구면 조화

수학과 물리학에서 구면 조화는 구의 표면에 정의된 특수한 함수입니다.그들은 종종 많은 과학 분야에서 편미분 방정식을 푸는 데 사용됩니다.

구면 조화는 완전한 직교 함수 집합을 형성하므로, 구면에 정의된 각 함수는 구면 조화의 합으로 기록될 수 있습니다.이는 푸리에 급수를 통해 원형 함수(사인 및 코사인)의 합으로 표현할 수 있는 원에 정의된 주기 함수와 유사합니다.푸리에 시리즈의 사인과 코사인처럼, 구면 고조파는 오른쪽 그림의 함수 행에서 볼 수 있듯이 (공간적) 각 주파수로 구성될 수 있습니다.또한 구형 고조파는 3차원 회전 그룹인 SO(3)를 축소할 수 없는 표현을 위한 기본 함수이므로 SO(3)의 그룹 이론적 논의에서 중심적인 역할을 합니다.

구면 조화는 구면 영역에서 라플라스 방정식을 푸는 것에서 비롯됩니다.라플라스 방정식의 해가 되는 함수를 하모닉스라고 합니다.구면 조화는 이름에도 불구하고 데카르트 좌표에서 가장 간단한 형태를 취하며, 여기서 라플라스 방정식을 따르는 ( $(x,y,z)$ z) $(x,y,z)$ {\ $displaystyle(x,y,z)}$ 의 $(x,y,z)$ $(x,y,z)$ 차수 $\ell$ {\ $displaystyle$ \ $ell}$ 의 $\ell$ 균질 다항식으로 정의될 수 있습니다.구면좌표와의 연결은 동차성을 사용하여 위의 다항식의 차수 $\ell$ {\ $displaystyle \ell$ 에서 반경 $r^{\ell }$ r $r^{\ell }$ {\ $displaystyle$ r $^{\ell}}$ 의 $r^\ell$ 인자를 추출하면 즉시 발생합니다. 나머지 인자는 구면각좌표 $\theta$ $\theta$ 의 $\theta$ 함수로 간주할 수 있습니다.d $\varphi$ φ {\ $displaystyle \varphi}$ 만 해당하거나 이 각도로 지정된 방향 단위 $\mathbf {r}$ r $\mathbf {r}$ {\ $displaystyle \mathbf {r}}$ 과 동등합니다.이 설정에서, 이들은 3차원에서 라플라스 방정식에 대한 해의 집합의 각도 부분으로 볼 수 있으며, 이 관점은 종종 대안적인 정의로 사용됩니다.그러나 구면 조화는 구면 위의 표준 원환 메트릭에 대한 라플라스-벨트라미 연산자에 대해 조화를 이루는 구면 위의 함수가 아님을 주목하십시오. 조화 함수가 최대 원리를 만족하므로 구면 위의 이러한 의미의 유일한 조화 함수는 상수입니다.구면 조화는 구면 위의 함수로서 라플라스-벨트라미 연산자의 고유 함수입니다(아래의 고차원 섹션 참조).

Y ℓ $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ m ( $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ θ, $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ φ ) $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ {\ $displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi$ )} $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })$ Y ℓ $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })$ m ( $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })$ ) $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })$ {\ $displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r$ 인 구체적인 구면 조화는 1782년 피에르 시몽 드 라플라스에 의해 처음 소개되었기 때문에 라플라스의 구면 조화로 알려져 있습니다.이 함수들은 직교 시스템을 형성하며, 따라서 위에서 언급한 것처럼 구면에서 일반 함수를 확장하는 데 기본이 됩니다.

구면 조화는 다극 정전기장과 전자기장, 전자 구성, 중력장, 지오이드, 행성체와 별의 자기장, 우주 마이크로파 배경 복사의 표현을 포함한 많은 이론적이고 실제적인 응용에서 중요합니다.3D 컴퓨터 그래픽스에서 구면 고조파는 간접 조명(주변 폐색, 전역 조명, 사전 계산된 복사 전달 등)과 3D 형상의 모델링을 포함한 다양한 주제에서 역할을 합니다.

역사

구면 조화는 뉴턴의 만유인력 법칙의 뉴턴 퍼텐셜과 관련하여 3차원으로 처음 연구되었습니다.1782년, 피에르-시몽 드 라플라스는 그의 메카니크 셀레스테에서 $점$ x에 위치한 점 $질량$ m의 집합과 관련된 점 $x$ 에서 중력 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ R $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ → $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle \mathbb {R}^{3}\to \mathbb {R}$ 가 다음과 같이 주어진다고 결정했습니다.

V(\mathbf {x})=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{ \mathbf {x} _{i}-\mathbf {x}}}

위의 합에서 각 항은 점 질량에 대한 개개의 뉴턴 퍼텐셜입니다.그 직전에, 아드리앙 마리 레전드르는 r= $x$ $와$ r = $x$ 의 $힘$ 으로 뉴턴 퍼텐셜의 팽창을 조사했습니다. 그는 $만약$ r ≤ $r이면$ 다음을 발견했습니다.

{\frac {1}{ \mathbf {x} {{1}-\mathbf {x}}}=P_{0}(\cos \cos ){\frac {1}{r_{1}}+P_{1}(\cos \cos ){\frac {r}{r_{1}^{2}}+P_{2}(\cos \cos ){\codots

여기서 $θ$ 는 $벡터$ $x$ 와₁ x 사이의 각도입니다. $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ : $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ [ - 1 $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ ] → $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ 는 Legendre 다항식이며, 구면 조화의 특수한 경우로 유도할 수 있습니다.그 후, 1782년 그의 회고록에서 $라플라스$ 는 $x$ 와₁ x $사이$ 의 각도 θ를 나타내기 위해 구면 좌표를 사용하여 이 계수들을 조사했습니다. (자세한 분석은 물리학의 Applications of Legendre 다항식을 참조하십시오.

1867년 윌리엄 톰슨(켈빈 경)과 피터 거스리 테이트(Peter Guthrie Tait)는 그들의 자연철학 논문에서 고체 구 모양의 조화를 소개했고, 또한 이 기능들에 대해 "구 모양의 조화"라는 이름을 처음으로 소개했습니다.고체 조화는 라플라스 방정식의 동차 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 3 → $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to$ \ $mathbb$ {R $}$ 였습니다.

{\frac {\display^{2}u}{\displayx^{2}}+{\frac {\display^{2}u}{\displaystyle {\display^{2}}+{\frac {\display^{2}u}{\displaystyle z^{2}}=0.

Thomson과 Tait는 라플라스의 방정식을 구면좌표로 분석하여 라플라스의 구면조화를 회복하였습니다.(아래 "하모닉 다항식 표현" 부분 참조)"라플라스의 계수"라는 용어는 윌리엄 휘웰이 이러한 선을 따라 도입된 해의 특정 시스템을 설명하기 위해 사용한 반면, 다른 것들은 라플라스와 레전드르에 의해 적절하게 도입된 구역 구면 조화에 대한 이 명칭을 유보했습니다.

19세기 푸리에 급수의 발전은 열 방정식과 파동 방정식의 해와 같은 직사각형 영역의 다양한 물리적 문제의 해결을 가능하게 했습니다.이는 삼각 함수 시리즈의 함수 확장을 통해 달성할 수 있습니다.푸리에 급수의 삼각 함수는 문자열의 기본 진동 모드를 나타내는 반면, 구형 고조파는 거의 같은 방식으로 구의 기본 진동 모드를 나타냅니다.푸리에 급수 이론의 많은 측면은 삼각 함수가 아닌 구면 조화에서 확장을 취함으로써 일반화될 수 있습니다.또한 삼각 함수를 복소 지수로 동등하게 쓸 수 있는 방법과 유사하게 구면 조화도 복소 값 함수와 동등한 형태를 가지고 있습니다.이것은 Laplace와 Legendre에 의해 원래 연구된 천체 역학과 같은 구면 대칭성을 갖는 문제에 도움이 되었습니다.

물리학에서 이미 구면 조화의 보급은 양자역학의 20세기 탄생에서 그 중요성을 위한 발판을 마련했습니다.(복소값) 구면 $S^{2}\to \mathbb {C}$ S 2 → $S^{2}\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ S $^{2}\to \mathbb {C}}$ 는 궤도 각운동량 연산자의 제곱의 고유 함수입니다.

-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla,

따라서 이들은 원자 궤도의 서로 다른 양자화된 배열을 나타냅니다.

라플라스의 구면 조화

실제 구면 $Y_{\ell m}$ Y ℓ m ${\displaystyle Y_{\ell$ m $Y_{\ell m}$ 의 대안 그림입니다.

라플라스 방정식은 $스칼라장$ f의 라플라시안이 0이라고 가정합니다. (여기서 스칼라장은 복잡하다고 이해됩니다. 즉, (스칼라) $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ 에 대응하는 것으로 이해됩니다: $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ 3 → $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ f $:\mathbb {R}$ ^{ $3}\to \mathbb {C}.)$ 구면 좌표에서 이것은 다음과 같습니다.

{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\fac }{\fac r}}\left(r^{2}{\fac {\fac {\fac}{\fac r}\sin \theta}}}}\left(\sin \fac {\fac {\fac {\fac {\fac}{\fac \theta }}\left(\sin \fac {\fac {\fac {2}}\sin ^{2}\theta }}}{\frac {\fac ^{2}}{\fac \varphi ^{2}}}=0}{\frac {\fac {\fac {\fac {\fac {\fac {\fac \varphi ^{2}}}\left).

f $(r, θ$ , $θ$ ) = $R (r)$ $Y (θ, θ$ ) $형태$ 의 해를 구하는 문제를 생각해보세요.변수를 분리함으로써 라플라스 방정식을 부과함으로써 두 개의 미분 방정식이 생성됩니다.

