시그널라이저 펑터

수학에서, 시그널라이저 펑터는 한정된 그룹의 잠재적 부분군의 교차점을 아벨리아 그룹의 비종교 요소의 중심자와 제공한다.신호기 펑터 정리는 신호기 펑터가 하위 그룹에서 나오는 조건을 제공한다.비식별 요소의 중앙집중제인 특정 $p{\displaystyle {}^{}}$$′{\$ 하위그룹을 하나 또는 여러 개의 주어진 반복 없이 생성함으로써$$$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 정상일 가능성이 높은 유한그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$의 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$의 하위그룹을 구성하고자 한다.초등 아벨 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $p$$}$ - $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ G$.}$의 하위$$ 그룹 이 기법은 Feit–에 기원을 두고 있다.톰프슨 정리, 이후 시그널라이저 펑커를 정의한 고렌슈타인(1969)과 해결 가능한 그룹을 위해 해결 가능한 시그널라이저 펑터 정리를 증명한 글라우버만(1976), 모든 그룹에 대해 이를 증명한 맥브라이드(1982a, 1982b) 등 많은 사람들에 의해 개발되었다.이 정리는 주어진 비아벨리안 유한단순집단이 국소적 특성 2를 가지고 있거나 성분형이라고 명기한 이른바 '이차절개'를 증명하기 위해 필요하다.따라서 유한단순집단의 분류에 큰 역할을 한다.

정의

A를 유한군 G의 비순환 초등 아벨리안 p-분군이 되게 하라.A와 G가 명확할 때 G의 A-시그널라이저 펑터 또는 단순히 신호기 펑터(Functor)는 A의 비식별 요소 집합에서 다음 특성을 만족하는 G의 A-invariant p-subgroup 집합에 이르는 매핑이다.

• $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{비식별성}}$ $∈$ A {\displaystyle $a\in$ A$}$에$$대해 그룹 ${\displaystyle \theta }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \theta (a)$는 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G_{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle C_{G}(a$)에 포함되어$$ 있다$.$$}$
• 모든 비식별성 $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a,$${\displaystyle b}$$\in A$에 대해, $우리$는${\displaystyle )}$ ( ) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \subseteq \theta }$ ( b${\displaystyle }$)${\displaystyle }${. ${\displaystyle \theta (a)\cap C_{G}(b)\subseteq$\teq \$te$\ta (b)를 가지고 있다$.$$}$

위의 두 번째 조건을 균형 조건이라고 한다.${\displaystyle \mathrm{하위}}$ 그룹 $\theta {\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \theta (a)}$이(가) 모두 해결 가능한 경우$$, 신호기 펑터 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \teta }$ 그$$ 자체가 해결 가능한 것으로 알려져 있다.

해결 가능한 신호기 펑터 정리

Given ${\displaystyle \theta ,}$ certain additional, relatively mild, assumptions allow one to prove that the subgroup ${\displaystyle W=\langle \theta (a)\mid a\in A,a\neq 1\rangle }$ of ${\displaystyle G}$ generated by the subgroups ${\displaystyle \theta (a)}$ is in fact a $$${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ p$'}$ -filename$$.Gloeberman에 의해 증명되고 위에서 언급한 Solible Signatizer Functor Organization은 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$이(가) 해결 가능하고$$ A ${\displaysty$ A$}$이($가{\displaystyle }$) 적어도 세 개의 발전기를 가지고$$ 있는 경우에 해당한다고 말한다.정리는 또한 이러한 가정 하에서 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ 그 자체가$$ 해결될 수 있을 것이라고 기술하고 있다.

몇 가지 초기 버전의 정리가 증명되었다: 고렌슈타인(1969년)은 A ${\displaystyle A$}이 적어도 5위라는 더 강한$$ 가정 하에 이것을 증명했다.골드슈미트(1972a, 1972b)는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 적어도 4위 또는 최소$$ 3위 2그룹이라는 가정 하에 이를 증명했다.벤더(1975)는 ZJ 정리를 이용하여 2그룹에 대한 간단한 증거를 제시했고, 비슷한 정신의 증거는 플라벨(2007)에 의해 모든 프라임들에 대해 주어졌다.글라우버맨(1976)은 해결 가능한 신호기 펑커에 대한 최종 결과를 내놓았다.유한 단순 그룹의 분류를 사용하여, McBride(1982a, 1982b)는 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$$W}$이$($가) $풀{\displaystyle {}^{}}$ 수$$${\displaystyle {}^{}}$있다고$$가정하지 않고 p $display$ {\$displaystyle$ p$'}$ -그룹임을$$$$ 보여주었다.

완성도

완성도라는 용어는 시그널라이저 펑커스의 논의에 자주 사용된다.위와 같이 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$을(를) 신호 처리기 펑터가 되게 하고$,$ G ${\displaystyle G}$의 모든$$ $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle{\displaystyle {}^{}}$ A} $-invariant$ p$$$sub$ {\$displaystytle$ p'}$$- 하위 $그룹{\displaystyle }$ H$$${\\$$displaysty$ H$}$의 설정이 다음 조건을 만족하는지$$ 고려하십시오.

• ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subseteq \theta }$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle H\cap C_{G}(a)\subseteq \theta(a)}$${\displaystyle \mathrm{ident<img\; alt="H\backslash cap\; C\_G(a)\; \backslash subseteq\; \backslash theta(a)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2317e9385f70b2673fcbae9217140496f51e361d"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:18.099ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="97">}}$ A.${\displaystyle a\in.}$

예를 들어 부분군 ${\displaystyle \theta }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \theta (a)}$은(는) 균형 조건에 의해 и에$$ 속한다.$и$가 격납장치에 의해 명령되었을 때 и가 고유한 최대 요소를 갖는다면 시그널라이저 펑터 ${\displaystyle \theta }$은 완료되었다고 한다$$.이 경우 고유한$$ 최대 $요소$와$$위의 W {\$displaystyle W}$이$(가)$ 일치함을 나타낼 수 $있으며$, W {\$displaystyle \theta}$의 완료라고 $한다$$.$ 만일 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$}이$$(가$)$ 완료되고, $W{\displaystyle }$ ${\displaystystyle W}$이(가$$)가 해결 가능한 것으로$$ 판명되면 $\theta {\displaystyle }$ ${\\displaystythe}$s는 용해할 수 있을 정도로 완전하다고 한다.

따라서 $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ A$}$에 적어도$$ 세 개의 발전기가 $있으면$ G {\displaystyle $G}$의 모든 $해결{\displaystyle }$ $가능$한 A {\$displaystyle A}$ - signalizer$$ functor는 해결이 가능하다고$$ 말해 해결 가능한 신호기 Functor 정리를 다시 해석할 수 있다.

시그널라이저 펑커의 예

시그널라이저 펑터를 얻는 가장 쉬운${\displaystyle }방법$은 G , ${\displaystyle$ G$,}$의$$A {\$displaystyle$ A$}$ $-invariant$ p ${\displaystyle {\prime }^{}}${\$displaystyle$ p$'}$ $-subgroup$ M {\$displaystyle M}$부터 시작하여${\displaystyle \theta }$= ${\displaystyle C}$G ($a)$를 $정의$하는 것이다$.$$그러나$ 실제로$$ $모든{\displaystyle }$ $비식별성$에 대한 M\$cap$ $C_{G}(a)}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A.}$ ${\$$displaystyle a\in$ A$.}$로 시작하여 A {\displaystyle $\theta}$로 시작하여$$ $A{\displaystyle }$ ${\\$ -invariant$$ $p{\displaystyle {}^{}}$}$$-group을$$ 구성하는 데 사용한다$.$

실제로 사용되는 가장 간단한 신호기 펑터는 다음과 같다: ${\displaystyle \theta }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= O ${\displaystyle {p{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$( ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G_{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \theta (a)=$$O_{p'}(C_{G}(a)).$$}$

여기서 몇 마디 주의할 필요가 있다.먼저 위에서 정의한 ${\displaystyle \mathrm{as}}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle \theta$ ($a)}$이(가) 실제로 $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $A{\displaystyle {}^{}}$$}$ - invariant$$ p ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyle G}$의 하위 그룹인 데 주목하십시오. A ${\displaystystyle A}$은(아벨리안)이기$$ 때문이다$$.그러나 이 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$이(가) 균형 조건을 만족한다는$$ 것을 보여주기 위해서는 몇 가지 추가적인 가정이 필요하다.하나의 충분한 기준은 각 비식별성에 대해${\displaystyle \mathrm{for}}$ A${\displaystyle }$, ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \mathrm{그룹<img\; alt="a\; \backslash in\; A,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c63427af514d0a877ee74abad25476d84e3a8e33"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:6.46ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="156">}}$ ${\displaystyle C_{}}$ G${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle C_{G}(a)}}$을(또는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -contractulated)을$(또는$ p {\displaystystyle p$}$ -colidate$$)할 수 있다는 것이다$$.이 가정 하에서$$ 이 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$의 밸런스 조건을 검증하려면 $톰슨$의 P${\displaystyle }$× ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\time$ Q$}$ -lema로$$ 알려진 유명한 보조정리기가 필요하다.(기,이 보조정리기는 톰슨읜×B{\displaystyle}-lemma라고도 불리지만, 이 용도읜{\displaystyle}은(A)신호기펑터의 정의에 나타나는{A\displaystystyle}(와)를 혼동해서는안 된다!).

코프리미 액션

시그널라이저 펑커에 대한 보다 나은 이해를 얻기 위해서는 유한집단에 대한 다음과 같은 일반적인 사실을 아는 것이 필수적이다.

