전송선 매트릭스 방식

TLM(Transmission-Line Matrix) 방법은 전자기장 계산을 위한 공간 및 시간 분석 방법이다. 전자장과 전송선의 그물망 사이의 유추에 기초한다. TLM 방식은 복잡한 3차원 전자기 구조를 연산할 수 있으며 유한차시간영역(FDTD) 방식과 함께 가장 강력한 시간영역 방식 중 하나로 입증되었다.

기본 원리

TLM 방법은 Huygens의 파장 전파 및 산란 모델과 필드 전파와 전송선 사이의 유사성을 기반으로 한다. 그러므로, 그것은 컴퓨터 도메인을 노드에서 상호 연결된 전송 회선의 메쉬로 간주한다. 오른쪽 그림에서는 중앙 노드에서 진폭 1 V 입사 전압 펄스를 갖는 2D TLM 메쉬의 간단한 예로 간주된다. 이 펄스는 전송선 이론에 따라 부분적으로 반사되어 전달될 것이다. 만약 우리가 각 라인에 특성 임피던스 $Z{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle Z}$이 있다고 가정한다면$,$ 입사 펄스는 효과적으로 $Z{\displaystyle }$/ $3$의 총 임피던스와 병렬로 세 개의 전송 라인을 본다$.$ 반사 계수와 전송 계수는 다음과 같다.

${\displaystyle R={\frac {Z/3-Z}{Z/3+Z}=-0.5}$

${\displaystyle T={\frac {2(Z/3)}{Z/3+Z}=0.5}$

입사 펄스에 의해 노드에 주입되는 에너지와 산란 펄스의 총 에너지는 이에 상응한다.

${\displaystyle E_{I}=vi\,\Delta t=1\왼쪽(1/Z\오른쪽)\Delta t=\Delta t/Z}$

${\displaystyle E_{S}=\left[0.5^{2}+0.5^{2}+0.5^{2}+(-0.5)^{2}\오른쪽](\Delta t/Z)=\Delta t/Z}$

따라서, 에너지 절약법은 모델에 의해 이행된다.

다음 산란 이벤트는 위에서 설명한 원칙에 따라 인접 노드를 흥분시킨다. 모든 노드가 구형파의 2차 공급원으로 변하는 것을 알 수 있다. 이 파장은 결합하여 전체 파형을 형성한다. 이것은 Huygens의 빛 전파 원리에 따른 것이다.

TLM 스키마를 보여주기 위해 우리는 시간과 공간의 분리를 사용할 것이다. 이 시간 $단계$는 ${\displaystyle \Delta }$ t$${\$displaystyle \Delta t}$과(와) ${\displaystyle \Delta }$ x$${\$displaystyle \Delta x$ ${\displaystyle \Delta }$ $y${\$displaystyle \Delta z}$로 표시된다$.$ The absolute time and space will therefore be ${\displaystyle t=k\,\Delta t}$, ${\displaystyle x=l\,\Delta x}$, ${\displaystyle y=m\,\Delta y}$, ${\displaystyle z=n\,\Delta z}$, where ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$ is the time instant and ${\displaystyle m,n,l}$$셀$좌표야$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ =${\displaystyle \Delta }$ y =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ z ${\displaystyle \Delta x=\Delta y=\Delta$ z$}$의 경우 Δ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Delta l}$ 값이 사용되며$$ 이는 격자 상수다. 이 경우 다음을 유지한다.

${\displaystyle \Delta t={\frac {\Delta l}{c_{0}},}$

여기서 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 빛의 자유 공간 속도다$$.

