영역 구면 고조파

Zonal spherical harmonics

회전 대칭에 대한 수학적 연구에서, 영역 구면 고조파는 특정한 고정축을 통한 회전 아래 불변하는 특별한 구면 고조파다.영역 구형 함수는 보다 일반적인 대칭 집단을 허용하기 위해 영역 구형 고조파 개념을 광범위하게 확장한 것이다.

2차원 구체에서는 북극을 고정하는 회전 아래 도 degree 불변성의 고유한 영역 구형 조화가 구면 좌표로 표현된다.

여기서 P Legendre 다항식 학위 ℓ이다.정도 ℓ의 일반적인 구형 고조파는 x ()( y ) {로 표시되며 여기서 x는 고정 축을 나타내는 구상의 점이고, y는 함수의 변수다.이것은 기본 영역 고조파 ( ) ( ,). )의 회전을 통해 얻을 수 있다.

n차원 유클리드 공간에서 영역 구면 고조파는 다음과 같이 정의된다.x가 (n-1)-sphere의 포인트가 되게 한다. 기능의 이중 표현으로 Z () 을(를) 정의하십시오.

ℓ의 구형 고조파 H의 유한 차원 힐버트 공간 H.즉, 다음과 같은 재생성 속성은 다음을 지탱한다.

모든 YH. 불변 확률 측정과 관련하여 적분을 취한다.

고조파 전위와의 관계

영역 고조파는 자연적으로 단위 공에 대한 포아송 커널의 계수로 나타난다. 단위는 Rn: x와 y 단위 벡터에 대해,

여기서 - (n-1)차원 구의 표면 영역이다.그것들은 또한 뉴턴 커널과 관련이 있다.

여기서 x,yRn 상수 cn,k 다음과 같이 주어진다.

뉴턴 커널의 테일러 시리즈 계수(적절한 정규화 포함)는 정확히 초구형 다항식이다.따라서 구역 구면 고조파는 다음과 같이 표현할 수 있다.α = (n-2)/2인 경우

여기서 cn,ℓ 위의 이고 C ( degree의 초소형 다항식이다.

특성.

  • 지역 구형 고조파들은 회전 불변성인데, 이는 다음을 의미한다.
모든 직교 변환 R에 대해반대로 각 고정 x에 대해 y의 구면 고조파인 Sn−1×Sn−1 함수 ((x,y)는 이 불변성 특성을 만족하는 ℓ 지역 고조파의 일정 배수다.
  • x = y 제공에서 평가

참조

  • Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.