베를레캄프-웰치 알고리즘

베를레캄프-웰치-베를캄프 알고리즘으로도 알려진 웰치 알고리즘은 엘윈 R의 이름을 따서 명명되었다. 베를레캄프와 로이드 R. Welch. This is a decoder algorithm that efficiently corrects errors in Reed–Solomon codes for an RS(n, k), code based on the Reed Solomon original view where a message ${\displaystyle m_{1},\cdots ,m_{k}}$ is used as coefficients of a polynomial ${\displaystyle F(a_{i})}$ or used with Lagrange interpOlation, 입력에 k1, ⋯, k{\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{k}} 다음 F(는 나는){F(a_{나는})\displaystyle}는 k+1, ⋯, 오빠{\displaystyle a_{k+1},\cdots ,a_{n}}인코딩을 실시한 부호 워드를 창출하기 위한 적용된다 정도의 다항식 F(는 나는){F(a_{나는})\displaystyle}으로 생성됩니다.${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$

The goal of the decoder is to recover the original encoding polynomial ${\displaystyle F(a_{i})}$, using the known inputs ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$ and received codeword ${\displaystyle b_{1},\cdots ,b_{n}}$ with possible errors.또한 수신된 코드 워드의 오류에 해당하는$$ $오류{\displaystyle }$ 다항식 $E{\displaystyle (i_{}}$) ${\$$displaystyle E(a_{i}})$를 계산한다$.$

주요 방정식

e = 오차 수 정의, n 방정식의 키 집합은

${\displaystyle b_{i}E(a_{i})=E(a_{i})F(a_{i}})}$

여기서_i E(a_i) = b_i ≠ F(a_i)일 경우 0, n - e 비 에러일 경우 b = F(a_i)일 경우 E(a_i) 0 0. 이러한 방정식은 직접 해결할 수 없지만 Q()를 E()와 F()의 산물로 정의하면 다음과 같다.

${\displaystyle Q(a_{i}=E(a_{i})F(a_{i}})}$

그리고 E(a_i) = e_e = 1의 가장 유의미한 계수가 있다는 제약조건을 더하면 결과는 선형대수로 풀 수 있는 일련의 방정식으로 이어질 것이다.

${\displaystyle b_{i}E(a_{i})=Q(a_{i})}$

${\displaystyle b_{i}E(a_{i})-Q(a_{i}=0}$

${\displaystyle b_{i}(e_{0}+e_{1}a_{i}+e_{2}a_{i}^{2}+\cdots +e_{e}a_{i}^{e})-(q_{0}+q_{1}a_{i}+q_{2}a_{i}^{2}+\cdots +q_{q}a_{i}^{q})=0}$

여기서 q = n - e - 1. e는_e 1로 제한되므로 방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle b_{i}(e_{0}+e_{1}a_{i}+e_{2}a_{i}^{2}+\cdots +e_{e-1}a_{i}^{e-1})-(q_{0}+q_{1}a_{i}+q_{2}a_{i}^{2}+\cdots +q_{q}a_{i}^{q})=-b_{i}a_{i}^{e}}$

그 결과 시간 복잡성 O(n^3)와 함께 선형 대수학을 사용하여 해결할 수 있는 일련의 방정식을 도출한다.

알고리즘은 최대 오차수 e = - (n-k)/2 ⌋을 가정하기 시작한다. 방정식을 풀 수 없을 때(중복성으로 인해) e를 1로 줄이고 공정을 반복한다. 방정식을 풀 수 있을 때까지 e를 0으로 줄여서 오류가 없음을 나타낸다.Q()/E()의 잔량이 0이면 E(a_i) = 0인 위치에 대해 F() = Q()/E()와 코드 워드 값 F(a_i)를 계산하여 원래 코드 워드를 복구한다.나머지 값이 0이면 수정할 수 없는 오류가 감지된 것이다.

