{n}<k$ $p\cdot \log _{2}{n}<k$ 2 $p\cdot \log _{2}{n}<k$ $p\cdot \log _{2}{n}<k$ < $p\cdot \log _{2}{n}<k$ > ${\displaystystyle p\cdot \log _{$ 2}{ $n}}k$ 그 증거는 잠재적인 기능을 사용한다.BoxBreaker의 j-th 이동 전 게임의 잠재력은 다음과 ${1 \over n-j+1}\sum _{i=j}^{n}c_{i}$ 된다 ${1 \over n-j+1}\sum _{i=j}^{n}c_{i}$ ${1 \over n-j+1}\sum _{i=j}^{n}c_{i}$ - j ${1 \over n-j+1}\sum _{i=j}^{n}c_{i}$ + ${1 \over n-j+1}\sum _{i=j}^{n}c_{i}$ $∑$ ${1 \over n-j+1}\sum _{i=j}^{n}c_{i}$ = ${1 \over n-j+1}\sum _{i=j}^{n}c_{i}$ c i ${\displaystyle{$ 1 $\over n-j+1}\sum _{$ $i=j$ $}^{$ $n}$ c_{i}}}}}}. $c_{i}$ 서 ${1 \over n-j+1}\sum _{i=j}^{n}c_{i}$ c $c_{i}$ 는 $c_{i}$ i에 남아 있는 요소의 수입니다 $c_{i}$ .
상자 크기가 $k_{1},\ldots ,k_{n}$ , … $k_{1},\ldots ,k_{n}$ , ${\$ k_ ${n$ }, $k_{1},\ldots ,k_{n}$ and $\sum _{i=1}^{n}e^{-k_{i}/p}<{1/e}$ i $\sum _{i=1}^{n}e^{-k_{i}/p}<{1/e}$ $\sum _{i=1}^{n}e^{-k_{i}/p}<{1/e}$ $\sum _{i=1}^{n}e^{-k_{i}/p}<{1/e}$ - $\sum _{i=1}^{n}e^{-k_{i}/p}<{1/e}$ i $\sum _{i=1}^{n}e^{-k_{i}/p}<{1/e}$ / $displaystyle \sum _{i=1}^{n^{n_{i}/e}}}<{1$ /e $\sum _{i=1}^{n}e^{-k_{i}/p}<{1/e}$ BoxBreaker가 (p:1) 게임에서 승리한다.비교를 위해 일반(p:q) 편향된 게임에서 브레이커의 승리 조건은 다음과 같다: $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ i = $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ + $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ ) - $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ 1 / $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ < $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ 1 + $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ > 1 + $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ q ${\$ _ ${i=$ 1}^{ $n}{+q)^{-k_{1}/p}<{1$ \1 \ $1$ \1 $\sum _{i=1}^{n}(1+q)^{-k_{1}/p}<{1 \over 1+q}$ $c$ }. $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$ =1을 사용하면 $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$ i $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$ = $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$ 2 $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$ - $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$ i $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$ / $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$ < $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$ 2 ${\$ 2 $.}$ 가 된다 $\sum _{i=1}^{n}2^{-k_{i}/p}<{1 \over 2}$

참조

^ Chvátal, V.; Erdös, P. (1978). "Biased Positional Games". Annals of Discrete Mathematics. 2 (C): 221–229. doi:10.1016/S0167-5060(08)70335-2. ISSN 0167-5060.
^ ^a ^b Hamidoune, Yahya Ould; Las Vergnas, Michel (1987-06-01). "A solution to the Box Game". Discrete Mathematics. 65 (2): 157–171. doi:10.1016/0012-365X(87)90138-5. ISSN 0012-365X.
^ Hefetz, Dan; Krivelevich, Michael; Stojaković, Miloš; Szabó, Tibor (2014). Positional Games. Oberwolfach Seminars. Vol. 44. Basel: Birkhäuser Verlag GmbH. ISBN 978-3-0348-0824-8.

[Chvátal_1978-1] Chvátal, V.; Erdös, P. (1978). "Biased Positional Games". Annals of Discrete Mathematics. 2 (C): 221–229. doi:10.1016/S0167-5060(08)70335-2. ISSN 0167-5060.

[Hamidoune_1987-2] Hamidoune, Yahya Ould; Las Vergnas, Michel (1987-06-01). "A solution to the Box Game". Discrete Mathematics. 65 (2): 157–171. doi:10.1016/0012-365X(87)90138-5. ISSN 0012-365X.

[pg14-3] Hefetz, Dan; Krivelevich, Michael; Stojaković, Miloš; Szabó, Tibor (2014). Positional Games. Oberwolfach Seminars. Vol. 44. Basel: Birkhäuser Verlag GmbH. ISBN 978-3-0348-0824-8.

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[2]

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