멱함수의 법칙

인기 순위를 나타내는 멱함수 법칙 그래프 예제입니다.오른쪽에는 긴 꼬리가 있고 왼쪽에는 소수의 지배자가 있습니다(80-20 법칙이라고도 합니다).

통계학에서 멱함수의 법칙은 두 수량 간의 함수 관계이며, 여기서 한 수량의 상대적인 변화는 이들 수량의 초기 크기에 관계없이 다른 수량의 상대적인 변화를 가져온다. 즉, 한 수량은 다른 수량의 거듭제곱으로서 다르다.예를 들어 정사각형의 면적을 변의 길이로 볼 때 길이가 2배가 되면 면적에 ^[1]4의 배수를 곱한다.

경험적 예

, 생물학, 인공의 물리적 현상은 광범위한 그 분포는 대략 크기의 넓은 범위를 넘어서: 이러한 크레이터들의 달과의 크기 등이 힘의 법칙을 따르태양 flares,[2]이 패턴의 다양한 species,[3]은 크기의 활동 패턴을 막을 뉴런 populations,[4]는 주파수의 말 i.n가장(nguages, 성씨의 빈도,^[5] 생물군락의 풍부한 종, 정전, 화산 폭발,^[6] 자극^[7]^[8] 강도에 대한 인간의 판단, 그리고 많은 다른 ^[9]양.모든 값에 대해 멱함수 법칙을 적합시키는 경험적 분포는 거의 없으며 오히려 꼬리에 있는 멱함수 법칙을 따릅니다.음향 감쇠는 많은 복잡한 미디어에서 넓은 주파수 대역 내의 주파수 멱법칙에 따릅니다. 생물학적 변수 간의 관계에 대한 알로메트릭 척도법칙은 자연계에서 가장 잘 알려진 멱함수 중 하나입니다.

특성.

척도 불변성

멱함수의 법칙의 한 가지 속성은 그 규모의 불변성이다. $f(x)=ax^{-k}$ $=$ $f(x)=ax^{-k}$ - $f(x)=ax^{-k}$ ${\$ f $(x$ )= $ax^{-k$ 일 때 인수 $(\displaystyle$ x $)$ 를 $x$ 상수 계수 $(\displaystyle$ c $)$ 로 $c$ 스케일링하면 함수 자체의 비례 스케일링만 발생한다.그것은,

f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!

여기서 $"\displaystyle\propto"$ 는 $\propto$ 정비례성을 나타냅니다.즉, $상수$ c ${$ $display$ $style$ c $}$ 를 $c$ 스케일링하면 원래의 멱함수 관계에 $c^{-k}$ c - $c^{-k}$ ({display $style$ c $^{-k$ 를 곱하기만 하면 됩니다.따라서 특정 스케일링 지수를 갖는 모든 멱함수 법칙은 각각이 단순히 다른 요소의 스케일링 버전이기 때문에 상수 요인에 해당합니다.이 동작은 f $f(x)$ ( $f(x)$ x $){displaystyle$ f $(x)}$ $x$ x ${displaystyle$ x $x$ 의 양쪽 로그가 취해진 경우 선형 관계를 생성하며, 로그-로그 그림의 직선은 종종 멱함수 법칙의 시그니처라고 불립니다.실제 데이터의 경우 이러한 직선성은 멱함수-법칙 관계를 따르는 데이터에 필요하지만 충분하지 않은 조건입니다.실제로 이 시그니처 동작을 모방한 유한량의 데이터를 생성하는 방법은 많지만 점근 한계에서는 진정한 멱함수 법칙이 아닙니다(예를 들어 일부 데이터의 생성 프로세스가 로그 정규 ^{[citation needed]}분포를 따르는 경우).따라서 통계량에서 멱함수 모형을 정확하게 적합하고 검증하는 것은 활발한 연구 영역입니다. 아래를 참조하십시오.