예

GF(7)에 정의된 RS(7,3) (n = 7, k = 3)를 α = 3으로 하고 입력 값: a_i = i-1 : {0,1,2,3,4,5,6}을(를) 고려하십시오.체계적으로 인코딩할 메시지는 {1,6,3}이다.라그랑주 보간, F(a_i) = 3 x + 2² x + 1을 사용하고, a₄ = 3에 대해 F(a_i)를 a = 6에₇ 적용하면 코드 워드가 {1,6,3,6,1,2,2}이(가) 된다.c와₂ c에서₅ 오류가 발생하여 수신된 코드 워드가 {1,5,3,6,3,2,2}인 경우를 가정하십시오. e = 2로 시작하고 선형 방정식을 해결하십시오.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{1}&b_{1}a_{1}&-1&-a_{1}&-a_{1}^{2}&-a_{1}^{3}&-a_{1}^{4}\\b_{2}&b_{2}a_{2}&-1&-a_{2}&-a_{2}^{2}&-a_{2}^{3}&-a_{2}^{4}\\b_{3}&b_{3}a_{3}&-1&-a_{3}&-a_{3}^{2}&-a_{3}^{3}&-a_{3}^{4}\\b_{4}&b_{4}a_{4}&-1&-a_{4}&-a_{4}^{2}&-a_{4}^{3}&-a_{4}^{4}\\b_{5}&b_{5}a_{5}&-1&-a_{5}&-a_{5}^{2}&-a_{5}^{3}&-a_{5}^{4}\\b_{6}&b_{6}a_{6}&-1&-a_{6}&-a_{6}^{2}&-a_{6}^{3}&-a_{6}^{4}\\b_{7}&b_{7}a_{7}&-1&-a_{7}&-a_{7}^{2}&-a_{7}^{3}&-a_{7}^{4}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{0}\\e_{1}\\q0\\q1\\q2\\q3\\q4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-b_{1}a_{1}^{2}\\-b_{2}a_{2}^{2}\\-b_{3}a_{3}^{2}\\-b_{4}a_{4}^{2}\\-b_{5}a_{5}^{2}\\-b_{6}a_{6}^{2}\\-b_{7}a_{7}^{2}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle{\begin{bmatrix}1&, 0&, 6&, 0&, 0&, 0&, 0\\5&, 5&, 6&, 6&, 6&, 6&, 6\\3&, 6&, 6&, 5&, 3&, 6&, 5\\6&, 4&, 6&, 4&, 5&, 1&, 3\\3&, 5&, 6&, 3&, 5&, 6&, 3\\2&, 3&, 6&, 2&, 3&, 1&, 5\\2&, 5&, 6&, 1&, 6&, 1&, 6\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{0}\\e_{1}\\q0\\q1\\q2\\q3\\q4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\2\\2\\2\\1\\6\\5\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle{\begin{bmatrix}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{0}\\e_{1}\\q0\\q1\\q2\\q3\\q4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\2\\4\\3\\3\\1\\3\\\end{bmatrix}}}$

오른쪽 행렬의 하단에서 시작하여 e₂ = 1:

${\displaystyle Q(a_{i}=3x^{4}+1x^{3}+3x^{2}+3x+3x+4}$

${\displaystyle E(a_{i}=1x^{2}+2x+4}$

${\displaystyle F}$( ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle Q_{}}$( i${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle E_{}}$( ${\displaystyle i{}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ 2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ + 1 ${\displaystyle F(a_{i}}}=Q(a_{i})/E(a_{i}=3x^{2}+2x+1},$ 나머지는$$ 0.

E₂(a_i) = a = 1 및 a = 4에서₅ 0 F(a₂ = 1) = 6 및 F(a₅ = 4) = 1을 계산하여 수정된 코드 워드 {1,6,3,6,1,2,2}을(를) 생성하십시오.

참고 항목

• 리드-솔로몬 오차 보정

외부 링크

• 필수 코딩 이론에 대한 MIT 강의 노트 – 마두 수단 박사
• 버팔로 대학교 코딩 이론 강의 노트 - 닥터아트리 루드라
• 선, 평면 및 곡선의 대수적 코드, 엔지니어링 접근방식 - Richard E.블라후트
• Reed-Solomon 코드의 Welch Berlekamp 디코딩 – L. R. Welch
• US 4,633,470, Welch, Lloyd R. & Berlekamp, Elwyn R, 1983년 9월 27일 발행된 "대수 블록 코드에 대한 오류 수정" – 1986년 12월 30일 발행된 Lloyd R의 특허.웰치와 엘레윈 R.베를레캄프