벡터 논리학

Vector logic

벡터 로직[1][2] 매트릭스 대수학을 기반으로 한 기본 논리대수적 모델이다. 벡터 로직은 벡터진리 값 맵을 가정하고, 단음절다이오드 연산은 매트릭스 연산자에 의해 실행된다고 가정한다. 벡터 논리(Vector logic)는 단위 벡터가 명제 변수[3][4]벡터 공간으로서의 고전적 명제 논리를 나타내는 데에도 사용되어 왔다. 술어 논리의 축을 명제 논리학의 원점은 거짓, F를 나타내는 벡터 공간은 조건자 편지 S{S\displaystyle}및 P{P\displaystyle}.[5]을 대표하는 같은 형식의 벡터 공간, 그리고 조건자의 우주와는 달리, 무한한 주위, 진정한, T를 나타내는 표시할 수 있다. logic 기원은 "아무것도"를 나타내며 주변은 "아무것도"를 나타내지 않는 것, 또는 "뭔가"로부터의 비행을 나타낸다.

개요

고전적인 이항논리는 하나의 (모나치) 또는 두 개의 (다이나치) 변수에 따라 작은 수학함수의 집합으로 표현된다. 이진수 집합에서 값 1은 에 해당하고 값 0은 거짓에 해당한다. 2-값 벡터 논리는 참(t)과 거짓(f) 사이의 진실 값과 2-차원 정규화된 실제 값 열 벡터 sn 사이의 일치성을 필요로 하므로, 다음과 같다.

및 f

(여기서 2은 임의의 자연수이며, " ""는 벡터의 길이가 1이며, 일반적으로 sn은 직교 벡터라는 것을 의미한다.) 이 대응은 벡터 진실 값의 공간을 생성한다. V2 = {s,n}. 이 벡터 세트를 사용하여 정의된 기본 논리 연산은 매트릭스 연산자로 이어진다.

벡터 로직의 연산은 q차원 컬럼 벡터들 사이의 스칼라 제품을 기반으로 한다: = , : the orthonormality between vectors s and n implies that if , and if , where .

모나치 연산자

단색 연산자는 애플리케이션 : V . 관련 행렬에는 q 행과 q 열이 있다. 이 두 가지 가치 벡터 논리에 대한 두 가지 기본적인 단음 연산자는 정체성부정이다.

  • ID: 논리 ID ID(p)는 = + nT {\I=ss 여기서 준사포시션은 Kronecker 제품이다. 이 매트릭스는 다음과 같이 동작한다. Ip = p, pV2; n에 대한 s의 직교합성 때문에, = S s+ n = + = s n n,n하게 = n {\ In= 이 벡터 논리 아이덴티티 매트릭스는 행렬 대수적 의미에서는 일반적으로 아이덴티티티티 매트릭스가 아니라는 점에 유의해야 한다.
  • 부정: 논리 부정 ¬p는 행렬 = T+ N로 표현된다. 따라서 Ns = N, Nn = s. 논리적 부정의 비자발적 행동, 즉 ¬(¬p)이 p와 같다는 것은 N = I이라는2 사실과 일치한다.

다이디치 연산자

16개의 2값 다이오드 연산자는 D d: V 2}\2 dynadious 행렬에는 q2 행과 q 열이 있다. 이러한 다이오드 연산을 실행하는 행렬은 Kronecker 제품의 특성에 기초한다. (q × {\times 행렬을 displaystyle times q} 행렬을 곱하면 1 displaystylease q\ 로 입력된다.이디치 행렬)

벡터 로직의 형식주의를 위해서는 이 제품의 두 가지 특성이 필수적이다.

  1. 혼합물 속성

    A, B, C, D가 매트릭스 제품 ACBD를 형성할 수 있는 크기의 행렬이라면,

  2. 분배 전치전치전위전위전위전위전위전위전위작전은 Kronecker 제품보다 분배적이다.

이러한 특성을 사용하여 dynadious 논리 함수에 대한 표현은 다음과 같이 얻을 수 있다.