명확하게 정의된 평균값의 결여

A바로 멱함수)− k{\displaystyle x^{-k}}에)∈는 경우에는 1, ∞){\displaystyle x\in는 경우에는 1,\infty)}경우에만 k입니다.;2{\displaystyle k>2}, 크다면 k입니다. 그것은 유한한 차이다. 3{\displaystyle k> 3};자연에서 가장 식별된 권한이 평균되어 있어 멱지수가 뚜렷한 뜻이 담긴.하지만'검은 백조 행동을 ^[2]할 수 있다는 걸 암시하는 거죠이것은 다음과 같은 사고 ^[10]실험에서 볼 수 있다: 친구들과의 방을 상상하고 그 방의 월평균 수입을 추정한다.월수입이 10억 달러 정도 되는 세계에서 가장 부유한 사람이 그 방에 들어간다고 상상해 보세요. 그 방의 평균 소득은 어떻게 되나요?소득은 파레토 분포로 알려진 멱법칙에 따라 분배된다(예를 들어, 미국인의 순자산은 지수 2의 멱법칙에 따라 분배된다).

한편, 이로 인해 분산 및 표준 편차(예:^[11] 회귀 분석)를 기반으로 하는 전통적인 통계량을 적용하는 것이 올바르지 않습니다.한편, 이것은 비용 효율이 ^[10]높은 개입도 가능하게 합니다.예를 들어, 자동차 배기가스는 멱법칙에 따라 배분되기 때문에(대부분의 오염에 기여하는 차는 매우 적음) 그러한 극소수의 차를 도로에서 제거함으로써 총 배기가스를 상당히 ^[12]줄일 수 있습니다.

단, 중위수는 존재합니다. $k>1$ k > $1인$ 멱함수 x의 $경우$ 2x의 값이^{1/(k – 1)}_min 사용됩니다.여기서_min x는 ^[2]멱함수 법칙이 유지하는 최소값입니다.

유니버설리티

멱함수와 특정 스케일링 지수의 동등성은 멱함수 관계를 생성하는 동적 프로세스에서 더 깊은 기원을 가질 수 있습니다.예를 들어, 물리학에서, 열역학 시스템의 위상 전이는 특정 양의 멱함수 분포의 출현과 관련이 있으며, 그 지수를 시스템의 임계 지수라고 합니다.임계 지수가 동일한 다양한 시스템, 즉 임계 지수에 근접할 때 동일한 확장 행동을 보이는 시스템은 동일한 기본 역학을 공유하는 재규격화 그룹 이론을 통해 보여줄 수 있습니다.예를 들어, 물과₂ CO의 끓는점에서의 거동은 동일한 임계 ^{[citation needed]}^{[clarification needed]}지수를 가지기 때문에 동일한 보편성 클래스에 속합니다.사실, 거의 모든 물질적 위상 전이는 작은 유니버설 클래스 세트로 설명됩니다.시스템의 임계점이 유인체인 다양한 자체 조직화된 임계 시스템에 대해서도 포괄적이지는 않지만 유사한 관찰이 이루어졌다.형식적으로 이러한 역학의 공유를 보편성이라고 하며, 정확히 동일한 임계 지수를 가진 시스템은 동일한 보편성 클래스에 속한다고 합니다.

멱함수

멱함수-법칙 관계에 대한 과학적 관심은 부분적으로 메커니즘의 특정 일반 클래스가 그것들을 ^[13]생성하는 용이함에서 비롯된다.일부 데이터에서 멱함수-법칙 관계의 시연은 해당 자연 현상의 기초가 될 수 있는 특정 종류의 메커니즘을 나타낼 수 있으며, 관련이 없어 보이는 다른 ^[14]시스템과의 깊은 연관성을 나타낼 수 있습니다. 위의 보편성도 참조하십시오.물리학에서 멱-법칙 관계의 편재성은 부분적으로 치수 제약에 기인하는 반면, 복잡한 시스템에서 멱-법칙은 종종 계층 구조 또는 특정 확률적 과정의 신호로 생각됩니다.멱함수 법칙의 몇 가지 주목할 만한 예는 파레토의 소득 분배의 법칙, 프랙탈의 구조적인 자기 유사성, 그리고 생물학적 시스템의 스케일링 법칙이다.멱함수 관계의 기원에 대한 연구와 실제 세계에서 이를 관찰하고 검증하려는 노력은 물리학, 컴퓨터 과학, 언어학, 지구 물리학, 신경 과학, 체계학, 사회학, 경제학 등을 포함한 많은 과학 분야에서 활발한 연구 주제입니다.