{\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dr}}\right)=\lambda,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta}}{\frac {\partial \theta}}}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta}}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta}}{\frac {\partial ^{2}}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\continues.

두 번째 방정식은 Y가 Y

(

φ, θ)

=

φ

(

φ

)

θ(θ

)

φ(θ)의

형태

를 갖는다는

가정

하에서 단순화될 수 있습니다.두 번째 방정식에 변수 분리를 다시 적용하면 미분 방정식의 쌍에 자리를 내줍니다.

{\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}=-m^{2}

\displaystyle \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta}{\Theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\세타 }{d\theta}}\right)=m^{2

$몇$ m 정도는선험적으로, $m$ 은 복소수이지만, $Δ$ 는 주기가 $2π$ 를 균등하게 나누는 주기 함수여야 하기 $때문$ 에, m은 반드시 정수이고 $Δ$ 는 복소수 $지수 \pm imφ$ e의 선형 조합입니다. $해함수$ Y $(λ, λ$ )는 구의 극에서 규칙적이며, 여기서 $λ$ = $0,$ $λ$ .정의역의 경계점에서 두 번째 방정식의 해 $Ω$ 에 이 규칙성을 부여하는 것은 $λ$ m인 일부 음이 아닌 정수에 대해 매개 변수 $λ$ 가 $λ$ = $λ$ ( $λ$ + $1)$ 의 형태가 되도록 하는 스터름-리오빌 문제입니다. 이는 궤도 각운동량의 관점에서도 아래에 설명됩니다.또한 $변수$ t = $cos$ θ의 변화는 이 방정식을 관련된 Legendre $다항식$ P $(cos$ θ)의 배수인 Legendre 방정식으로 변환합니다. 마지막으로 R에 $대한$ 방정식은 R $(r)$ = $A$ + $Br$ $형태$ 의 해를 가지며, 해가 R $힘$ B = $0$ 전체에 $걸쳐$ 규칙적이어야 합니다.

여기서 해는 특수한 $형태$ 인 Y $($ θ $,$ φ) = Δ $($ θ $)$ Δ(φ $)$ 를 갖는다고 가정했습니다.주어진 $π$ 값에 대하여, $-π$ ≤ $m$ ≤ $π$ 를 갖는 각각의 $정수$ m에 대하여 하나씩, 이 형태의 $2π$ + $1개$ 의 독립적인 해가 있습니다.이 $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ Y ℓ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ m : $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ 2 → $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle Y_{\ell }^{m :$ $S^{2}\to \mathbb {C}}$ 는 $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ 복소수 지수 및 관련 레전드르 다항식으로 표현되는 삼각 함수의 곱입니다.

Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta})

어느것이 충족되는

r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi)

$Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ 서 Y ℓ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ m : $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ 2 → $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle Y_{\ell }^{m}:$ $S^{2}\to \mathbb {C}}$ 를 $도수$ $ℓ$ , 차수 m의 구형 고조파 함수라고 $P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ $P$ $ℓ$ $P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ m : $P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ [ - $P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ 1, 1 ] $→$ R {\ $displaystyle P_{\$ ell $}^{m}[-1$ ,1 $]\to$ \mathbb {R $}}$ 는 연관된 Legendre 다항식이고, $N$ 은 정규화 상수이며, θ와 θ는 각각 위도와 경도를 나타냅니다.특히, 북극에서 0, 적도에서 $θ$ / $2$ , 남극에서 $θ$ , 경도 $θ$ 또는 방위각은 0 $\leq θ$ < 2 $θ인 모든$ $값$ 을 가정할 수 있습니다.고정된 $정수$ ℓ에 대하여, 모든 해 $Y (θ,$ θ), $Y:S^{2}\to \mathbb {C}$ : S $Y:S^{2}\to \mathbb {C}$ → $Y:S^{2}\to \mathbb {C}$ C {\ $displaystyle$ Y : $고유값$ 문제의 S $^{2}\to \mathbb {C$

r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y

는 Y ℓ

Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}

m :

Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}

2 →

Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}

Y_{\ell }^{m

의 선형 조합입니다.S

^{2}\to \mathbb {C

사실, 임의의 그러한 해에

대하여

,

r

Y

(θ, θ

)는 조화인 동차

\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}

\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}

3

→

\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}

\mathbb {R}^{3}\to \mathbb {C

의 구면 좌표에서의 표현이고, 따라서 차원을 세는 것은 그러한 다항식이

2π

+ 1개의 일차 독립적인 것을

보여줍니다

.

$f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ 에 중심을 둔 공에서 $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ 라플라스 방정식 $\Delta f=0$ = $\Delta f=0$ 0 {\ $displaystyle$ f = 0 {\ $delta$ f → $\Delta f=0$ 0}에 대한 $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ f : $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ 3 $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ display C {\displaystyle $f :\mathbb {R}$ ^{ $3}\to$ \mathbb ${C}$ 는 구면 고조파 $함수들$ 의 선형 조합이고,

f(r,\theta,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }^{m}^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi),

여기서 $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$ ℓ m ∈ C $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$ {\ $displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}}$ 는 상수이고 인자 $r$ Y는 (정규) 입체 조화 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ → $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle \mathbb {R}^{3}\to \mathbb {C$ 로 알려져 있습니다. 이러한 확장은 공에서 유효합니다.

r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty} f_{\ell }^{m}^{{1}/{\ell }}}}

r $r>R$ > $r>R$ ${\displaystyle$ r > $R$ 의 경우 r ${\$ $displaystyle$ r $}$ 의 음의 거듭제곱을 갖는 입체 조화(불규칙 입체 조화 $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C}$ 3 $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C}$ {0 $}$ → C {\displaystyle \ $mathbb {R}^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C$ 가 대신 선택됩니다.이 경우 위에서 사용한 테일러 급수( $r=0$ = $r=0$ {\ $displaystyle$ r = $0$ 대신 로랑 급수에서 알려진 영역의 해( $r=\infty$ = ${\displaystyle$ r =\ $infty$ })를 확장하여 항을 일치시키고 \ $mathbb {}$ 에서 급수 확장 $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$ f ℓ m ∈ C ${\displaystyle f_{\ell }^{m}\$ infty $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$ 를 찾아야 합니다.

궤도 각운동량

양자역학에서 라플라스의 구형 조화는 궤도 각운동량의^[5] 관점에서 이해됩니다.

{\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla}) = L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .

π

는 양자역학에서 일반적인 개념입니다.

π

=

1인

단위로 작업하는 것이 편리합니다.구면 조화는 궤도 각운동량의 제곱의 고유 함수입니다.

{\display{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\displayr}}+1\right)r{\frac {\displayr}{\display{aligned}}\\frac {1}{\displayr}{\display{aligned}{\display{aligned}\mathbf {L}{\displayr}{\display{aligned}\mathbf {L}\displaystyle {\display{aligned}\mathbf {L}^{2}\nabla ^{2}}}{\displayf {\display{aligned}}{\displayf {\displayr}}{\displayf {\display{align}}{\displayf {\displayf {\display{align}}{\displayf {\display{align}}{\displayf {\displayf {\displayf {\display{2}}}\displaystyle {\display{\dis\end{aligned}

라플라스의 구면 조화는 궤도 각운동량의 제곱과 방위축을 중심으로 한 회전 발생기의 결합 고유 함수입니다.

{\displaystyle{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\laude y}}-y{\frac {\laude x}}\right)\&=-i{\frac {\laude x}}{\laude \varphi}}.\end{aligned}}

이 연산자들은 R:에³ 대한 가중치 함수로서 정규 분포와 관련하여 제곱 적분 가능한 함수 f의 가중치 힐베르트 공간에서 통근하고 조밀하게 정의된 자기 인접 연산자입니다.

{\frac {1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\mathbb {R}^{3}}f(x)^{2}e^{- x ^{2}/2}\,dx<\infty.

또한² L은 양의 연산자입니다.

$만약$ Y가 $L$ 과_z L의 $합동 2$ 고유 함수라면, 정의에 의하여

{\begin{aligned}\mathbf {L}^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}

몇개의 실수 m과 1/2에 대해서.여기서 m은 실제로 정수여야 합니다. 왜냐하면 Y는 2π를 균등하게 나누는 주기를 가지는 좌표 π에서 주기적이어야 하기 때문입니다.게다가 그 이후로

\mathbf {L}^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}

그리고 L, L, L 각각은 자기접합이고, 그 다음은 λ

≥ m입니다.

이 공동 공간을 $E$ 로_λ,m 표시하고 상승 및 하강 연산자를 다음과 같이 정의합니다.

{\displaystyle{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}

그 +

L

과₋ L은 L과

함께 2

통근하고,

L -

,

L

에₊_z 의해 생성된 리 대수는 차수 2,

{\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )

(C

)

{\

displaystyle

{\

mathfrak {sl}_{2}(\mathbb

{C

{\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )

의 특수 선형 리 대수이며, 이는 통근 관계를 갖습니다.

[L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}

따라서

L :

E

→

E

("승강 연산자"), L :

E

→ E ("승강 연산자").

특히,

부등식 λ

λ

m이 각각의 비중합 공간에 유지되어야 하기 때문에 L :

E

→

E

는 충분히 큰 k에 대해 0이어야 합니다.Y ∈

E

를 영이 아닌 이음 고유함수라

하고

, k를 다음과 같은 최소 정수라

하자

.