2D TLM 노드

2D TLM 노드의 산란 행렬

0이 아닌 구성 $요소$만 E ${\displaystyle x_{}}${\$displaystyle E_{x$ $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}${\$displaystyle E_{y},$ ${\displaystyle H_{}}$ z$${\$displaystyle H_{z}}$인 전자기장 분포를 고려한다면 데카르트 좌표에 있는 맥스웰 방정식은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle {\frac {\partial {H_{z}}{\partial {y}}}=\partylon {\frac {\partial {E_{x}}{\partial {t}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle -{\frac {\partial {H_{z}}{\partial {x}}=\varepsilon {\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {t}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {E_{y}}{\partial {x}-{\partial {E_{x}}}{\partial {y}}}}-\mu {\frac {\partial {H_{z}}}{\partial {t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

우리는 이 방정식을 조합하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{H_{z}}}{\partial {y}^{2}}}=\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}{H_{z}}}{\partial {t}^{2}}}}$

오른쪽 그림은 직렬 노드라고 하는 구조를 나타낸다. 4개의 포트로 구성된$$ 공간 치수 블록 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta y}}$ ${\$$displaystyle \Delta z}$을 설명한다. ${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 및$$ $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 전송 라인의 분산 인덕턴스 및 캐패시턴스다. 직렬 노드가 TE파와 동일하고, 보다 정확하게 메쉬 전류 I, x방향 전압(포트 1과 3) 및 y방향 전압(포트 2와 4)이 필드 구성요소 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ E ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {EY}_{}}$ ${\$과 관련될 수 있음을 보여줄 수 있다. 포트의 전압을 고려할 경우 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$L_{y}}$, 그리고 위의 그림의 극성이 유지되면 다음과 같은 것이 유효하다.

${\displaystyle -V_{1}+V_{2}+V_{3}-V_{4}=2L'\,\Delta l{\frac{\partial{I}{\partial{t}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle y}$ =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Delta x=\Delta$ y$=\Delta l}$.

${\displaystyle \left(V_{3}-V_{1}-{1}\right)-\L'\,\Delta l{\frac {\partial I}{\partial t}}$

${\displaystyle \e_{x}(y+\Delta y)-E_{x}(y)\right]\,\Delta x-[E_{y}(x+\Delta x)-E_{y}(x)]\Delta y=2L'\,\Delta l{\frac {\partial{I}{\partial{t}}}}}}}$

그리고$$을 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle x}$Δ y {\$displaystyle \Delta$x$\Delta$ y$}$로 나눈다.

${\displaystyle {\frac {E_{x}(y+\Delta y)-E_{x}(y)}{\Delta y}}-{\frac {E_{y}(x+\Delta x)-E_{y}(x)}{\Delta x}}=2L'\,\Delta l{\frac {\partial {I}}{\partial {t}}}{\frac {1}{\Delta x\,\Delta y}}}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle y}$ =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle z}$ = Δ z =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ l ${\displaystyle \Delta x=\Delta y=\Delta$ z$=\Delta l}$ 및 대체$$ $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle \Delta {}_{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle I=H_{z}\\delta$ z$$$}.$

${\displaystyle {\delta E_{x}{\delta y}-{\delta e_{y}}{\delta x}=2L}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}}}}}}$

이는 ${\displaystyle \Delta }$l → ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \Delta$ l$\오른쪽 화살표$ 0$}$일 때 맥스웰 방정식으로 감소한다$.$

마찬가지로 포트 1과 포트 4의 커패시터 전반에 걸친 조건을 사용하여 해당 두 개의 다른 맥스웰 방정식이 다음과 같은 것임을 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial {H_{z}}{\partial {y}}=C'{\frac {\partial {E_}{x}}{\partial {t}}}}}}}$

${\displaystyle -{\frac {\partial {H_{z}}{\partial {x}=C'{\frac {\partial {E_{y}}}{\partial {t}}}}}}}$

이러한 결과를 얻으면 션트 노드의 산란 행렬을 계산할 수 있다. 시간 단계 k에서 포트 1의 인시던트 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {펄스}_{}^{}}$는 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ V$$1 i {\$displaystyle _{k}V_{1$}^{i$}}}}}}.$ 위의 그림에서 4선 세그먼트를 테베닌 등가치로 교체하면 반사 전압 펄스에 대한 다음 방정식이 유지됨을 알 수 있다$.$

${\displaystyle _{k}V_{1}^{r}=0.5\left(_{k}V_{1}^{i}+_{k}V_{2}^{i}+_{k}V_{3}^{i}-_{k}V_{4}^{i}\오른쪽)}$

모든 입사파와 모든 반사파가 하나의 벡터로 수집되는 경우, 이 방정식은 매트릭스 형태로 모든 포트에 대해 기록될 수 있다.