그러나 최근 멱함수 법칙에 대한 관심의 대부분은 확률 분포에 대한 연구에서 비롯됩니다.다양한 양의 분포가 적어도 꼬리 위쪽(큰 사건)에서 멱함수 법칙 형식을 따르는 것으로 보입니다.이러한 대형 사건의 행동은 주식 시장 붕괴나 대규모 자연 재해와 같은 매우 드문 사건의 빈도를 고려하는 큰 편차의 이론 연구와 이러한 양을 연결시킨다."멱함수 법칙"이라는 이름이 사용되는 것은 주로 통계 분포 연구에서이다.

경험적 맥락에서 $o(x^{k})$ o( $x$ k $)$ {\ $displaystyle o$ (x $^{k})$ 에 $o(x^k)$ 대한 근사치에는 종종 $\varepsilon$ ${\$ ${\displaystyle$ \ $varepsilon$ 이 포함되며, 이는 관측치가 멱함수에서 벗어날 수 있는 간단한 방법을 제공할 수 있다.(확률적인 이유로 추정):

y=ax^{k}+\varepsilon .\!

지 않기 위해 수학적으로, 엄격한 힘의 법칙이 될 수 없는 확률 분포가 있었지만 절단 멱함수 분포 가능하다:p())=C=}x을에α{\displaystyle p())=Cx^{-\alpha}−^분{\displaystyle x>, x_{\text{분}}}이 지수 α{\displaystyle \alpha}(그리스 문자 알파,.conf 스케일 $계수$ a $(위$ 의 \ $displaystyle$ a $)$ 가 $a$ 1보다 큽니다(그렇지 않은 경우 꼬리에 무한 영역이 있습니다). $x_{\text{min}}$ x(\ $displaystyle x_{\text{$ min}})가 $x_{\text{min}}$ 필요합니다. 그렇지 않으면 x가 0에 가까워질수록 분포는 무한 영역이 되며 상수 C는 총 면적이 1이 되도록 하는 스케일 계수입니다.확률 분포에 의해 편집됩니다.한계에서만 참인 점근 검정력 법칙을 사용하는 경우가 많습니다. 자세한 내용은 아래 멱함수 확률 분포를 참조하십시오.일반적으로 지수는 2 $2<\alpha <3$ < $2<\alpha <3$ < $2<\alpha <3$ \ $displaystyle$ 2 $<$ \ $alpha$ < $2<\alpha <3$ 3 $2<\alpha <3$ $2<\alpha <3$ 에 속하지만 항상 $그렇지$ 는 않습니다.^[9]

예

물리학(예: 모래톱 눈사태), 생물학(예: 종 멸종 및 체질량), 사회과학(예: 도시 크기 및 소득)^[15]에서 100개 이상의 멱함수 분포가 확인되었다.그 중 하나는 다음과 같습니다.

천문학

케플러의 제3법칙
별의 초기 질량 함수
우주선 핵의 미분 에너지 스펙트럼
M-시그마 관계

물리

에어로졸 광학계의 앙스트롬 지수
복합 매체에서의 음향 감쇠 주파수 의존성
스테판-볼츠만의 법칙
전계효과 트랜지스터와 진공관의 입력전압-출력전류 곡선은 "튜브 사운드"의 요소인 제곱법칙 관계에 가깝다.
제곱-입방체 법칙(표면적에 대한 부피 비율)
3/2제곱의 법칙은 3극판의 판특성곡선에서 찾을 수 있다.
뉴턴 중력과 정전기학의 역제곱 법칙. 각각 중력 전위와 정전 전위로 증명됩니다.
자기 조직적 중요성(인자적 요소)과 임계치
판데르발스 힘 모형
단순 고조파 운동에서의 힘과 전위
광도와 전압에 관한 감마 보정
임계 지수를 포함하는 2차 위상 천이 부근의 거동
전력 반도체의 최대 동시 전류 및 전압과 관련된 안전한 작동 영역.
열 용량 및 ^[16]점도의 초임계 지수 등 물질의 초임계 상태 및 초임계 유체.
스텝 DC 전압 입력에 대한 유전 응답에서의 퀴리-본 슈바이들러의 법칙.
내진 댐퍼의 감쇠력 과 속도 관계
단백질 구조^[17] 세그먼트에서 중심 아미노산의 접힌 용매 노출 표면적