L_{+}^{k}Y=0.

그럼 그때부터

L_{-}L_{+}=\mathbf {L}^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}

그 뒤를 잇습니다

0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k)Y.

따라서 양의 정수 ℓ ℓ =

m

+ k에 대하여 λ = ℓ ( 1 + 1

).

앞에서 설명한 내용은 모두 구면 좌표 표현인 $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ θ $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ , $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ l m $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ = $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ m (θ $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ θ $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ {\ $displaystyle \theta,\varphi$ lm $\rangle$ = $Y_{l}^{m}(\theta,\varphi$ )}에서 계산되었지만 완전한 정규 구면 케트 기반에서 더 추상적으로 표현될 수 있습니다.

조화 다항식 표현

구면 조화는 특정 다항식 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ R 3 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ → $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ ${\displaystyle$ \ $mathbb {R}$ ^{ $3}\to$ \ $mathbb$ {C $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ 의 단위 구에 대한 제한으로 표현될 수 있습니다. 구체적으로, 우리는 (복소 값의) $p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ $p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ p : $p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ $p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ → $p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ C {\ $displaystyle$ p $:\mathbb$ {R} $^{3}\to$ \ $mathbb$ {C $}$ 가 차수 $\ell$ ℓ {\ $displaystyle \ell }$ 의 동형이라고 말합니다.

p(\mathbf {x} )=\mathbf ^{\ell }p(\mathbf {x} )

모든 실수 λ ∈

\lambda \in \mathbb {R}

∈ R

{\displaystyle \lambda

\in

\mathbb

{

x\in \mathbb {R} ^{3}

}}

x\in \mathbb {R} ^{3}

모든

x

x\in \mathbb {R} ^{3}

display R 3 {\

displaystyle x

\in

\mathbb {R

^{3

}.

다음과 같은 경우 p

{\

displaystyle

p

}

는 조화라고 합니다.

\Delta p=0,

여기서

\Delta

는

\Delta

라플라시안입니다.그런 다음

\ell

ℓ {\displaystyle \

ell

에 대해 다음을 정의합니다.

\mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonicals}}}\mathbb {R}^{3}\to \mathbb {C} {\text{degree의 동차인}}\ell \right\}

예를 들어, ℓ = $\ell =1$ {\ $displaystyle \ell$ = $1$ 일 때, A $\mathbf {A} _{1}$ {\ $displaystyle \mathbf {A}$ _ ${1}$ 은 모든 선형 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ 3 → $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{3}\to \mathbb {C$ 의 3차원 공간일 뿐입니다.한편, ℓ $\ell =2$ = $\ell =2$ 2 {\ $displaystyle$ \ $ell$ = 2 $\ell =2$ 일 때, 우리는 5차원 공간을 갖습니다.

{\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,x_{1}^{2},\,x_{3}^{2}}.

$\ell$ 의 $\ell$ ℓ ${\displaystyle$ ell}에 대하여, 정도 ℓ ${\$ $displaystyle \mathbf {H} _{\ell}}$ 의 $\mathbf {H} _{\ell }$ 조화의 공간 $\mathbf {H} _{\ell }$ H ℓ {\ $displaystyle$ $\mathbf {A} _{\ell }$ \mathbf {H} _{\ell $}}$ 는 $S^{2}$ A $\mathbf {A} _{\ell }$ ℓ ${\displaystyle$ \ $mathbf$ { $A}$ _ ${\ell$ 의 구 $S2$ {\displaystyle S $^{2}$ 에 대한 제한 공간일 뿐입니다. 서론에서 제시한 바와 같이, 이 관점은 아마도 오리일 것입니다."고조파"라는 용어의 진(즉, 고조파 함수의 구에 대한 제한).

예를 들어, $c\in \mathbb {C}$ 의 c ∈ $c\in \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ c $\in \mathbb {C}$ 에 대해 공식

p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell}

도메인 및 코드

\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}

\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}

3 →

\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}

{\

displaystyle

\

ell

}

로 \

\ell

\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}

{R}

\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}

^{

3}\

to \

mathbb {C

의 동차 다항식을 정의하며, 이 다항식은 x 3 {\displaystyle

x_{3

독립적입니다. 이 다항식은 조화로운 것으로 쉽게 볼 수 있습니다.구면좌표

(r,\theta ,\varphi )

,

(r,\theta ,\varphi )

)

{\displaystyle

p

}

를 {\displaystyle

(r,\theta,\varphi

)}로 쓴 다음 r =

r=1

{\

displaystyle

r=

1

로

r=1

하면 다음을 얻을 수 있습니다.

p(\theta,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )^{\ell }

로 다시 쓸 수 있는

p(\theta,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }

연관된 Legendre

P_{\ell }^{\ell }

P ℓ

{\displaystyle

P_

{\ell }^{\ell

P_{\ell }^{\ell }

에 대한 공식을 사용한 후, 우리는 이것을 구면

Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).

Y ℓ

Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).

ℓ (

Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).

θ

Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).

φ )에 대한 공식으로 인식할 수 있습니다

.

{\

displaystyle Y_

{\ell }^{\

ell }(\theta

,\

varphi).}

(구면 조화의 특수한 경우 아래 절을 참조하십시오.)

관습

직교성 및 정규화

라플라스 구면 조화 $S^{2}\to \mathbb {C}$ $S^{2}\to \mathbb {C}$ 2 → $S^{2}\to \mathbb {C}$ ${\displaystyle$ S $^{2}\to \mathbb {C$ 에 대해 여러 가지 다른 정규화가 공통적으로 사용됩니다. 섹션 전체에서, 우리는 $m>0$ m > $m>0$ {\ $displaystyle$ m $>0}$ 을(관련된 레전드 다항식 참조)하는 표준 규약을 사용합니다.

P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell}^{m

로드리게스의 공식에 의해 주어진 자연적인 정규화입니다.

음향학에서 ^[8]라플라스 구면 고조파는 일반적으로 다음과 같이 정의됩니다. (이것이 이 기사에서 사용되는 규약입니다.)

Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}},P_{\ell }^{m}(\cos {\theta})\,e^{im\varphi}

양자역학에 ^[9]^[10]있는 동안:

Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}},P_{\ell }^{m}(\cos {\theta})\,e^{im\varphi}

$P_{\ell }^{m}$ 서 P ℓ m $P_{\ell }^{m}$ {\ $displaystyle P_{\ell }^{m}$ 는 콘돈이 없는 관련 레전드르 다항식입니다.단리 위상(위상을 두 번 세지 않도록 하기 위한 것).

두 정의 모두에서 구형 고조파는 수직입니다.

\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\nomega _{\ell \ell '}\,\nomega _{mm}}

여기

서 δ는 크로네커 삼각주이고

D

ω =

sin

(θ

)

dφ dθ입니다.이 정규화는 확률이 정규화되도록 보장하기 때문에 양자역학에서 사용됩니다. 즉,

\int { Y_{\ell }^{m}^{2}d\Omega }= 1.

측지학^[11] 및 스펙트럼 분석 사용 분야

Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )={\sqrt {(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}},P_{\ell }^{m}(\cos {\theta})\,e^{im\varphi}

유닛 파워를 가지고 있는.

{\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\nons _{\ell \ell '}\,\nons _{mm}}

이와^[11] 대조적으로 자기학계는 슈미트 반정규화 고조파를 사용합니다.

Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta})\,e^{im\varphi}

정상화된 상태인

\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\nonse _{\ell \ell '}\,\nonse _{mm}}

양자역학에서 이러한 정규화는 때때로 사용되며, 줄리오 라카의 이름을 따서 라카의 정규화라고 명명됩니다.

위의 정규화된 구형 고조파 함수들은 모두 다음을 만족함을 알 수 있습니다.

Y_{\ell }^{m}^{*}(\theta,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta,\varphi),

여기서 위첨자 $*$ 는 복소수 켤레를 나타냅니다.또는 이 방정식은 구형 고조파 함수와 위그너 D-매트릭스의 관계를 따릅니다.

콘돈-쇼틀리 단계

구면 고조파 함수의 정의와 혼동되는 한 가지 원인은 흔히 콘돈이라고 불리는 $(-1)^{m}$ $(-1)^{m}$ {\ $displaystyle$ (- $1)^{m$ 의 $(-1)^{m}$ 위상 계수에 관한 것입니다.양자역학 문헌에서 짧은 위상.양자역학계에서는 이 위상인자를 관련된 레전드르 다항식의 정의에 포함시키거나 구형 고조파 함수의 정의에 추가하는 것이 일반적입니다.Condon을 사용할 필요가 없습니다.구형 고조파 함수의 정의에서 짧은 위상이지만, 그것을 포함하면 일부 양자 역학적 연산, 특히 상승 및 하강 연산자의 적용을 단순화할 수 있습니다.측지계와^[12] 자기계는 콘돈을 포함하지 않습니다.구형 고조파 함수의 정의 또는 관련된 Legendre ^[13]다항식의 정의에서 Shortley 위상 계수.

