SQ-범용군

수학에서, 집단이론의 영역에서, 모든 집단이 그 지수의 집단에 포함될 수 있다면, 계산 가능한 집단은 SQ 유니버설이라고 한다.SQ-범용성은 집단의 생식력 또는 복잡성의 척도로 생각할 수 있다.

역사

1949년으로 거슬러 올라가면 조합 집단 이론의 많은 고전적인 결과들은 현재 특정 집단이나 집단의 계급은 (사)정규범용이라고 말하는 것으로 해석된다.그러나 이 용어의 첫 번째 명시적 용어는 1968년 5월 23일 피터 노이만이 런던 대수 콜로키움(The London Algebra Colorquium)에 "SQ-유니버설 그룹(SQ-Universal groups)"이라는 제목으로 제공한 주소로 보인다.

SQ-범용 그룹의 예

1949년 그레이엄 히그만, 베른하르트 노이만, 한나 노이만은 모든 셀 수 있는 집단이 2세대 그룹에 포함될 수 있다는 것을 증명했다.^[1]이 결과는 현대어인 SQ-범용어를 사용하여 두 개의 발전기에 있는 자유 그룹(비-아벨라니아어)인₂ F가 SQ-범용이라고 한다.이것은 SQ-유니버설 그룹의 첫 번째 알려진 예다.이제 더 많은 예가 알려져 있다.

• 두 개의 발전기와 한 개의 임의 재연결기를 비경쟁적 비틀림 없는 그룹에 추가하면 항상 SQ-범용 그룹이 된다.^[2]
• 적절한 하위 그룹의 집합과 관련하여 쌍곡선이 아닌 모든 비초등 그룹은 SQ-범용이다.^[3]
• 많은 HNN 확장, 무료 제품 및 합병을 포함한 무료 제품.^[4][5][6]
• 4세대 Coxeter 그룹(프레젠테이션 포함):^[7]

${\displaystyle P=\left\langle a,b,c,d\, \,a^{2}=b^{2}=c^{2}=d^{2}=(ab)^{3}=(bc)^{3}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(cd)^{3}=(bd)^{3}=1\right\rangle }$

• 찰스 F.밀러 3세의 정밀하게 제시된 SQ-유니버설 그룹의 예로서, 비독점 인용문이 모두 해석할 수 없는 단어 문제를 가지고 있다.^[8]

게다가 훨씬 더 강력한 버전의 히그만-뉴만-뉴만-뉴만 정리가 현재 알려져 있다.Ould Houcine은 다음과 같이 증명했다.

모든 그룹 G에 대해 2세대 SQ-범용 그룹 H가 존재하여 G가 H의 모든 비독점 지수에 포함될 수 있다.^[9]

SQ-범용 그룹의 일부 기본 속성

셀 수 없이 많은 발전기 h₁, h₂, ..., h_n, ...에 대한 자유 그룹은 반드시 SQ-범용 그룹 G의 지수에 포함되어야 한다.If ${\displaystyle h_{1}^{*},h_{2}^{*},\dots ,h_{n}^{*}\dots \in G}$ are chosen such that ${\displaystyle h_{n}^{*}\mapsto h_{n}}$ for all n, then they must freely generate a free subgroup of G.따라서 다음과 같다.

모든 SQ-범용 그룹은 하위 그룹으로, 셀 수 없이 많은 발전기에 대한 자유 그룹을 가지고 있다.

계수 가능한 모든 집단은 계수 가능한 단순 집단에 포함될 수 있으므로 단순 집단의 임베딩을 고려하는 것으로 충분할 경우가 많다.이러한 관찰을 통해 다음과 같은 SQ-범용 그룹에 대한 몇 가지 기본적인 결과를 쉽게 증명할 수 있다.

G가 SQ-범용 그룹이고 N이 G의 정상적인 부분군(즉, $N{\displaystyle n}$ G ${\displaystyle N\triangleleleft$ G$\})$인 경우, N은 SQ-범용이거나 지수 그룹 G/N은 SQ-범용이다.

이를 증명하기 위해 N이 SQ-범용 그룹이 아니라고 가정하면, N의 지수 그룹에 포함될 수 없는 계수 가능한 그룹 K가 있다. H를 계수 가능한 그룹이 되게 하면, 직접 제품 H × K도 계수 가능한 그룹 S에 포함될 수 있다.현재 가설로는 G는 SQ-범용이기 때문에 S는 G의 G/M, 말하자면 G의 지수 그룹에 포함될 수 있다.두 번째 이형성 정리는 우리에게 다음과 같이 말해준다.

${\displaystyle MN/M\cong N/(M\cap N)}$

이제 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$/ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ◃}$ ${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle MN/M\triangleleleft G/M}$과(와) S는 G/M의 단순한 부분군이기 때문에 다음 중 하나와 같다.