심리학

스티븐스의 정신물리학의 멱법칙(대수가^[18]^[19] 될 수 있다는 증명에 의해 문제 제기됨)
망각의 멱법칙^[20]

생물학

클라이버의 법칙 동물 대사에 대한 동물 대사의 법칙과 일반적인 동위계 법칙
인간 모터 시스템의 ^[21]곡률에 속도를 관련짓는 3분의 2의 멱법칙.
생태학에서 평균 모집단 크기와 모집단 크기의 분산에 관한 테일러의 법칙
신경 눈사태^[4]
민물고기^[22] 군락의 풍부한 종(종수)
Harlow Knapp 효과, 인체에서 발견되는 키나아제 중 일부가 발표된^[23] 연구의 대부분을 구성한다.
전 세계적으로 포레스트 패치의 크기는 멱함수의 법칙을 따릅니다.
면적 크기의 함수로서 한 지역에서 발견된 종의 수와 관련된 종-면적 관계

기상학

소나기 ^[25]셀의 크기, ^[26]사이클론에서의 에너지 소실, 지구와 화성의 먼지 악마 직경

일반과학

기하급수적인 성장과 무작위 관측(또는 사망)^[28]
기하급수적인 성장과 혁신의^[29] 기하급수적인 확산을 통한 진보
고도로 최적화된 내구성
경험 곡선 효과의 제안된 형태
핑크 노이즈
하천 번호의 법칙과 하천 길이의 법칙(하천 ^[30]시스템을 설명하는 호튼의 법칙)
도시 인구(지브라트의 법칙)^[31]
참고문헌 및 텍스트 내의 단어 빈도(Zipf의 ^[32]법칙)
Wiki의 90-9-1 원칙(1 %^[33]^[34] 규칙이라고도 함)
폭력적 분쟁의 심각성에 대한 리처드슨의 법칙(전쟁과 테러)^[35]^[36]
CPU의 캐시 크기와 캐시 누락 수 간의 관계는 캐시 누락의 거듭제곱 법칙을 따릅니다.
심층 신경망의^[37] 무게 행렬의 스펙트럼 밀도

수학

프랙탈
파레토 분포와 파레토 원리는 "80 대 20 규칙"이라고도 불린다.
항목 또는 사건의 빈도가 빈도 순위에 반비례하는 말뭉치 분석 및 모집단 분포의 Zipf 법칙(즉, 두 번째로 빈번한 항목/사건이 가장 빈번한 항목의 절반만큼 자주 발생하고 세 번째로 빈번한 항목/사건이 가장 빈번한 항목의 1/3만큼 자주 발생한다)
제타 분포(분리)
Yule-Simon 분포(이산)
코시 분포가 특수한 경우인 학생의 t-분포(연속형)
로카의 법칙
확장성이 없는 네트워크 모델

경제학

지역 또는 도시 네트워크에 있는 도시의 인구 크기, Zipf의 법칙.
예술가의 ^[38]평균 가격에 의한 예술가의 분포.
시장 경제에서 소득의 분배.
은행 네트워크의 ^[39]학위 분포.

자금

로그 중간 가격의^[40] 평균 절대 변화
시간 경과에 따른 틱 수
최대 가격 이동 크기
방향^[41] 변경의 평균 대기 시간
오버슈트의 평균 대기 시간

변종

고장력칙

초기 질량 함수의 일부 모형은 끊어진 멱함수를 사용합니다. 여기서 Kropa(2001)는 빨간색입니다.