실물형

구면 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ 의 실제 기저 Y ℓ $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ m : S $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ → $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ Y_ ${\ell$ m :S $^{2}\to \mathbb {R}}$ 은(는) 복잡한 $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ Y $ℓ$ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ m : $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ 2 $→$ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ Y_ ${\ell }^{m}$ 로 정의할 수 $있습니다$ . $설정$ 에 의한 S $^{2}\to \mathbb {C$

{\displaystyle{aligned}Y_{\ell m}&={\ncase}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\m<0\\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\m=0\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\m>0.\end{case}}\&={\dfrac {i}{\sqrt {2}}\left(Y_{\ell }^{- m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m }\right)&{\text{if}}\m<0\\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\m=0\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}\left(Y_{\ell }^{- m }+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m }\right)&{\text{if}}\m>0.\end{case}}\&={\text{case}{\sqrt{2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell}^{m}}]&{\text{if}}\m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\m=0\{\sqrt{2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}]&{\text{if}}\m>0.\end{case}}\end{aligned}}

콘돈-여기서는 일관성을 위해 쇼트리 위상 규약을 사용합니다.복소 구면

Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}

Y ℓ m :

Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}

2 →

Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}

{\

displaystyle Y_{\ell }^{m :

S^{2}\to \mathbb {C}}

실제 구면

Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}

Y

ℓ

Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}

m :

Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}

2

→

Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}

{\

displaystyle

Y_

{\ell

m :S

^{2}\to \mathbb {R}}

은

Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}

(는)

Y_{\ell }^{m}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}\left(Y_{\ell m }-iY_{\ell,- m }\right)&{\text{if}}\m<0\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\m=0\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}\left(Y_{\ell m}+iY_{\ell,-m}\right)&{\text{if}}\m>0.\end{case}

실제 구면 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ Y ℓ $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ m : $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ 2 → $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ Y_ ${\ell$ m : $S^{2}\to \mathbb {R}}$ 는 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ 때때로 테서럴 구면 ^[14]조화라고 합니다.이러한 함수는 복잡한 함수 $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ℓ m $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ : S $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ → $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ $Y_{\ell }^{m$ 과(와) 동일한 직교 속성을 갖습니다.위의 S $^{2}\to \mathbb {C}$ 입니다 $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ .m > $0인$ $실제$ 구면 $Y_{\ell m}$ Y ℓ m $Y_{\ell m}$ {\ $displaystyle$ Y_ ${\ell$ m $}$ 는 코사인형이고, m < $0$ 인 것은 사인형이라고 합니다.이에 대한 이유는 다음과 같이 Legendre 다항식의 관점에서 함수를 쓰는 것으로 알 수 있습니다.

Y_{\ell m}={\case{case}\left (-1\right)^{m}{\sqrt{2}}{\sqrt{2\ell +1}{4\pi}}{\dfrac{(\ell - m )!}{(\ell + m )!}}}\;P_{\ell }^{ m }(\cos \theta )\sin( m \varphi )&{\text{if }}m<0\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }= 0\[4pt]\left (-1\right)^{m}{\sqrt{2}}{\sqrt{2\ell +1}{4\pi}}{\dfrac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\cos(m\varphi )&{\text{if}}m>0\",\end{case}

동일한 사인 및 코사인 계수는 데카르트 표현을 다루는 다음 절에서도 볼 수 있습니다.

위의 식들의 출력과 일치하는 것을 볼 수 있는 $\ell =4$ = $\ell =4$ {\ $displaystyle \ell$ = $4$ 을 포함하는 실제 구면 조화의 목록은 여기를 참조하십시오.

양자화학에 사용

수소 원자에 대한 분석 솔루션에서 알려진 바와 같이 파동 함수의 각 부분의 고유 함수는 구형 고조파입니다.그러나 자기항이 없는 비상대론적 슈뢰딩거 방정식의 해는 현실화될 수 있습니다.이것이 프로그램이 복잡한 대수를 사용할 필요가 없기 때문에 실제 형태가 양자 화학의 기초 함수에 광범위하게 사용되는 이유입니다.여기서, 실제 함수는 복잡한 함수와 동일한 공간에 걸쳐 있다는 점에 유의해야 합니다.

예를 들어, 구면 고조파 표에서 볼 수 있듯이, $일반적$ 인 p 함수( $\ell =1$ = $\ell =1$ {\ $displaystyle \ell$ = $1$ 는 복잡하고 혼합 축 방향이지만, 실제 버전은 본질적으로 x, $y$ , $z뿐$ 입니다.

데카르트 형태의 구면 조화

복잡한 구면 $Y_{\ell }^{m}$ Y ℓ $Y_{\ell }^{m}$ m {\ $displaystyle$ Y_ ${\ell }^{m$ }}는 $S^{2}$ S 2 {\ $displaystyle S^{$ }}에서 R $\mathbb {R} ^{3}$ 3 ${\displaystyle \mathbb$ {R $}^{3}$ 까지 모두 확장하여 입체 고조파를 생성합니다. 즉, 도 $\ell$ θ {\ $displaystyle \ell$ $\ell$ 의 균질 함수로 설정합니다.

R_{\ell }^{m}(v):=\ v\ ^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\v\}}\right)

R ℓ m

R_{\ell }^{m}

{\

displaystyle R_{\ell

}^{

m}

는 조화의 공간의 기초이며, 차수 ℓ

{\displaystyle \ell

\ell

의 동차 다항식임이

R_{\ell }^{m}

. 보다 구체적으로,그것은 회전

SO(3)

SO

SO(3)

(

)

{\

displaystyle SO(

3

)}

의 이 표현의 (정규화까지의 유일한) 겔판드-체틀린 기반이며, 데카르트 좌표의 R ℓ

R_{\ell }^{m}

m {\

displaystyle

R_{\

ell }^{m

}에 대한 명시적인 공식이 그 사실로부터 도출될 수 있습니다.

Herglotz 생성

$Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ℓ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ : $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ → $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ $Y_{\ell }^{m$ 에 대해 양자역학적 규약이 채택된 경우: $S^{2}\to \mathbb {C$ 다음

e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {r}}}=\sum _{\ell =0}^{\infty}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi}{2\ell +1}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\sqrt {(\ell +m)!(\ell-m)!}}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r.

\mathbf {r}

서 r

\mathbf {r}

은 성분

(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}

(

(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}

∈

(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}

{\

displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R}^{3

r=|\mathbf {r} |

=

r=|\mathbf {r} |

{\

displaystyle

r = \

mathbf {r

인 벡터이며,

{\displaystyle {\mathbf {a}} = {\mathbf {\hat {z}}}-{\frac {\hat {x}}}+i{\mathbf {\hat {y}}\right)+{\frac {1}{2\mathbf}}\leftf\mathbf {\hat {x}}-i{\mathbf {\hat {y}}\right).

{\

은

\mathbf {a}

(는) 복잡한 좌표를 가진 벡터입니다.

$\mathbf {a} = [{\frac {1}{2}}({\frac {1}}}-\display), -{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\display}}), 1.$

${\$ 의 $\mathbf {a}$ 기본 속성은 null입니다.

\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} = 0.

v{\ $displaystyle$ v $}$ 및 λ $\lambda$ 을(를) 실제 매개 변수로 $v$ 하면 됩니다.이 생성 함수를 Herglotz의 이름을 따서 명명할 때, 우리는 Courant & Hilbert 1962, § VII.7을 따르며, Courant & Hilbert는 그가 발견한 미발표 노트에 공을 돌렸습니다.

기본적으로 구형 고조파의 모든 특성은 이 생성 ^[15]함수에서 도출될 수 있습니다.이 정의의 즉각적인 이점은 $\mathbf {r}$ r {\ $displaystyle \mathbf$ { $r}}$ 을(를) 양자 역학 스핀 $\mathbf {J}$ 연산자 J $\mathbf {J}$ {\ $displaystyle \mathbf {J$ 로 ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ 하면 Y ℓ ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ m ( $J$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}_{\ell$ }^{ $m}({\mathbf {J}})$ 는 고체 $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ r ℓ Y ℓ $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ m ( $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ ) $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ {\ $displaystyle$ $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r}/r$ 구면 텐서 연산자의 표준화된 집합에 대한 생성 함수를 구하며, ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ $ℓ$ ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ m ( ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {Y}_{\ell }^{m}({\mathbf {J$

e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {J}}}=\sum _{\ell =0}^{\infty}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi}{2\ell +1}}{\frac {v^{\ell }{\sqrt ^{m}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell-m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J}}).

두 정의의 병렬성은 ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$ ℓ m $Y_{\ell }^{m}$ ${\$ $displaystyle$ ${\mathcal$ {Y}} $_$ $ell }^{m$ s의 $Y_{\ell }^{m}$ 하 변환(아래 참조)을 보장하며, 이는 다시 구형 텐서 $T_{q}^{(k)}$ 을 보장하는 $T_{q}^{(k)}$ ( $T_{q}^{(k)}$ {\ $displaystyle T_{q}^{(k$ $k={\ell }$ = $k={\ell }$ ℓ {\ $displaystyle$ k = {\ $ell$ } $}}$ $q=m$ $q=m$ $=$ m {\ $displaystyle$ q $q=m$ $=$ m $q=m$ 클레브슈-고단 구성 정리, 위그너-에카르트 정리와 같은 연산자의 모든 성질을 준수합니다.또한 이들은 고정된 척도 또는 정규화를 가진 표준화된 집합입니다.

구분 데카르트 형태

헤르글로츠 정의는 원한다면 다음과 같이z {\ $displaystyle$ z $}$ 의 다항식과x {\ $displaystyle$ x $}$ $및$ y {\ $displaystyle$ y $y$ 의 다항식으로 더 인수분해될 수 있는 다항식을 산출합니다(콘돈-쇼트리 위상):

{\displaystyle r^{\ell}\,{\display{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi}}\right]^{1/2}{\bar {\Pi}}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0}.

형식

=

0

:

r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}

여기서

A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}^{m-p}\cos \left((m-p){\frac {\pi}{2}\right),

B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin \left((m-p){\frac {\pi}{2}}\right),

그리고.