  • 접속사. 접속사(pq)는 두 개의 벡터 진리 값에 작용하는 매트릭스에 의해 실행된다: ( ) C v이 행렬은 고전적 접속사 진리표의 형상을 재현한다.
그리고 검증한다
)= s
  • 분리. 분리(pq)는 매트릭스에 의해 실행된다.
(를) 통해
s)= n)= s)= s
  • 함축하다. 그 함축은 pq ≡ ¬ q q라는 표현에 고전적 논리에 해당된다. 이 동등성의 벡터 논리 버전은 벡터 논리에서의 이러한 함의를 나타내는 행렬로 이어진다: = ( I ) I . 이 암시에 대한 명시적 표현은 다음과 같다.
고전적 함축적 함축적 특성은 다음과 같이 충족된다.
s)= )= n)= n
  • 동등성배타적 또는. 벡터 논리학에서 등가 pq는 다음과 같은 행렬로 표현된다.
T}과와)
s)= n)= s s n
배타적 또는 등가성 ((pqq)의 부정이며, X= N E (가) 제공하는 행렬 = {\displaystyle X=NE}
s)= n)= n X n

행렬 SP는 각각 셰퍼(NAND) 및 페어체(NOR) 연산에 해당한다.

드 모건의 법칙

2개의 가치 논리학에서 접속사와 분리 연산은 드 모건의 법칙인 pqq((p∧q)과 그 이중인 pq¬(p∨q)을 만족시킨다. 두 개의 값 벡터 논리에 대해서도 이 법칙을 검증한다.

)= N ) 여기서 uv는 두 개의 논리 벡터다.

크론커 제품은 다음과 같은 요소를 내포하고 있다.

그렇다면 2차원 벡터 논리에서는 De Morgan의 법칙이 연산자에 관한 법률이 아니라 연산자에 관한 법률임을 증명할 수 있다.[6]

대립의 법칙

고전 명제 미적분학에서는 등가성이 pq의 가능한 모든 진리 값의 조합을 지탱하기 때문에 대립 pq ¬p법칙이 증명된다.[7] 그 대신 벡터 논리학에서는 다음과 같이 매트릭스 대수학 및 크로네커 생산물의 규칙 내에 있는 동일성의 연쇄에서 대립의 법칙이 나타난다.

이 결과는 분리 매트릭스인 D가 교호작전을 나타낸다는 사실에 근거를 두고 있다.

다차원 논리학

많은 가치가 있는 논리는 많은 연구자들, 특히 얀 우카시에비츠에 의해 개발되었으며 불확실성을 포함하는 진실 가치로 논리적 연산을 확장할 수 있다.[8] 2-값 벡터 논리의 경우 확률에 의해 가중되는 sn의 벡터를 사용하여 진리 값의 불확실성을 도입할 수 있다.

= s+ n f와) 함께 , [ 0 ,1] , + =1 {\은 이와 같은 종류의 "확률 벡터" 벡터가 된다. 여기서 논리의 많은 가치의 문자는 입력에 도입된 불확실성을 통해 후방으로 소개된다.[1]

벡터 출력의 스칼라 투영

이 다값 논리의 산출물은 스칼라 함수에 투영할 수 있으며, 레이첸바흐의 다값 논리와 유사성이 있는 특정한 종류의 확률론적 논리를 생성한다.[9][10][11] 벡터 = + v= s+ β {n '(와에 대한 투영에 의해 스칼라 확률론적 논리가 제공된다

다음은 이러한 예측의 주요 결과들이다.

관련 부정은 다음과 같다.

만일 스칼라 값이 {0, ,, 1} 집합에 속한다면, 이 다액의 스칼라 논리는 우카시오비치의 3값 논리와 거의 동일한 많은 연산자를 위한 것이다. 또한, 모나디나 디나디 연산자가 이 집합에 속하는 확률론적 벡터 위에 작용했을 때, 출력도 이 집합의 요소라는 것이 증명되었다.[6]

NOT의 제곱근

이 연산자는 원래 양자컴퓨팅의 틀에서 qubit에 대해 정의되었다.[12][13] 벡터 논리학에서 이 연산자는 임의의 정형외과적 진리 값에 대해 확장할 수 있다.[2][14] 사실 NOT의 두 제곱근은 다음과 같다.