깨진 멱함수는 두 개 이상의 멱함수와 임계값으로 구성되어 있는 부분 함수입니다.예를 들어, 다음의 2개의 멱함수 ^[42]법칙이 있습니다.

f(x)\propto x^{\alpha _{1}}

(

f(x)\propto x^{\alpha _{1}}

)

f(x)\propto x^{\alpha _{1}}

f(x)\propto x^{\alpha _{1}}

f(x)\propto x^{\alpha _{1}}

1 {

x<x_{\text{th}},

style

f (

x

) \

propto

x^ { \

alpha

_ {

}

(

x<x_{\text{th}},

< x

x<x_{\text{th}},

, {

display style

x

_

{ \ text {

th

} )

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

(

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

)

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

x

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

α

1

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

-

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

2

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

x

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

>

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

th

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

{\

displaystyle f(

x)\

propto x_{\text{th}}^{\alpha

_

{1}-\alpha

_

{2

}}

x^{\alpha

_{

2}}{\text{\text{}}}}}}{\

text

{\

text

f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}

지수 컷오프에서의 멱함수의 법칙

지수 컷오프를 갖는 멱함수는 단순히 지수함수에 ^[9]곱한 멱함수입니다.

f(x)\propto x^{-\alpha}e^{-\alpha x}.

곡선 거듭제곱의 법칙

f(x)\propto x^{\alpha +\propto x}

^[43]

멱함수 확률 분포

좀 더 느슨한 의미에서 멱함수(또는 이산적인 경우에는 질량함수)가 x $(\displaystyle$ x $x$ ^[44]의 큰 값에 대해 형태를 갖는 분포입니다.

(\displaystyle P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha-1)})

$\alpha >1$ 서 $\alpha >1$ α > $(\displaystyle \alpha > 1$ ) $\alpha >1$ $L(x)$ L $\lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1$ $)(\$ $displaystyle$ L $\lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1$ 은 $L(x)$ 천천히 변화하는 함수이며, 이는 임의의 양의r에 $\lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1$ $\lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1$ $\lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1$ x $\$ L ( r $\lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1$ x ) $/$ L ( x ) = 1 { $displaystyle$ \ $lim$ _ { x $\lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1$ \ $rightarrow$ \ $infty }$ L ( $x$ ) / L ( x ) / $\lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1$ ( x ) / L ( x ) / L ( x ) / L ( x ) / L ( x ) / L ( x ) / L ( x ) / L ( x ) = $1$ (L $L(x)$ ) { $display style$ L $(x)}$ 의 속성은 $L(x)$ p $p(x)$ ( $)$ { $display style$ p $(x)}$ 의 $p(x)$ 점근 스케일 불변 요건에서 직접 따온 것입니다.따라서 L $L(x)$ ( $)$ { $display style$ L $(x)}$ 의 $L(x)$ $L(x)$ 는 아래쪽 꼬리의 모양과 유한 범위만을 제어합니다.예를 들어 L $)$ { $displaystyle$ L $(x)}$ 이 $L(x)$ 상수 $L(x)$ 인 경우 $x$ 의 모든 $값$ 에 적용되는 $x$ 멱함수가 있습니다.많은 경우 $x_{\mathrm {min} }$ 이 적용되는 하한 x $x_{\mathrm {min} }$ n $x_{\mathrm {min}}$ 을 $x_{\mathrm{min}}$ 가정하는 것이 편리합니다.이 두 경우를 조합하여 x $(\style$ x $)$ 가 $x$ 연속 변수인 $경우$ , 멱함수의 법칙은 파레토 분포의 형태를 가진다.

p(x)=frac {x_{\min}}\leftfrac {x}{x_{\min}}\right}^{-\alpha }

여기서 ${\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}$ α - ${\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}$ ${\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}$ { $alpha - 1$ }{ $x_{\min}}})$ 의 $\frac{\alpha-1}{x_\min}$ 프리팩터는 정규화 상수입니다.이제 이 분포의 몇 가지 속성을 고려할 수 있습니다.예를 들어, 그 순간은 다음과 같이 주어집니다.

x^{m}\rangle =\int _{x_{\min}^{\infty }x^{m}p(x),\mathrm {d}x =glac {\alpha -1-m}x_{\min }^{m}^{m}}}

자긴 잘 m<>α − 1{\displaystyle m<, \alpha)}. 그것은 정의되면 모든 순간들 치고≥ α − 1{\displaystyle m\geq \alpha)}이 갈리:α ≤ 2{\displaystyle \alpha \leq 2}, 평균과 모든 질고 차 순간들은 무한하다;2<α<3{\displaystyle 2<, \alpha<3}, 평균 exists,. 하지만 가변성은nd 고차 모멘트는 무한대 등이러한 분포에서 추출된 유한 크기 표본의 경우, 이러한 행동은 모멘트의 분산에 대한 중심 모멘트 추정기(평균 및 분산 등)가 절대 수렴되지 않을 것임을 암시한다. 더 많은 데이터가 축적될수록 모멘트는 계속 증가한다.이러한 멱함수 확률 분포를 Pareto 유형 분포, Pareto 꼬리가 있는 분포 또는 꼬리가 정기적으로 변화하는 분포라고도 합니다.