{\bar {\Pi}}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfluor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}

m=0

=

m=0

{\displaystyle

m=

0}

으로 줄이면

{\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\l floor \ell /2\right\rfluor }(-1)^{k}^{\binom {\ell }{{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}}.

인자 ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ m ( ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ {\ $displaystyle {\Pi}}_{\ell }^{m}(z)}$ 는 ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ 기본적으로 연관된 Legendre $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ P $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ m ( $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ {\ $displaystyle$ P_ ${\ell }^{m}(\cos \theta )}$ 이고 $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ 인자 $(A_{m}\pm iB_{m})$ m $(A_{m}\pm iB_{m})$ ± i $(A_{m}\pm iB_{m})$ $(A_{m}\pm iB_{m})$ ) $(A_{m}\pm iB_{m}$ 는 $(A_{m}\pm iB_{m})$ $e^{\pm im\varphi }$ 으로 $e^{\pm im\varphi }$ e ± $e^{\pm im\varphi }$ m $e^{\pm im\varphi }$ {\ $displaystyle$ e $^{\pm$ im $\varphi$ 입니다.

예

위에 명시적으로 나열된 ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ m ( ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ {\ $bar {\Pi$ }} $_{\ell }^{m}(z$ $A_{m}(x,y)$ ( $A_{m}(x,y)$ ) $A_{m}(x,y)$ {\ $displaystyle$ A_ ${m}(x,y$ 및 $B_{m}(x,y)$ ( $B_{m}(x,y)$ y $)$ {\ $displaystyle B_{m}(x$ , $)}$ 에 $B_{m}(x,y)$ 대한 식을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}\left[{\tfrac {7}{4\pi}}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi}}}\cdot {\tfrac {3}{16}\right]\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \theta e^{i\varphi}\right)}\left(\sin \theta e^{i\right)

Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi}}\cdot {\tfrac {5}{32}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi}}}\cdot {\tfrac {5}{32}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin ^{2}\theta e^{2i\varphi}\right)

여기와 여기에 나열된 기능과 일치하는지 확인할 수 있습니다.

실물형태

위의 식을 이용하여 실제 구면 조화를 형성하면 $m>0$ m > $m>0$ ${\displaystyle$ m > $0}$ 의 $m>0$ $A_{m}$ {\ $displaystyle A_{m}}$ 항 $A_{m}$ (코사인)만을 포함하고 $m<0$ $m<0$ < $m<0$ {\ $displaystyle$ m $<0}$ 의 $m<0$ $B_{m}$ $B_{m}$ m $B_{m}$ {\ $displaystyle$ B_ ${m}$ 의 $B_{m}$ 경우만을 포함함을 알 수 있습니다.

r^{\ell}\,{\display{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\pi}}}{\bar {\Pi}}_{\ell }^{m}(z){\sqrt}A_{m}\B_{m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.

형식 = 0:

r^{\ell}\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}

특수한 경우와 가치

m = $m=0$ {\ $displaystyle$ m = $0$ 일 때 구면 $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ℓ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ : $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ → C {\ $displaystyle$ Y_{\ $ell }^{m$ }: $S^{2}\to \mathbb {C}}$ 는 $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ 일반적인 레전드르 다항식으로 줄어듭니다. $Y_{\ell }^{0}(\theta,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta )$
m = ± ℓ ${\displaystyle$ m = $\pm$ \ $ell$ $m=\pm \ell$ 일 때, $Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi }$ 또는 단순히 데카르트 좌표로 볼 때 ${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r}})={\frac {(\mp 1)^{\ell }}}{2^{\ell }\ell !}{\sqrt {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pmi)^{\ell }}.$
θ = $m=0$ $\theta =0$ ${\displaystyle \theta$ = 0 $\theta =0$ φ $\varphi$ 이(가) 정의되지 않은 북극에서는 m = 0 ${\displaystyle$ m = $0}$ 인 $m=0$ 고조파를 제외한 모든 구형 고조파가 사라집니다. $Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z}})={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}\sqrt _{m0}$

대칭성

구형 고조파는 공간 반전(패리티)과 회전의 연산 하에서 깊고 결과적인 특성을 갖습니다.

패리티

구형 고조파는 확실한 동등성을 갖습니다.즉, 원점에 대한 반전에 대해 짝수 또는 홀수입니다.반전은 $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ ψ ( $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ ) = ψ $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ - $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ ) $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ {\ $displaystyle$ P $\Psi (\mathbf {r}$ )=\ $Psi (-\mathbf$ {r} $)}$ 로 $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ 표시됩니다.그렇다면, r ${\$ 이 $\mathbf {r}$ (가) 단위 벡터인 여러 가지 면에서 볼 수 있듯이,

Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r})=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r})

구면각의 관점에서 패리티는 $\{\theta ,\varphi \}$ 좌표가 { $\{\theta ,\varphi \}$ , $\{\theta ,\varphi \}$ $}$ {\ $displaystyle \{\theta,\varphi$ \}에서 $\{\theta ,\varphi \}$ $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ - $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ + $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ ${\displaystyle \{\pi -\theta,\pi$ +\ $varphi$ 로 변환합니다.구면 조화의 패리티에 대한 설명은 다음과 같습니다.

Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )

(이는 다음과 같이 볼 수 있습니다.연관된 레전드르 다항식은 (-

1) ℓ + m

을 제공하고 지수 함수로부터 우리가 가지고 있는 (-

1) m

을 구면 조화에 대해 함께 (-1)

ℓ

의) 패리티를 제공합니다.)

패리티는 실제 구면 고조파와 더 높은 차원의 구면 고조파에 대해 계속 유지됩니다. $θ$ 의 구면 고조파에 점 반사를 적용하면 부호가 (- $1) ℓ$ 의 인자만큼 변경됩니다.

로테이션

단위 $\mathbf {r}$ r {\ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $r}}$ 을 $\mathbf {r}$ (를) r $'$ {\ $displaystyle \mathbf {r$ 로 보내는 원점에 대한 ${\mathcal {R}}$ R ${\mathcal {R}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {R}}$ 을 $\mathcal R$ (를) 생각해 보십시오. 이 연산 하에서,차수 $\ell$ $\ell$ 과 $\ell$ $차수$ m ${\displaystyle$ m $}$ 의 구형 고조파가 동일한 차수의 구형 고조파의 선형 조합으로 변환됩니다 $m$ .그것은,

Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r}}')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r}}),

A_{mm'}

서

A_{mm'}

A_{mm'

는

{\mathcal {R}}

R

{\displaystyle

{\

mathcal {R

에 의존하는 차수

(2\ell +1)

ℓ +

(2\ell +1)

)

(2\ell +1)

{\

displaystyle (2\ell

+

1)}

의 행렬입니다. 그러나 이 속성을 표현하는 표준 방법은 아닙니다.일반적으로 쓰는 방법으로는

Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r}}')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell)}({\mathcal {R}})^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r}}),

D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}

서 D

D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}

D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}

(

D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}

ℓ

D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}

) (

D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}

) ∗ {\

displaystyle

D_

{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R})^{*})

는 위그너 D 행렬의 원소의 복소 켤레입니다.특히 r

'

{\

displaystyle \mathbf {r} '}

가 방위각의 ϕ 0

\phi _{0}

{\

displaystyle \phi_{0}}

회전일 때 우리는 동일성을 얻습니다.

Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r}}')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r}})e^{im\phi _{0}}

구면 조화의 회전 거동은 군론의 관점에서 보았을 때 아마도 그들의 본질적인 특징일 것입니다.Y ℓ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m$ s of degree ℓ $\ell$ 는 $Y_{\ell }^{m}$ ( $(2\ell +1)$ ℓ + $(2\ell +1)$ 1 $)$ {\ $displaystyle (2\ell +$ 1 $(2\ell +1)$ 의 그룹 SO(3)를 축소할 수 없는 표현을 위한 함수의 기본 집합을 제공합니다.구면 조화에 관한 많은 사실들은 (가산 정리와 같은) 분석 방법을 사용하여 힘들게 증명된 것들로 대칭 방법을 사용하여 더 단순한 증명과 더 깊은 의미를 얻습니다.

구면 고조파 팽창

라플라스 구면 조화 $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ℓ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ m : $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ 2 → $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle Y_{\ell }^{m :$ $S^{2}\to \mathbb {C}}$ 는 완전한 정규 함수 집합을 형성하므로 제곱 적분 가능 $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ 2 ( $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ 2 $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ {\ $displaystyle L_{\mathbb {C}}^{2}(S^{2$ 단위 $S^{2}$ S $S^{2}$ {\ $displaystyle$ S $^{2$ 에서 임의의 제곱 적분 가능 $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ f : $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ 2 $→$ $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ f :따라서 S $^{2}\to \mathbb {C}}$ 는 $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ 다음과 같은 선형 조합으로 확장될 수 $있습니다$ .

f(\theta,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi)

이 확장은 평균 제곱 수렴 - 구의 L에 수렴² - 즉 다음과 같은 의미를 갖습니다.

\lim _{N\to \infty}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left f(\theta,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi )\right ^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.

팽창 계수는 푸리에 계수들의 유사체들이며, 구면 고조파의 복소 켤레에 위 식을 곱하고, 입체각 Ⅰ에 걸쳐 적분하고, 위의 직교 관계들을 이용함으로써 얻어질 수 있습니다.이것은 기본적인 힐베르트 공간 이론에 의해 엄격하게 정당화됩니다.정규화된 고조파의 경우 다음을 제공합니다.

f_{\ell }^{m}=\int_{\Omega }f(\theta,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta,\varphi )

예를 들어 지수함수적으로 λ에서 계수가 충분히 빠르게 감소하면 시리즈도 균일하게 f로 수렴합니다.