• $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) 유한 $그룹{\displaystyle }$ X${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$에 작용하는 아벨리안 비순환 그룹이 되도록$$ 하자. $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$과 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$의 순서가 비교적 프라임이라고$$ 가정하자$$.그러면

${\displaystyle X=\langle C_{X}(E_{0})\mid E_{0}\subseteq E,{\text{} 및 }}E/E_{0}{\text{}{\cyclicle}}}}}$

이 사실을 증명하기 위해, $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$ 그룹의$$ $순서$를 나누는$$ 각 prime $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대해 X ${\$$displaystyle$ $X}$ $그룹$의 E ${\\\$invariant$$ Sylow $q{\displaystyle }$ ${\displaysty q}$ -subgroup이$$ 있다는$$ 것을 보여주기 위해 슈르-Zassenhaus 정리를 사용한다.이는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -group인$$ 경우로 감소한다.그런 다음 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 순서에 따른 유도에 의한 논쟁은 X ${\displaystyle X}$이($가{\displaystyle }$) 초등 아벨리안이고 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 이해할 수 없는 행동을$$ 하는 경우로 진술을 더 줄인다$$.이로 인해 $그룹{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$/ ${\displaystyle C{}_{}{E}_{}}$ ( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle E/C_{E}(X)}$이(가) 순환하게 되고$$, 그 결과는 다음과 같다.자세한 내용은 Aschbacher(2000) 또는 Kurzweil & Stellmacher(2004) 중 하나를 참조하십시오.

이는 해결 가능한 신호기 펑터 정리의 교정 및 적용 모두에 사용된다.시작하려면 $it{\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$이(가) 완료되면$$ 위에서 정의한$$ 그룹 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$이(가) 완료된다는 주장을 빠르게 함축한다는 점에 유의하십시오.

정상완료

기사의 상단에 따르면$$, 신호기 펑터의 완성은 $G{\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$에서 정상일 가능성이 있다.여기서, 복사 행동 사실은 이 주장에 동기를 부여하는 데 사용될 것이다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$을(를) 전체 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ - signalizer$$ functor on G ${\displaysty G}$에 두십시오$$.

Let ${\displaystyle B}$ be a noncyclic subgroup of ${\displaystyle A.}$ Then the coprime action fact together with the balance condition imply that ${\displaystyle W=\langle \theta (a)\mid a\in A,a\neq 1\rangle =\langle \theta (b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle }$.

이를 보려면 ${\displaystyle \theta }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \theta (a)}$이(가) B-invariant이므로 다음 사항을 준수하십시오.

$\displaystyle \theta=\langle \theta c_{G}(b)\mid b\b\neq 1\rangele \langle \langle \langle \langle \theta (b)\mid b,b\neq 1\langle.}$

위의 평등은 복사 작용 사실을 사용하고, 격납은 균형 조건을 사용한다.이제 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$이(가) "동일성" 조건, 즉 각 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$과(와) $비식별성{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystysty a\in$ A$}$을(를$$) 만족하는 경우가 많다.

$\displaystyle \theta(a^{g})=\theta (a)^{g}\,}$

위첨자는 $g{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ g$.}$에 의한 결합을 나타낸다. 예를$$ 들어, ${\displaystyle \mapsto }$ O ${\displaystyle {p{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$( ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle a\mapsto O_{p'}(C_{G})(종종종종$ 신호기 펑터$!)})$를 매핑하면 이 조건을 만족한다.$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$theta$$}$이(가) 평형을 만족하면$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 Normalizer가 $W{\displaystyle }$$$${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle$ $W$$.}$을(를) 정규화하면, A${\displaystyle }$, ${\displaystystyle$ A$}$의 Normizer에 의해 $G{\displaystyle }$${\displaystystystystyt.$$a }($즉, W)는 $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ G$.}$에서 정상임

참조

• Aschbacher, Michael (2000), Finite Group Theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
• Bender, Helmut (1975), "Goldschmidt's 2-signalizer functor theorem", Israel Journal of Mathematics, 22 (3): 208–213, doi:10.1007/BF02761590, ISSN 0021-2172, MR 0390056
• Flavell, Paul (2007), A new proof of the Solvable Signalizer Functor Theorem (PDF), archived from the original (PDF) on 2012-04-14
• Goldschmidt, David M. (1972a), "Solvable signalizer functors on finite groups", Journal of Algebra, 21: 137–148, doi:10.1016/0021-8693(72)90040-3, ISSN 0021-8693, MR 0297861
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• Glauberman, George (1976), "On solvable signalizer functors in finite groups", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 33 (1): 1–27, doi:10.1112/plms/s3-33.1.1, ISSN 0024-6115, MR 0417284
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• McBride, Patrick Paschal (1982b), "Nonsolvable signalizer functors on finite groups", Journal of Algebra, 78 (1): 215–238, doi:10.1016/0021-8693(82)90108-9, hdl:2027.42/23876, ISSN 0021-8693