=() = 2( + ) + ( - i {1}{1}:{1}(1}:{2
=() 2= ( 1- ) I+ ( + }{1}-

with . and are complex conjugates: , and note that , and 또 다른 흥미로운 점은 -1의 두 제곱근과의 비유다. 의 루트+(- 1) ) = I 해당한다., 및 음의 루트-(- 1) - () = 에 해당된다 {\

역사

논리 연산을 나타내기 위해 선형 대수학을 사용하려는 초기 시도는 PeirceCopilowish,[15] 특히 관계의 미적분학을 해석하기 위한 논리 행렬의 사용에서 언급될 수 있다.

이 접근방식은 고차원 매트릭스와 벡터의 사용에 기초한 신경망 모델에서 영감을 받았다.[16][17] 벡터 논리는 고전적인 부울 다항식의 행렬-벡터 형식주의로의 직접적인 번역이다.[18] 이런 종류의 형식주의는 복잡한 숫자의 관점에서 애매모호한 논리를 개발하기 위해 적용되었다.[19] 논리 미적분학에 대한 다른 행렬과 벡터 접근법은 양자물리학, 컴퓨터 과학, 광학의 틀에서 개발되었다.[20][21]

인도생물물리학자 G.N. 라마찬드란은 대수 행렬과 벡터를 사용하여 샤드와 삽트반기로 알려진 고전 자인 논리의 많은 연산을 나타내기 위해 형식주의를 개발했다; 인도의 논리를 보라.[22] 그것은 제안의 각 주장에 대해 독립적인 긍정 증거를 요구하며, 이항 보완에 대한 가정을 하지 않는다.

부울 다항식

조지 부울은 다항식으로서 논리적 운영의 발전을 확립했다.[18] 단색 연산자(: ID 또는 부정)의 경우 부울 다항식(Boolean polyomials)은 다음과 같이 보인다.

4개의 서로 다른 단색 연산은 계수에 대한 다른 이항 값에서 비롯된다. 아이덴티티 연산에는 f(1) = 1과 f(0) = 0이 필요하며, f(1) = 0과 f(0) = 1이면 부정이 발생한다. 16 다이오드 연산자의 경우 부울 다항식은 다음과 같은 형식이다.

계수가 각 진리표에 표시된 값을 취할 때 다이오드 연산을 이 다항식으로 변환할 수 있다. 예를 들어, NAND 운영은 다음을 요구한다.

( ,1) = f( ( 1,0)= f( )= (1

이러한 부울 다항식은 즉시 임의의 수의 변수로 확장될 수 있으며, 다양한 논리 연산자를 발생시킬 수 있다. 벡터 논리학에서 논리 연산자의 매트릭스 벡터 구조는 이들 부울 다항식의 선형대수 형식에 대한 정확한 번역이며, 여기서 x와 1-x는 각각 벡터sn에 해당한다(y와 1-y의 경우 동일). NAND의 예에서 f(1,1)=nf(1,0)=f(0,1)=f(0,0)=s이며 매트릭스 버전은 다음과 같이 된다.

확장

  • 벡터 논리는 큰 차원 벡터 공간이 많은 직교 진리 값과 그에 상응하는 논리 행렬을 만들 수 있기 때문에 많은 진리 값을 포함하도록 확장할 수 있다.[2]
  • 논리 양식은 신경 모델에서 영감을 받은 재귀적 과정을 통해 이 맥락에서 충분히 표현할 수 있다.[2][23]
  • 논리 계산에 관한 일부 인지적 문제는 이러한 형식주의, 특히 재귀적 결정을 사용하여 분석할 수 있다. 고전 명제 미적분의 어떤 논리적 표현도 나무 구조로 자연스럽게 표현될 수 있다.[7] 이 사실은 벡터 논리에 의해 유지되며, 자연언어의 분기된 구조를 조사하는 데 집중된 신경모델에 부분적으로 사용되어 왔다.[24][25][26][27][28][29]
  • 프레드킨 게이트로서 가역 연산을 통한 계산은 벡터 로직으로 구현될 수 있다. 그러한 구현은 연산 획득에 필요한 입력 형식과 출력 필터링을 생산하는 매트릭스 연산자에 대해 명시적인 표현을 제공한다.[2][6]
  • 기초 세포 자동자는 벡터 로직의 연산자 구조를 사용하여 분석할 수 있다. 이 분석은 그것의 역학을 지배하는 법칙의 스펙트럼 분해로 이어진다.[30][31]
  • 또한 이러한 형식주의를 바탕으로 이산 미분학, 적분학 등이 개발되었다.[32]

참고 항목

참조

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