제곱 적분 가능 $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ : S $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ → $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ f :S $^{2}\to \mathbb {R}}$ 은(는) 실제 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ Y $ℓ$ $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ m : $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ $→$ $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ Y_ ${\ell$ m :로) 확장할 수도 $있습니다$ .위의 S $^{2}\to \mathbb {R}$ 를 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ 합으로 함

{\displaystyle f(\theta,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi.)

시리즈의 수렴은 다시 같은 의미로 유지됩니다. 즉, 실제 구면 조화 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ ℓ $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ m : $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ 2 → $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ Y_ ${\ell$ m :S $^{2}\to \mathbb {R}}$ 는 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ 완전한 정규 함수 집합을 형성하므로 제곱 적분 가능 $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ ( $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ 2 $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ {\ $displaystyle$ L_ ${\mathbb {R}}^{2}(S^{2$ 의 힐베르트 공간의 정규 기저를 $형성$ 합니다.실제 고조파 $Y_{\ell m}$ Y ℓ m $Y_{\ell m}$ {\ $displaystyle Y_{\ell$ m $}$ 측면에서 확장의 이점은 실제 $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ : $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ 2 → $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ f :S $^{2}\to \mathbb {R}$ 확장 $f_{\ell m}$ f $ℓ$ m $f_{\ell m}$ {\ $displaystyle f_{\ell$ m}}는 실수임이 보장되는 반면, Y $ℓ$ $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ m ${\displaystyle$ $f_{\ell }^{m$ }( $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ 로 간주함)에서 확장 $f_{\ell }^{m}$ f $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ $ℓ$ m $f_{\ell }^{m}$ ${\displaystyle$ f_ ${\$ $ell$ $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ $m}$ 는 $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ 이 $보장$ 됩니다.S $^{2}\to \mathbb {C}$ \ $supset \mathbb {R$ 에 해당 속성이 $없습니다$ .

스펙트럼 분석

신호 처리에서의 전력 스펙트럼

함수 f의 총 거듭제곱은 함수 제곱의 적분으로 정의되며, 함수 f의 영역의 면적으로 나눕니다.실제 단위-제곱 구면 조화 함수의 직교성 성질을 사용하여 단위 구에 정의된 함수의 총 거듭제곱이 파르스발 정리의 일반화에 의해 스펙트럼 계수와 관련이 있음을 증명하는 것은 간단합니다(여기서, 그 정리는 슈미트 반정규화 조화에 대해 언급됨,정규 고조파의 경우 관계가 약간 다릅니다.)

{\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega } f(\Omega ) ^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell),

어디에

S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}^{2

(슈미트 반정규화 고조파의 경우) 각도 전력 스펙트럼으로 정의됩니다.유사한 방식으로, 두 함수의 교차 거듭제곱을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

{\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell),

어디에

S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }

교차 전력 스펙트럼으로 정의됩니다. $함수$ $f$ 와 g가 평균이 0인 경우(즉, $스펙트럼 00$ 계수 $f$ 와₀₀ g가 0인 경우), $S ff (θ)$ 와_fg S $(θ)$ 는 각각 정도 $θ$ 에 대한 함수의 분산 및 공분산에 대한 기여도를 나타냅니다.(교차) 거듭제곱 스펙트럼은 형태의 거듭제곱 법칙에 의해 잘 근사화되는 것이 일반적입니다.

S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell^{\display}

β = $0일$ 때 $스펙트럼$ 은 각 도가 동등한 힘을 가지므로 "흰색"입니다.β < $0일$ 때 $스펙트럼$ 은 낮은 도에서 높은 도보다 긴 파장을 가진 더 많은 파워가 있기 때문에 "빨간색"이라고 불립니다.마지막으로, β > $0일$ $때$ , 스펙트럼은 "파란색"으로 불립니다.S $($ ℓ $)$ 의 성장 순서에 대한 조건은 다음 절의 미분 가능성 $순서$ 와 관련이 있습니다.

미분성속성

또한 $S ($ ℓ $)$ 의 점근법적인 $관점$ 에서 원래 함수 f의 미분 가능성 특성을 이해할 수 있습니다.특히, S $($ ℓ)가 ℓ→ ∞ ℓ rational function any , of than as ∞ ℓ s in faster ays then ℓ is infin f itely iable different if ) ( dec ℓ , partic ular더 나아가 $S ($ ℓ)가 지수함수적으로 붕괴된다면, $f$ 는 실제로 구면에 대한 실질적인 분석입니다.

일반적인 기술은 소볼레프 공간의 이론을 사용하는 것입니다.S $(π)$ 의_ff 성장을 미분 가능성과 연관시키는 문장은 푸리에 급수의 계수의 성장에 대한 유사한 결과와 유사합니다.구체적으로, 만약

\sum _{\ell =0}^{\infty}(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty,

그

다음 f는

소볼레프 s

공간 H

(S 2

)에 있습니다.특히, 소볼레프 임베딩 정리는 다음과 같은 경우 f가 무한히 미분 가능하다는

것

을 암시합니다.

S_{ff}(\ell)=O(\ell^{-s})\rm{as\}\ell \to \infty}

누구에게나

대수적 성질

덧셈 정리

상당한 관심과 사용의 수학적 결과를 구면 조화에 대한 덧셈 정리라고 합니다.구면좌표 $(r,\theta ,\varphi )$ ( $(r,\theta ,\varphi )$ , $(r,\theta ,\varphi )$ ) $(r,\theta ,\varphi )$ {\ $displaystyle (r,\theta,\varphi$ )} 와 $(r,\theta ,\varphi )$ $(r',\theta ',\varphi ')$ ( $θ,$ θ $(r',\theta ',\varphi ')$ θ', $(r',\theta ',\varphi ')$ θ θ $(r',\theta ',\varphi ')$ θ') ${\displaystyle$ ( $r,\theta,\$ varphi $(r',\theta ',\varphi ')$ 의 두 $벡터$ $r$ 과 r $'$ 가 주어졌을 때, 이들 사이의 각도 $\gamma$ 가 $\gamma$ 주어집니다.

\cos \cos \displaystyle =\cos \theta'\cos \theta +\sin \theta \sin \theta'\cos(\varphi -\varphi ')

우변에 나타나는 삼각함수의 역할은 구면 조화에 의해 수행되고 좌변의 역할은 레전드르 다항식에 의해 수행됩니다.

덧셈 정리는^[17] 다음과 같이 말합니다.

P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y})={\frac {4\pi}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {y})\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x})\n\n모든 \,\ell \in \mathbb {N} _{0}\;\n모든 \,\mathbf {x} ^{3}\n\n\mathbf {y} \n\mathbf {x} \_{2}=\mathbf {y} \_{2}=1\n,

(1)

$여기$ 서_ℓ P는 $θ$ 의 Legendre 다항식입니다.이 표현식은 실제 고조파와 복합 고조파 ^[18]모두에 유효합니다.결과는 단위 볼에서 포아송 커널의 특성을 사용하여 분석적으로 증명할 수도 있고, z 축을 따라 가리키도록 벡터 y에 회전을 적용한 다음 오른쪽을 ^[19]직접 계산하여 기하학적으로 증명할 수도 있습니다.

특히, $x$ = $y일$ 때, 이것은 언설드의 정리를 줍니다.

\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x})\,Y_{\ell m}(\mathbf {x})={\frac {2\ell +1}{4\pi}

이것은 항등식

cos

θ

+ sinθ =

1

~2차원을 일반화합니다.

확장 (1)에서 $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ P ℓ $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ x ⋅ $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ ) $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ {\ $displaystyle P_{\ell }(\mathbf {x}$ \ $cdot \mathbf {y}$ )}는 영역 구면 고조파의 일정한 배수입니다.이러한 관점에서, 다음과 같은 일반화를 더 높은 차원으로 합니다. $Y$ 를_j n-구면에서 도 $θ$ 구면 조화의 $공간 ℓ$ H의 임의의 정규 기저라고 하자. $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ x ( ℓ ) $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ ^{(\ $ell$ 즉 단위 $벡터$ x에 해당하는 영역 조화도 ℓ는 다음과 같이 분해됩니다.

Z_{\mathbf {x} ^{(\ell)}({\mathbf {y}})=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H}_{\ell})}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x}}}}\,Y_{j}({\mathbf {y}})

(2)

또한, 구역 $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ x ( $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ ℓ $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ ) ( $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ ) $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ {\ $displaystyle$ Z_ ${\mathbf {x}$ ^{(\ $ell)}({\mathbf {y} })}$ 는 적절한 게겐바우어 다항식의 상수 배수로 주어집니다.

Z_{\mathbf {x} ^{(\ell)}({\mathbf {y}})=C_{\ell }^{(n-2)/2)}({\mathbf {x}}\cdot {\mathbf {y}})

(3)

(2)와 (3)을 결합하면 $x$ 와 y를 구면 좌표로 나타낼 때 $차원$ n = $2$ 에서 (1)을 얻을 수 있습니다.마지막으로 x = $y$ 에서 평가하면 함수의 동일성을 얻을 수 있습니다.

{\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell}}{\omega _{n-1}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell})} Y_{j}({\mathbf {x}})^{2}

여기서

ρ

는_n−1 (n-1)-sphere의 부피입니다.