지수 ^[9]컷오프와 함께 위의 일반적인 형식을 충족하지 않는 수정은 다음과 같습니다.

\displaystyle p(x)\propto L(x)x^{-\alpha}\mathrm {e}^{-\lambda x}.}

이 분포에서는 $\mathrm {e} ^{-\lambda x}$ e - $\mathrm {e} ^{-\lambda x}$ x {\ $displaystyle$ $\mathrm {e}^{-\lambda$ x $x$ 가 $\mathrm{e}^{-\lambda x}$ x의 $매우$ 큰 값에서 최종적으로 멱함수법 동작을 압도합니다 $.$ 이 분포는 크기가 조정되지 않으므로 점근적으로 멱함수 법칙이 아닙니다. 그러나 컷오프 전에 유한 영역에 걸쳐 대략적으로 크기가 조정됩니다.위의 순수 형식은 이 패밀리의 서브셋이며, $\lambda =0$ $\lambda =0$ 0 \ $displaystyle$ \ $scatda = 0$ 입니다.이 분포는 유한 크기 효과를 자연스럽게 포착하기 때문에 점근 멱함수 분포의 일반적인 대안입니다.

Twedie 분포는 가법 및 생식 컨볼루션에서 닫힘과 저배율 변환에서 닫힘을 특징으로 하는 통계 모델 패밀리입니다.따라서 이러한 모형은 모두 분산과 평균 사이의 멱함수 관계를 나타냅니다.이 모형들은 중앙 한계 정리에서 정규 분포가 초점으로 갖는 역할과 유사한 수학적 수렴의 포치로서 기본적인 역할을 한다.이 수렴 효과는 생태학에서의 테일러의 법칙과 물리학에서의 변동^[45] 스케일링과 같이 자연 과정에서 평균 힘의 분산 법칙이 왜 그렇게 광범위하게 나타나는지를 설명합니다.또한 이 평균 전력 분산 법칙은 빈 확장 방법으로 입증될 때 1/f 노이즈의 존재를 의미하며 이 트위디 수렴 ^[46]효과의 결과로 1/f 노이즈가 발생할 수 있음을 보여줄 수 있다.

식별을 위한 그래픽 방법

더 정교하고 강력한 방법이 제안되었지만 랜덤 표본을 사용하여 멱함수 확률 분포를 식별하는 가장 자주 사용되는 그래픽 방법은 파레토 정량도(또는 파레토 Q-Q 그림),^{[citation needed]} 평균 잔차 수명도^[47]^[48] 및 로그 로그 그림이다.또 다른 보다 견고한 그래피컬 방법에서는 잔차분위수 ^[49]함수의 번들을 사용합니다(멱함수 분포는 파레토형 분포라고도 합니다).여기서는 확률 분포에서 랜덤 표본을 구하고 분포의 꼬리가 멱함수 법칙을 따르는지 여부를 확인한다고 가정합니다(즉, 분포에 "Pareto 꼬리"가 있는지 확인).여기서 랜덤 표본을 "데이터"라고 합니다.

파레토 Q–Q 그림은 로그 변환 데이터의 분위수를 평균 1(또는 표준 파레토 분포의 분위수)과 지수 분포의 해당 분위수와 비교합니다.결과 산점도 결과에서 표시된 점이 "점근적으로 직선으로 수렴"된다는 것을 암시하면 멱함수 분포를 의심해야 합니다.파레토 Q–Q 플롯의 한계는 테일 $(일명$ 파레토 $인덱스)$ 가 0에 가까울 때 제대로 작동하지 않는다는 것이다. 파레토 Q–Q 플롯은 느리게 변화하는 ^[49]꼬리를 가진 분포를 식별하도록 설계되지 않았기 때문이다.