${\displaystyle _{k}\mathbf {V} ^{r}=\mathbf {S} _{k}\mathbf {V} ^{i}}}}$

${\displaystyle {}_{}}$서 K ${\displaystyle {}^{}}$ i ${\$ 및 k$$ ${\displaystyle {}^{}}$ r ${\$는 입사 및 반사 펄스 진폭 벡터다.

직렬 노드의 경우 산란 행렬 S는 다음과 같은 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\왼쪽[{\begin{array}{cccc}1&1&1&-1\\\1&1&1\\1&1&1&1\nd{array}}}}}$

TLM 노드 간 연결

직렬 노드의 메쉬에 의한 인접 노드 간의 연결을 설명하려면 오른쪽의 그림을 보십시오. 노드의 timestep k+1에 있는 입사 펄스는 timestep k에 있는 인접 노드에서 산란된 펄스이므로 다음과 같은 연결 방정식이 도출된다.

${\displaystyle _{k+1}V_{1}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{3}^{r}(x,y-1)}$

${\displaystyle _{k+1}V_{2}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{4}^{r}(x-1,y)}}$

${\displaystyle _{k+1}V_{3}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{1}^{1}{r}(x,y+1)}$

${\displaystyle _{k+1}V_{4}^{i}(x,y)=_{k+1}V_{2}^{r}(x+1,y)}}$

산란 행렬 $S{\displaystyle }$ ${\$을(를) 수정하여 비균질$$ 및 손실 물질을 모델링할 수 있다. 연결 방정식을 조정하면 다른 경계를 시뮬레이션할 수 있다.

션트 TLM 노드

위에서 설명한 직렬 노드 이외에 TM-모드 필드 분배를 나타내는 션트 TLM 노드도 있다. 이러한 파동의 0이 아닌 유일한 성분은 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ E ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ 등이며$,$ 직렬 노드와 유사한 고려사항으로 션트 노드의 산란 행렬을 도출할 수 있다.

3D TLM 모델

전자기학에서 대부분의 문제는 3차원 그리드를 필요로 한다. 현재 TE와 TM-필드 분포를 기술하는 구조를 가지고 있으므로, 직관적으로 전자기장에 대한 완전한 설명을 제공하는 션트와 직렬 노드의 조합을 정의하는 것이 가능할 것으로 보인다. 그러한 시도들이 이루어졌지만, 결과적인 구조들의 복잡성 때문에 그것들은 그다지 유용하지 않다는 것이 증명되었다. 위에서 제시된 비유를 사용하면 물리적으로 분리된 지점에서 서로 다른 필드 구성요소를 계산하게 된다. 이는 단순하고 효율적인 경계 정의를 제공하는 데 어려움을 야기한다. 이러한 문제에 대한 해결책은 1987년 존스가 오른쪽 그림에서 제시한 대칭 응축 노드(SCN)로 알려진 구조를 제안하면서 제공되었다. 메쉬 셀의 6면 각각에 2개의 장 편극이 할당되기 때문에 12개의 항구로 구성된다.

SCN의 토폴로지는 테베닌 등가 회로를 사용하여 분석할 수 없다. 더 일반적인 에너지와 전하 보존 원칙이 사용되어야 한다.

시간 인스턴트 k에서 SCN 노드 번호(l,m,n)의 측면에 있는 전기장과 자기장은 12차원 벡터로 요약할 수 있다.