수축규칙

또 다른 유용한 정체성은 두 구면 조화의 곱을 구면 조화의^[22] 합으로 표현합니다.

Y_{a,\alpha}\left(\theta,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)}\left(2b+1\right)}{4\pi }}\sum _{c=0}^{\infty}}\sum _{\sqrt =-c}^{c}\left_1\right)^{\sqrt {2c+1}}{\sqrt {pmatrix}a&b&c\\alpha &amp;alpha &amp;alpha &amp;alpha &amp;alpha &amp;alpha &amp;alpha &amp;alpha &amp;alpha \end{pmatrix}}{\sqrt {\frac}a&b&c\0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma}\left(\theta,\varphi \right.

이 합에 포함된 많은 항들은 극히 일부 0입니다.이 합에서 0이 아닌 항이 되는 c

{\

displaystyle

c

}

및 γ

\gamma

의 값은 3j-심볼에 대한 선택 규칙에 의해 결정됩니다.

클렙슈-고단 계수

Clebsch-Gordan 계수는 구형 고조파 자체의 관점에서 두 구면 고조파의 곱의 확장에 나타나는 계수입니다.Wigner 3-jm 기호, Racah 계수 및 Slater 적분을 포함하여 본질적으로 동일한 계산을 수행하는 다양한 방법이 있습니다.추상적으로, Clebsch-Gordan 계수는 회전 그룹의 두 가지 축소 불가능한 표현의 텐서 곱을 축소 불가능한 표현의 합으로 표현합니다. 적절하게 정규화되면 계수는 다중도입니다.

구면 고조파의 시각화

라플라스 구면 $Y_{\ell }^{m}$ Y ℓ m ${\displaystyle$ Y_ ${\ell }^{m}}$ 는 "추가 선", 즉 $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ ℜ [ $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ ℓ $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ m $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ ] = $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ {\ $displaystyle$ \ $Re$ $[$ $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ ${\ell }^{m$ = $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ 인 경우 $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ 또는 ℑ [ Y ℓ m ] = 0 {\displaystyle \ $Im$ [ $Y_{\ell }^{m$ = $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ 0인 경우 시각화할 수 있습니다.Y ℓ m $Y_{\ell }^{m}$ 의 결절선은 경도를 따라 m개의 원이 $있고$ 위도를 따라 ℓ-m개의 원이 있습니다.θ $\varphi$ ℓ φ $\theta$ \ y ta and ions $\theta$ style $Y_{\ell }^{m}$ \ the style $Y_{\ell }^{m}$ \ $\varphi$ phi direct } } ^ in display one { $Y_{\ell }^{m}$ ell } style of }} $Y_{\ell }^{m}$ m the determine m counting by al ℓ y the respect os \ type { each lines the var of display φ of { \ { θ of nod can zer display number number ively _ { \ one { styleY ℓ m $Y_{\ell }^{m}$ {\ $displaystyle Y_{\ell }^{m}$ 를 θ $\theta$ {\ $displaystyle \theta$ 의 함수로 $Y_{\ell }^{m}$ 하면, 연관된 레전드르 다항식의 실수 성분과 허수 성분은 각각 ℓ - m 0을 가지며, 각각은 결절의 '위도선'을 생성합니다.반면, Y ℓ $Y_{\ell }^{m}$ m {\ $displaystyle$ Y_{\ $ell$ }^{ $m}$ 를 $\varphi$ φ {\ $displaystyle$ \ $varphi$ 의 함수로 $Y_{\ell }^{m}$ 하면, 삼각 sin과 cos 함수는 각각 2 m의 0을 가지며, 이들은 결절의 '경도선'을 생성합니다.

구면 고조파 차수 m이 0일 때(그림에서 왼쪽 위), 구면 고조파 함수는 경도에 의존하지 않으며, 구역(zonal)이라고 합니다.이러한 구면 조화는 구역 구면 함수의 특별한 경우입니다.ℓ = $m일$ 때(그림에서 오른쪽 하단), 위도에서 교차가 0이 되지 않으며, 함수를 섹터별이라고 합니다.그 외의 경우, 함수들은 구를 확인하고, 그것들은 테세랄이라고 불립니다.

도 θ의 보다 일반적인 구면 조화는 반드시 라플라스 $Y_{\ell }^{m}$ Y ℓ m $Y_{\ell }^{m}$ {\ $displaystyle$ Y_ ${\ell }^{m$ 의 조화는 아니며, 그들의 결절 집합은 상당히 일반적인 종류일 수 있습니다.

구면 고조파 목록

처음 몇 개의 정규화된 라플라스 구면 조화 $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ℓ $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ m : $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ 2 → $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ {\ $displaystyle$ Y_ ${\ell }^{m :$ $콘돈$ 을 사용하는 S $^{2}\to$ $\mathbb {C}--$ 쇼트리 위상 규약:

Y_{0}^{0}(\theta,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi}}}

{\displaystyle{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi}}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\\Y_{1}^{0}(\theta,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi}}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi}}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}

{\displaystyle{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}\,\sin^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi}}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}

고차원

고전적인 구면 조화는 3차원 유클리드 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ 3 $\mathbb {R} ^{3}$ {\ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $3$ 안의 단위 $S^{2}$ $S^{2}$ 2 $S^{2}$ {\ $displaystyle$ S $^{2$ 위의 복소 값 함수로 정의됩니다. 구면 조화는 다음과 같이 고차원 유클리드 $\mathbb {R} ^{n}$ R $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ ^{ $n}$ 로 $\mathbb {R} ^{n}$ 일반화할 수 있으며, $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ S $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ 으로 이어집니다. $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ ${\displaystyle$ S $^{n-1}\$ $to$ $\mathbb {C$ $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ 를 $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ R n $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ $C$ {\ $displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to$ \ $mathbb$ {C $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ 로 간주하는 n개의 실수 $변수$ 에서 $차수$ θ의 복소수 동차 다항식의 공간을 P라고 하자. 즉, $임의$ 의 실수 $\lambda \in \mathbb {R}$ θ $\lambda \in \mathbb {R}$ θ \ $displaystyle \in \mathbb {R$ ,가지고 있는

p(\displaystyle p(\mathbf {x} )=\display^{\ell }p(\mathbf {x} )

모든_ℓ 조화 다항식으로 구성된 P의 부분 공간을_ℓ A라고 합니다.

\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,

이것들은 (정규한) 고체 구형 고조파입니다.단위 구에 함수의 공간을 H라고 합니다_ℓ.

S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R}^{n}\,\mid \,\left x\right =1\

A

의_ℓ 제한으로 얻은

\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{일부 }}p\in \mathbf {A} _{\ell}},\,f(\mathbf {x})=p(\mathbf {x}){\text{모든 }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}

다음 속성은 다음과 같습니다.

$공간 ℓ$ H의 합은 스톤-바이스트라스 정리에 의해 균일한 토폴로지에 대해 $S^{n-1}$ - $S^{n-1}$ {\ $displaystyle$ S $^{n-1}}$ 의 $S^{{n-1}}$ 연속 함수의 $C(S^{n-1})$ C $C(S^{n-1})$ - $C(S^{n-1})$ ) $C(S^{n-1})$ {\ $displaystyle$ C $(S^{n-1})}$ 에서 $C(S^{n-1})$ 조밀합니다.결과적으로, 이 공간들의 합은 구면의 제곱 적분 가능한 $함수들$ 의²공간 L $(S n -1$ )에서도 조밀합니다.따라서 구면의 모든 제곱 적분 가능 함수는 L 의미로 $수렴$ 하는² 구면 조화로 고유하게 분해됩니다.
$모든$ f ∈ $H$ 에 대하여, 가지고 있습니다. $\Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.$ 여기서 $Δ$ 는_Sⁿ⁻¹ $S$ 의ⁿ⁻¹ 라플라스-벨트라미 연산자입니다.이 연산자는 3차원에서 라플라시안의 각진 부분의 아날로그입니다. 즉, $n차원$ 에서 라플라시안은 다음과 같이 분해됩니다. $\nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\displayr}{\displayr}{\displayr}}{\frac {\displayr}}+r^{-2}\delta _{S^{n-1}}={\displaystyle {\nabla ^{2}}+{\frac {\displayr}{\displayr}{\displayr}{\displaystyle {\displayr}{\displayr}{\displayr}{\displayr}{\displayr}}{\frac {\displayr}}+r^{n-1}\delta _{S^{n-1}}$
$공간 ℓ$ H가 L $(S n -1)$ 의² 내부 곱에 대해 직교한다는 것은 스토크스 정리와 앞의 성질을 따릅니다.즉, $\int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0$ ① $H$ 에_ℓ $대하여$ , ② H에 $대하여$ , $③ k$ K에 대하여.
반대로, $공간 ℓ$ H는 정확히 $Ω$ 의_Sⁿ⁻¹ 고유 공간입니다.특히 스펙트럼 정리를 리에즈 퍼텐셜 $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ S $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ - $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ ${\$ _ ${S^{n-1}}^{-1}}$ 에 $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ 적용하면 $공간 ℓ$ H가 쌍방향으로 직교하고 L $(S n -1)$ 에서² 완전하다는 또 다른 증거를 제공합니다.
모든 동차 $다항식$ p ∈ $P$ 는 다음과 같은 형태로 유일하게 작성될 수 있습니다. $p(x)=p_{\ell }(x)+ x ^{2}p_{\ell -2}+\cdots + {\cdots} x ^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\even}}\ x ^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\odd}\end{case}$ $여기$ 서 p ∈ $A$ .특히. $\dim \mathbf {H} _{\ell} = {\binom {n+\ell -1} {n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}$

구면 라플라시안에 대한 스투름-리우빌 문제를 해결함으로써 변수 분리 방법에 의해 고차원의 구면 조화의 직교 기저를 유도적으로 구성할 수 있습니다.