$(\displaystyle MN/M\cap S\cong 1}$

또는:

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle M}$ N${\displaystyle }$/ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle N}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cap }$ N${\displaystyle }$) ${\displaystyle S\subseteq MN/M\cong$ N$/(M\cap$ N$)}$.

후자는 우리가 선택한 K와 반대로 K ⊆ H × K ⊆ S ⊆ N/(M ∩ N)을 내포하고 있기 때문에 사실일 수 없다.S를 (G/M)/(MN/M)에 삽입할 수 있다는 것을 뒤따른다. (MN/M)/(MN/M)에 의해 제3차 이형성 정리에 의해 G/MN에 이형성이 되고, 이형성이 (G/N)/(MN/N)에 차례로 이형성이 된다.따라서 S는 G/N의 지수 집단에 편입되었고, H ⊆ S는 임의의 계수 가능한 집단이었기 때문에 G/N은 SQ-Universal이라는 것을 따른다.

그룹 G에서 유한 지수의 모든 부분군 H는 G에서도 유한 지수의 정규 부분군 N을 포함하기 때문에 다음과 같은 것을 쉽게 따른다.^[10]

그룹 G가 SQ-범용이라면 G의 유한 지수 부분군 H도 마찬가지다.이 진술의 반대도 사실이다.^[11]

SQ-범용성의 변형 및 일반화

문헌에는 몇 가지 변형된 SQ-범용성이 있다.독자는 이 분야의 전문용어가 아직 완전히 안정되어 있지 않다는 것을 경고해야 하며, 이 부분을 염두에 두고 읽어야 한다.

Let ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ be a class of groups. (For the purposes of this section, groups are defined up to isomorphism) A group G is called SQ-universal in the class ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ if ${\displaystyle G\in {\mathcal {P}}}$ and every countable group in ${\displaystyle {\$$mathcal {P}}$은(는) G의 몫의 부분군에 대해 이형성이다$$.다음과 같은 결과를 증명할 수 있다.

n, m이 홀수인 m ∈ Z, n> ${\$$^{78}},$ m > 1로 하고, B(m, n)를 자유 m-generator Burnside 그룹으로 하고, B(m, n)의 모든 비주기적 부분군은 지수 n의 등급에서 SQ-범용이다.

$P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 그룹 클래스로 설정하십시오$$.A group G is called SQ-universal for the class ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ if every group in ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is isomorphic to a subgroup of a quotient of G. Note that there is no requirement that ${\displaystyle G\in {\mathcal {P}}}$ nor that any groups be countable.

SQ-범용성의 표준 정의는 계산 가능한 그룹 내 및 클래스에 대한 SQ-범용성과 동등하다.

Given a countable group G, call an SQ-universal group H G-stable, if every non-trivial factor group of H contains a copy of G. Let ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ be the class of finitely presented SQ-universal groups that are G-stable for some G then Houcine's version of the HNN theorem that can be re-stated as:

두 개의 생성자에 대한 자유 $그룹$은$$G {\$displaystyle${\$mathcal{G}$에 대한 SQL 유니버설 그룹이다$.$

그러나 셀 수 없이 많은 정밀하게 생성된 그룹이 있으며, 셀 수 있는 그룹은 정밀하게 생성된 하위 그룹만 셀 수 있다.이것으로부터 다음과 같은 것을 쉽게 알 수 있다.

$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 어떤 그룹도 SQL-범용일 수 없다$.$

An infinite class ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ of groups is wrappable if given any groups ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {P}}}$ there exists a simple group S and a group ${\displaystyle H\in {\mathcal {P}}}$ such that F and G can be embedded in S and S can be embedded in H.쉽게 증명할 수 있는 것은 다음과 같다.

If ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is a wrappable class of groups, G is an SQ-universal for ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ and ${\displaystyle N\triangleleft G}$ then either N is SQ-universal for ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ or G/N is SQ-universal for ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$$$.

$P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\mathcal$ ${P}}$이(가) 그룹의 래핑 가능한 클래스이고$$ H가 G의 유한 지수인 경우, H가 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\mathcal$${P}$에 대한 SQL 유니버설인 경우에만$$ G가 SQ $범용$입니다$.$

포장 가능한 클래스의 정의에 대한 동기는 분-하이먼 정리 같은 결과에서 비롯되는데, 이는 정확하게 제시된 그룹 F에 포함될 수 있는 단순한 그룹 S에 포함될 수 있는 경우에만 계수 가능한 그룹 G가 수용성 단어 문제가 있다는 것을 말한다.Houcine은 그룹 F가 용해성 단어 문제를 가질 수 있도록 구성될 수 있다는 것을 보여주었다.이는 두 그룹의 직접 제품을 취함으로써 단어 문제의 용해성을 보존한다는 사실과 함께 다음과 같은 사실을 보여준다.

