샤플리-슈빅 전력 지수

더 샤플리-슈빅 파워지수는 1954년 로이드 샤플리와 마틴 슈빅이 투표 게임에서 선수들의 파워를 측정하기 위해 공식화한 것이다.^[1]지수를 보면 겉으로 드러나지 않는 놀라운 전력분포를 드러내는 경우가 많다.

입법기관, 임원, 주주, 개인 국회의원 등 투표 시스템의 구성원을 n플레이어 게임에서 플레이어로 볼 수 있다.같은 선호를 가진 플레이어가 연합을 형성한다.법안을 통과시키거나 후보를 선출할 수 있을 정도의 표를 가진 어떤 연합을 승리라고 하고, 다른 연합을 패배라고 부른다.샤플리 가치에 근거해 샤플리와 슈빅은 연합의 힘이 단순히 그 크기에 비례하는 것이 아니라고 결론지었다.

연정(또는 선수)의 힘은 연정이 결정 투표, 즉 통과 또는 실패를 먼저 보장하는 투표에서 가능한 투표 순서의 일부로 측정된다.^[2]

전력 지수는 0과 1 사이에 정규화된다.권력이 0이면 경기 결과에 연정이 전혀 영향을 미치지 않는다는 뜻이고, 1이면 연정이 투표로 승부를 결정한다는 뜻이다.또한 모든 선수들의 파워의 합은 항상 1과 같다.

전력 지수를 계산하기 위한 알고리즘이 있다. 예를 들어 동적 프로그래밍 기법, 열거 방법 및 몬테카를로 방법 등이 있다.^[3]

샤플리와 슈빅이 논문을 발표한 이후, 샤플리-을 수학적으로 연구하는 데 몇 가지 자명한 접근법이 사용되어 왔다.익명성 공리, null 플레이어 공리, 효율성 공리, 전송 공리가 가장 널리 사용되는 슈빅 전력 지수.그러나 이러한 것들은 특히 이전 공리(transfer axiom)를 비판하여 다른 공리들이 대체 공리로 제안되게 되었다.^[4]

예

A, B, C, D로 구성된 기구에서 다수결로 결정되며 각각 3표, 2표, 1표를 가지고 있다고 가정합시다.다수결 문턱은 4이다.4개! = 24개 회원에게 투표할 수 있는 명령이 있다.

ABCD	ABC	ACBD	ACDB	ADBC	ADCB
BACD	BADC	BCAD	BCDA	BDAC	BDCA
CABD	CADB	CBAD	CBDA	CDAB	CDBA
DABC	DACB	DBAC	DBCA	디카브	디시바

각 투표 순서에 대해 피벗 유권자(누적 총계를 4개 이상으로 처음 올리는 유권자)는 대담하다.여기서 A는 24개의 시퀀스 중 12개의 핵심이다.따라서 A는 1/2의 검정력 지수를 가지고 있다.다른 것들은 1/6의 검정력 지수를 가지고 있다.신기하게도 B는 C와 D보다 더 큰 힘을 가지고 있지 않다.다른 사람들이 A에 대항하지 않는 한 A의 표로 결과가 결정된다고 생각하면 B, C, D가 동일한 역할을 한다는 것이 명백해진다.이것은 전력 지수에 반영된다.

$n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$ 멤버가$$ 있는 또 다른 다수결 투표 기구에서 하나의 강력한 $멤버$가 k ${\displaystyle k}$표를$$ 가지고 있고 나머지 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$명의$$ 멤버가 각각 1표를 가지고 있다고 가정하자.이 경우 강력한 멤버는 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{kn}{}}}$+ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{}}}$ ${\$의 전원 인덱스를 가지고 있다($$> + 1 ${\displaystyle k>n+1},$이 경우 전원 인덱스는 $단순히{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle$ 1$}).$이것은 강한 구성원이 명령하는 표의 분율 이상이라는 점에 유의하십시오.실제로 이 강력한 멤버는 득표율$$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{kn}{}}}$+ k ${\$에 불과하다.예를 들어, 의결권 주식 1000주를 보유하고 있는 회사를 생각해 보자.대주주 1명이 400주를 보유하고 있고, 다른 주주 600명이 각각 1주를 보유하고 있다.이는 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 600}$ ${\displaystyle n=600}$ 및$$ $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 400}$ ${\displaystyle k=400}$에 해당한다$.$이 경우 대주주가 주식의 40%만 보유하고 있음에도 불구하고 대주주의 전력지수는 약 0.666(66.6%)이다.나머지 600개 주주는 전력지수가 0.0006(또는 0.06%) 미만이다.따라서 대주주는 서로 1000배 이상의 의결권을 갖고 있는 반면 400배 이상의 주식만 보유하고 있다.^[1]