\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\display}{\displaystyle \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\displaystyle \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}

여기서 θ는 S의ⁿ⁻¹ 구면 좌표계에서 축방향 좌표입니다.그러한 절차의^[26] 최종 결과는

{\displaystyle Y_{\ell _{1},\displaystyle Y_{\ell _{1}}(\theta _{1},\displaystyle \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi}}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{{j}{\ell _{j-1}}(\theta _{j})

지수가

δ 1

≤

δ 2

≤ δ ≤

δ

를_n−1 만족하고 고유값은

-π n -1 (π

+ n-1

)

입니다_n−1.제품의 기능은 Legendre 함수의 관점에서 정의됩니다.

{}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\",

표현이론과의 연관성

$θ$ 의 구면 조화의 공간 $H$ 는_ℓ 점(SO(3))과 그 이중 커버 SU(2)를 중심으로 한 회전의 대칭 그룹의 표현입니다.실제로 회전은 2차원 구에 작용하며, 따라서 함수 구성에 의해 $H$ 에도_ℓ 작용합니다.

\maps to \maps to \circ \rho ^{-1}

①

구면 고조파와 ②

회전

에 대하여.

표현 ℓ

H는 SO(3)^[27]를 축소할 수 없는 표현입니다.

$H$ 의_ℓ 원소는 A의 $원소 ℓ$ 구에 대한 제한으로 발생합니다: 3차원 유클리드 $공간 3$ R에서 차수 $θ$ 가 균일한 조화 다항식.ψ∈ $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ 의 편광에 의해, 요구 사항에 의해 고유하게 결정되는, 지수들에 대칭인 계수들 ψ $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ 1 … $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ ℓ $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell}$ 가 있습니다.

\displaystyle \display(x_{1},\display,x_{n})=\sum_{i_{1}\sum_{i_{\ell}}}\sum_{i_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell}

ψ

\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}

가 된다는 조건은 텐서 ψ i

\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}

…

\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}

ℓ

\psi _{i_{1}\dots i_{\ell}}

가 모든 인덱스 쌍에서 추적이 없어야 한다는 주장과 같습니다.따라서 SO

(3)

의

축소

불가능한 표현으로서,

H

는_ℓ

θ도

의 트레이스 없는 대칭 텐서의 공간과 동형입니다.

더 일반적으로 유사한 문장은 더 높은 차원에서 유지됩니다. n-sphere의 구형 조화의 $공간 ℓ$ H는 추적 없는 대칭 π-텐서에 해당하는 SO $(n +1)$ 의 $축소$ 할 수 없는 표현입니다.그러나 SO $(2)$ 및 $SO(3)$ 의 모든 축소 불가능 텐서 표현이 이러한 종류인 반면, 더 높은 차원의 특수 직교 그룹에는 이러한 방식으로 발생하지 않는 추가적인 축소 불가능한 표현이 있습니다.

특수 직교 그룹에는 텐서 표현이 아닌 추가 스핀 표현이 있으며 일반적으로 구형 고조파가 아닙니다.SO(3)의 스핀 표현은 예외입니다. 엄밀하게 말하면 SO(3)의 이중 커버 SU(2)의 표현입니다.차례로, SU(2)는 단위 사분위수 그룹과 동일시되며, 따라서 3-구와 일치합니다.3-sphere의 구형 조화의 공간은 4차 이온 곱셈에 의한 작용과 관련하여 SO(3)의 특정 스핀 표현입니다.

반구형 고조파와의 연결

구형 고조파는 두 세트의 ^[28]함수로 분리될 수 있습니다.하나는 반구형 함수(HSH)로, 반구상에서 직교하고 완전합니다.또 다른 것은 보완 반구형 고조파(CHSH)입니다.

일반화

두 구의 각도 보존 대칭은 뫼비우스 변환 PSL(2,C) 그룹에 의해 설명됩니다.이 군과 관련하여, 구면은 일반적인 리만 구와 동등합니다.PSL(2,C) 군은 (적절한) 로렌츠 군과 동형이며, 2구에 대한 작용은 민코프스키 공간의 천체에 대한 로렌츠 군의 작용과 일치합니다.로런츠 그룹에 대한 구면 조화의 아날로그는 초기하학 시리즈에 의해 제공됩니다. 또한 SO $(3)$ = $PSU(2)$ 가 $PSL(2, C)$ 의 하위 그룹이기 $때문$ 에 구면 조화는 초기하학 시리즈의 관점에서 다시 계산될 수 있습니다.

보다 일반적으로, 초기하학 계열은 대칭 공간의 대칭을 설명하기 위해 일반화될 수 있습니다. 특히, 초기하학 계열은 모든 Li ^[29]^[30]^[31]^[32]군에 대해 개발될 수 있습니다.

참고 항목

메모들

^ 3차원의 구형 조화에 대한 다양한 접근법에 대한 역사적 설명은 MacRobert 1967의 IV장에서 찾을 수 있습니다."라플라스 구면 고조파"라는 용어는 일반적으로 사용됩니다. Courant & Hilbert 1962 및 Meijer & Bauer 2004 참조.
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참고문헌

인용참고문헌

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일반참고문헌

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외부 링크

수학세계의 구면 조화
구면 고조파 3D 표현

[1] 3차원의 구형 조화에 대한 다양한 접근법에 대한 역사적 설명은 MacRobert 1967의 IV장에서 찾을 수 있습니다."라플라스 구면 고조파"라는 용어는 일반적으로 사용됩니다. Courant & Hilbert 1962 및 Meijer & Bauer 2004 참조.

[2] 여기서 취한 구형 고조파에 대한 접근법은 (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5)에 있습니다.

[3] 물리적 응용 프로그램에서는 무한대로 사라지는 솔루션을 사용하여 A = $0$ 으로 $만드는$ 경우가 많습니다.구면 고조파의 각도 부분에는 영향을 주지 않습니다.

[4] Weisstein, Eric W. "Spherical Harmonic". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2023-05-10.

[5] Edmonds 1957, £2.5

[6] 홀 2013 섹션 17.6

[7] 홀 2013 보조개 17.16

[8] Williams, Earl G. (1999). Fourier acoustics : sound radiation and nearfield acoustical holography. San Diego, Calif.: Academic Press. ISBN 0080506909. OCLC 181010993.

[9] Messiah, Albert (1999). Quantum mechanics : two volumes bound as one (Two vol. bound as one, unabridged reprint ed.). Mineola, NY: Dover. ISBN 9780486409245.

[10] Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck Laloë (1996). Quantum mechanics. Translated by Susan Reid Hemley; et al. Wiley-Interscience: Wiley. ISBN 9780471569527.

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[12] Heiskanen and Moritz, Physical Geodesy, 1967, equ. 1-62

[13] Weisstein, Eric W. "Condon-Shortley Phase". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2022-11-02.

[14] Whittaker & Watson 1927, 페이지 392.

[15] 예를 들어, Garg의 부록 A, A., Nutshell의 Classical Electrodynamics in a Nutshell (프린스턴 대학 출판부, 2012) 참조.

[16] Li, Feifei; Braun, Carol; Garg, Anupam (2013), "The Weyl-Wigner-Moyal Formalism for Spin", Europhysics Letters, 102 (6): 60006, arXiv:1210.4075, Bibcode:2013EL....10260006L, doi:10.1209/0295-5075/102/60006, S2CID 119610178

[17] Edmonds, A. R. (1996). Angular Momentum In Quantum Mechanics. Princeton University Press. p. 63.

[18] 이는 $θ도$ 의 구면 조화의 정규 표준 기준에 대해 유효합니다.장치 출력 고조파의 경우 4㎠의 인자를 제거해야 합니다.

[19] Whittaker & Watson 1927, 페이지 395

[20] 언설트 1927

[21] 스타인 앤드 바이스 1971, §Ⅳ.2

[22] Brink, D. M.; Satchler, G. R. Angular Momentum. Oxford University Press. p. 146.

[23] 에레멘코 야콥손 나디라슈빌리 2007

[24] Solomentsev 2001; Stein & Weiss 1971, §Iv.2

[25] . corollary 1.8 of

[26] Higuchi, Atsushi (1987). "Symmetric tensor spherical harmonics on the N-sphere and their application to the de Sitter group SO(N,1)". Journal of Mathematical Physics. 28 (7): 1553–1566. Bibcode:1987JMP....28.1553H. doi:10.1063/1.527513.

[27] 홀 2013 코럴리 17.17

[28] Zheng Y, Wei K, Liang B, Li Y, Chu X (2019-12-23). "Zernike like functions on spherical cap: principle and applications in optical surface fitting and graphics rendering". Optics Express. 27 (26): 37180–37195. Bibcode:2019OExpr..2737180Z. doi:10.1364/OE.27.037180. ISSN 1094-4087. PMID 31878503.

[29] N. 빌렌킨, 특수 함수와 그룹 표현 이론, Am.수학. 그래서.번역, vol. 22, (1968)

[30] J. D. Talman, Special Functions, A Group Theory Approach, (EP 강의 기반)위그너), W. A. 벤자민, 뉴욕 (1968).

[31] W. Miller, 변수의 대칭과 분리, Addison-Wesley, Reading (1977)

[32] A. Wawrzyczyk, 폴란드 과학 출판사의 그룹 표현과 특수 기능.와르자와 (1984).

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