용해성 단어 문제가 있는 정밀하게 제시된 모든 그룹의 클래스는 포장할 수 있다.

래핑 가능한 그룹 클래스의 다른 예는 다음과 같다.

• 유한 그룹의 클래스.
• 비틀림 없는 그룹의 클래스.
• 카운트 가능한 비틀림 없는 그룹의 클래스.
• 주어진 무한 카디널리티의 모든 그룹의 클래스.

클래스 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 포장 가능하다는 사실은 어떤 그룹도 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대한 Q-범용임을 의미하지는 않는다$.$ $예$를 들어 P ${\$ 멤버에 대한 일종의 카디널리티 제한이 필요하다는 것은 분명하다$$.

만약 우리가 "SQ-범용"의 정의에서 "인수의 한 부분군에 대한 이형"이라는 문구를 "의 부분군에 대한 이형"으로 바꾸면, 우리는 더 강력한 S-범용 개념을 얻는다$($으로 P {\$displaystyle {\mathcal {P}).$히그만 임베딩 정리(Higman Embedding Organization)는 미세하게 제시된 모든 집단의 사본을 포함하는 정밀하게 제시된 집단이 있음을 증명하는 데 사용될 수 있다.$W{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 수용성 단어 문제가 있는 모든 그룹의 클래스라면, $W{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal {W}$에서 그룹에 대한 단어 문제를 해결할 수 있는 통일 알고리즘이 없는 것으로 알려져 있다$.$ 그 증거는 예상대로 간단하지는 않지만, 그룹 없음in ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ can contain a copy of every group in ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$. But it is clear that any SQ-universal group is a fortiori SQ-universal for ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$. If we let ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ be the class of finitely presented groups,F는₂ 두 개의 발전기에 있는 자유 그룹이며, 우리는 이것을 다음과 같이 요약할 수 있다.

• F는₂ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 및$$ W ${\$의 SQL 유니버설이다$.$
• $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 S-범용 그룹이 있다$.$
• $W{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 S-범용 그룹이 없음$.$

다음 질문이 공개된다(두 번째 질문은 첫 번째 질문을 함).

• SQ-범용 그룹이 아니라 $W{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대한 SQL-범용 그룹이 있는가$?$
• $SQ-범용{\displaystyle \mathcal{}}$ 그룹이 $아니라$ W {\displaystyle${\$에 SQL-범용 그룹이 있는가$?$

F가₂ SQ 유니버설이라는 것을 입증하기는 상당히 어렵지만, 유한집단의 등급에 대한 SQ 유니버설이라는 사실은 이 두 가지 사실에서 쉽게 따르게 된다.

• 유한 집합의 모든 대칭 그룹은 두 요소에 의해 생성될 수 있다.
• 모든 유한 집단은 대칭 집단에 내장될 수 있다. 자연 집단은 케이리 집단이며, 이는 이 집단에 대해 유한 집합으로 작용하는 대칭 집단이다.

SQ-기타 범주의 보편성

$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 범주이고 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle${\$mathcal${$P$$}$의 개체 클래스인 경우$$$,$$$P {\$displaystyle${\$mathcal {P}$에 대한 SQL 유니버설 정의가 명확하게$$ 타당하다$.$$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 구체적인 범주라면 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 SQL 유니버설 정의도$$ 일리가 있다.그룹 이론 사례에서와 같이, $우리$는 C ${\$의 계산 가능한 개체 클래스에 모두 SQL-범용이라는 용어를 사용한다$.$

많은 내장형 이론은 SQ-범용성의 관점에서 재작성될 수 있다.유한하거나 셀 수 있는 차원의 리 대수학을 2세대 리 대수학으로 삽입할 수 있다는 셜쇼프의 '정리'는 2세대 프리 리 대수학이 (리알헤브라의 범주에서) SQ-범용이라는 문구와 동등하다.이것은 리 알헤브라의 히그만, 노이만, 노이만, 노이만 정리의 버전을 증명함으로써 증명할 수 있다.^[12]그러나 HNN 정리 버전은 자유 객체에 대한 명확한 아이디어가 없는 범주에 대해 증명될 수 있다.예를 들어, 분리 가능한 모든 위상학 그룹은 두 개의 위상학적 생성자를 가진 그룹의 위상학 하위 그룹(즉, 밀집된 2-제너레이터 하위 그룹)에 대해 이형성이라는 것을 증명할 수 있다.^[13]

이와 유사한 개념은 무료 선반에 적용된다.세 개의 발전기에 있는 자유 격자는 셀 수 없이 무한하다.그것은 하위 격자로써 4개의 발전기에 자유 격자를 가지고 있고, 유도에 의해 하위 격자로 셀 수 있는 수의 발전기에 자유 격자를 가지고 있다.^[14]

참조

• Lawson, M.V. (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.