위의 내용은 다음과 같이 수학적으로 도출할 수 있다.$t{\displaystyle (n}$, ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle =n{\displaystyle \frac{}{}}}$+ k ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \rfloor }}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\디스플레이스타일 t(n,k)=\좌측\lfloor{dfrac{n+k}{2}}\오른쪽\rfloor +1}$표$$ 이상 찬성표를 던진 경우 과반수에 도달한다는 점에 유의하십시오.$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge n}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\geq n+1$}인 경우$,$ 이 $경우{\displaystyle }$ k${\displaystyle t}$ t ${\displaystyle (n}$ ,${\displaystyle k}$ $){\displaystyle$k\$geq$ t$(n,k)}($즉, 강한 구성원의 표만 다수 임계값을 충족하므로 강한 구성원이 모든 힘을 확실히 보유한다.$이제{\displaystyle }$ k ${\displaystyle \le \mathrm{n}}$+ 1 ${\displaystyle k\leq n+1}$과 임의로 선택한 투표 순서에서 강 멤버가 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ th$$ 멤버로 투표한다고 가정합시다.즉, 첫 ${\displaystyle \mathrm{r}}$ -${\displaystyle }$1 ${\displaystyle r-1}$ 멤버가$$$$ 투표한 후 ${\displaystyle \mathrm{r}}$- 1 ${\displaystyle$ $r-1$$}$이 찬성표를 던진 반면, 첫 $r{\displaystyle }$ ${\displaysty$ r$}$ 멤버가 투표한 후에는 r${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle k}$ ${\displaysty r-1+k}$이 찬성표를 던진 것이다.전자가 과반수 문턱을 넘지 못하는 반면 후자가 과반수 문턱을 넘지 못하면 강성 의원의 표심이 중추적이다.즉, r− 1<>t(n, km그리고 4.9초 만){\displaystyle r-1<, t(n,k)}, r− 1+k≥ 몸 상태를(n, km그리고 4.9초 만){\displaystyle r-1+k\geq t(n,k)} 할 수 있습니다. 다시 쓰려 이 조건으로 t(n, km그리고 4.9초 만)+1− k≤ r<>는 과목은(n, km그리고 4.9초 만)+1{\displaystyle t(n,k)+1-k\leq r<, t(n,k)+1}니다 우리의 조건 k≤ n+1{\displaystyle k\leq n+1}ensure.s는${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t(n}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$+ 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{k}}$ $(\displaystyle 1\leq t(n,$${\displaystyle k}$$)+1-k}$ $및{\displaystyle }$ t$$${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, k${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le n}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle t(n,k)+1\leq n+2}($즉, $r{\displaystyle }$ ${\displaystystyleq r}$의 모든 허용 값이 가능하다$$).Thus, the strong member is the pivotal voter if ${\displaystyle r}$ takes on one of the ${\displaystyle k}$ values of ${\displaystyle t(n,k)+1-k}$ up to but not including ${\displaystyle t(n,k)+1}$. Since each of the ${\displaystyle n+1}$ possible values of ${\displ$$aystyle r}$은 동일한 수의 투표 순서와 연관되어 있으며, 이는 강력한 구성원이 투표 순서의 일부$$ $kn{\displaystyle {\displaystyle \frac{}{}}}$+${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{}}}$ {\$displaystyle$ {\$dfrac${k}{$n+1}}$에서 중추적인 유권자임을 의미한다.즉, 강재의 전력지수는 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{kn}{}}}$+ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{}}}$ ${\$}이다$.$

적용들

이 구간은 확장이 필요하다.덧대면 도움이 된다.(2019년 2월)

이 지수는 유럽연합(EU) 이사회의 투표 분석에 적용됐다.^[5]

이 지수는 유엔 안전보장이사회 표결 분석에 적용됐다.유엔 안전보장이사회는 15개 이사국으로 구성되며, 이 중 5개(미국, 러시아, 중국, 프랑스, 영국)가 이사회의 상임이사국이다.이사회에서 동의안이 통과되려면 모든 상임이사국의 지원과 4명의 비상임이사국의 지원이 필요하다.이는 상임이사국 5명이 각각 8표, 나머지 10명이 1표, 정원이 44표인 투표 기구에 해당하는 것으로, 총 50표이기 때문에 상임이사국 5명 전원과 4표가 있어야 동의안이 통과된다.비상임이사국이 투표할 9번째 지위에 있고 5개의 상임이사국 모두가 이미 투표한 경우에만 순열에서 중추적인 역할을 한다는 점에 유의한다.우리가 비상임이사국이 중추적인 순열을 가졌다고 가정하자.그리고 이 순열에서 이 중추적인 멤버보다 먼저 와야 하는 세 명의 비상임이사국과 다섯 명의 상임이사국이 있다.따라서 이러한 구성원을 선택하는 방법에는${\displaystyle }$(${\displaystyle 9\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{}}{}}$ $){\$}}이$$ 있으며, 따라서 8! ×${\displaystyle }$( ${\displaystyle 9\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{3}{}}$) ${\$}}}}}}}이 중추적 유권자 이전의 구성원의 서로 다른$$ 순서가 있다.그러면 중추적인 유권자의 뒤에 남은 유권자를 선택하는 6가지 방법이 있을 것이다.총 15명의 유권자가 15! 순열이 있기 때문에 비상임이사국의 샤플리-슈빅 파워 지수는 다음과 같다: $({\displaystyle \frac{\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{}}{}}$ 3${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{8!)}{}}$($6$ (${\displaystyle \frac{6}{}}$!) (6!){15${\displaystyle \frac{!}{}}$ =${\displaystyle \frac{}{}4\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2145}{}}$ ${\$frac $스타일 {\frac {{\binom{9}{3}}}}}}}(8!){15!$$}}}={\frac{4}{2145$ 따라서 영구 멤버의 전원 지수는 ${\displaystyle \frac{421}{}}$ ${\$ 입니다$.$

참고 항목

• 샤플리 값
• 화살표 정리
• 반자프 전력 지수

참조

외부 링크

• 온라인 전력 지수 계산기(마츠이 도모미)
• 투표 전력 분석을 위한 컴퓨터 알고리즘 투표 전력 분석을 위한 웹 기반 알고리즘
• Power Index Calculator 온라인에서 (복수) 가중 투표 게임의 다양한 지수를 계산한다.몇 가지 예를 포함한다.
• 파이톤 및 R(Frank Huettner)을 사용한 컴퓨팅 샤플리-슈빅 파워 인덱스 및 Banzhaf 파워 인덱스