${\displaystyle _{k}\m,n}=_{k}\왼쪽[{1},E_{2},\ldots,E_{11},E_{12}\right]_{l,m,n}^{{{}^{{ldots},{{12}}}}}}}{l,m,n}^}}}}}{T}$

${\displaystyle _{k}\mathbf {H} _{l,m,n}=_{k}\왼쪽[]H_{1},H_{2},\ldots,H_{11},H_{12}\right]_{l,m,n}^{}T}$

다음을 통해 인시던트 및 산란 진폭 벡터와 연결할 수 있다.

${\displaystyle _{k}\mathbf {a} _{l,m,n}={\frac {1}{2{\sqrt {Z_{F}}}{_{k}\mathbf {E}}{l,m,n}+{\frac {\sqrt {Z_}{F}}{2}}:{_{k}\mathbf {H}}_{l,m,n}}}$

${\displaystyle _{k}\mathbf {b} _{l,m,n}={\frac {1}{2{\sqrt {Z_{F}}}{_{k}\mathbf {E}{{l,m,n}-{\frac {\sqrt {Z_}{F}}{2}}:{_{k}\mathbf {H}}_{l,m,n}}}$

where ${\displaystyle Z_{F}={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}}$ is the field impedance, ${\displaystyle _{k}\mathbf {a} _{l,m,n}}$ is the vector of the amplitudes of the incident waves to the node, and ${\displaystyle _{k}\mathbf {b} _{l,m,n}}$ is the vector 흩어진 진폭의 입사파와 산란파의 관계는 행렬 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle _{k}\mathbf {b} _{l,m,n}=\mathbf {S} _{k}\mathbf {a} _{l,m,n}}}$

산란 행렬 S는 계산할 수 있다. 그림에서와 같이 정의된 포트가 있는 대칭 응축 노드의 경우 다음 결과를 얻는다.

${\displaystyle \mathbf {S} =\왼쪽[{\begin{array}{ccc}0&\mathbf {S} _{0}^{0}T}\\\mathbf {S} _{0}^{T}&0&\mathbf {S} _{0}\\mathbf {S} _{0}&\mathbf {S} _{0}^{0}T}&0\end{array}\오른쪽]}$

다음과 같은 행렬이 사용된 곳

${\displaystyle \mathbf {S} _{0}={\frac {1}{1}2}}\왼쪽[{\begin{array}{cccc}0&0&#1&1&1&0\\1&0\&1&0\&1&0\end\i1}오른쪽]}$

서로 다른 SCN 간의 연결은 2D 노드와 동일한 방식으로 이루어진다.

3D-TLM의 오픈 소스 코드 구현

GGIEMR(George Green Institute for Electronic Research)는 GGITLM이라는 MPI를 통해 병렬 컴퓨팅이 가능하고 온라인에서 사용할 수 있는 3D-TLM의 효율적인 구현을 제공했다. ^[1]

참조

• C. 크리스토풀로스, 트랜스미션 라인 모델링 방법: TLM, 피스카타웨이, 뉴욕, IEEE 프레스, 1995. ISBN 978-0-19-856533-8
• Russer, P, 전자자기학, 통신 엔지니어링을 위한 마이크로파 회로 및 안테나 설계, Second Edition, Artec House, Boston, 2006, ISBN 978-1-58053-907-4
• P. B. 존스와 M.오브라이언. "비선형 덩어리 네트워크를 해결하기 위한 전송선 모델링(t.l.m) 방법 사용", The Radio Electron and Engineer. 1980.
• J. L. Hering, 전자파 적합성 연구를 위한 전송 라인 모델링 방법의 개발, 박사 논문, 노팅엄 대학교, 1993.
• 만수르 아흐마디안, 의료용 초음파 PhD 논문의 전송선 매트릭스(TLM) 모델링, 2001년 에든버러 대학교