반면, 평균 잔차 수명도는 멱함수 확률 분포를 식별하는 버전에서 먼저 데이터를 로그 추출한 다음 i-차 통계량 대 i-차 통계량보다 높은 로그 추출 데이터의 평균을 표시하는 것으로 구성됩니다. 여기서 n은 랜드의 크기입니다.om 샘플.결과 산점도 결과에서 표시된 점들이 수평 직선을 "안정화"하는 경향이 있는 것으로 나타나면 멱함수 분포를 의심해야 합니다.평균 잔차 수명도는 특이치에 매우 민감하기 때문에(강건하지 않음) 일반적으로 해석하기 어려운 그림을 생성합니다. 이러한 이유로 이러한 그림을 일반적으로 힐 공포 그림이라고 합니다.

로그-로그 그림에 직선이 필요하지만 멱함수에 대한 증거가 불충분하므로 직선의 기울기는 멱함수 지수에 해당합니다.

로그-로그 그림은 랜덤 표본을 사용하여 분포의 꼬리를 그래픽으로 조사하는 다른 방법입니다.그러나 로그-로그 그림은 필요하지만 멱함수 법칙 관계에 대한 충분한 증거가 없으므로 주의해야 합니다. 왜냐하면 많은 비멱함수 분포가 로그-로그 그림에서 ^[9]^[51]직선으로 나타나기 때문입니다.이 방법은 분포의 특정 수가 발생할 확률과 특정 숫자의 대수를 추정기의 대수로 표시하는 것으로 구성됩니다.일반적으로 이 추정치는 데이터 집합에서 숫자가 발생하는 횟수의 비율입니다.그래프의 점들이 x 축의 큰 숫자에 대해 직선으로 "변환"되는 경향이 있으면, 연구원은 분포에 멱함수 꼬리가 있다고 결론짓습니다.이러한 유형의 플롯을 적용한 예가 ^[52]발표되었습니다.이러한 플롯의 단점은 신뢰할 수 있는 결과를 제공하기 위해 대량의 데이터가 필요하다는 것입니다.또한 개별(또는 그룹화된) 데이터에만 적합합니다.

랜덤 표본을 사용한 멱함수 확률 분포의 식별을 위한 또 다른 그래픽 방법이 ^[49]제안되었다.이 방법론은 로그 변환 샘플의 번들을 표시하는 것으로 구성됩니다.원래 도구 순간의 존재 및 그 순간 생성 함수 무작위 샘플을 사용하여 탐사하기에 굉장히 제안한 묶음 방법론 잔류 분위수 기능에(RQFs), 또한 잘 알려 진 많은 probabi의 행동의 완전한 특성화를 제공한다 잔류번째 백분위 수 functions,[53][54][55][56][57][58][59]라고 불리는 바탕을 두고 있다.lity하는 것은, including 멱함수 분포, 다른 유형의 두꺼운 꼬리가 있는 분포, 그리고 두꺼운 꼬리가 없는 분포도 마찬가지입니다.번들 그림에는 위에 언급된 파레토 Q–Q 그림, 평균 잔존 수명 그림 및 로그 로그 그림의 단점이 없다(이 그림들은 특이치에 강력하며 $α$ 의 $\alpha$ $값$ 으로 시각적으로 식별할 수 있으며 많은 ^{[citation needed]}데이터의 수집을 요구하지 않는다 $\alpha$ 또한 번들 플롯을 사용하여 다른 유형의 테일 동작을 식별할 수 있습니다.

멱함수 분포 표시

일반적으로 멱함수 분포는 위쪽 꼬리 영역을 강조하는 이중 로그 축에 표시됩니다.가장 편리한 방법은 (보완적) 누적분포(ccdf), 즉 생존함수 $P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)$ ( $P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)$ ) $=$ $P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)$ ( $P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)$ > $P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)$ ) { $display style$ P ( x )= \ $mathrm$ { $Pr }$ ( X > $x$

P(x)=\Pr(X>x)=C\int _{x}^{\infty }p(X),\mathrm {d} X=black {alpha - 1}{-\alpha +1}}\int _{x}^{\infty },\mathrm {d} X= left (\frac {x

cdf도 멱함수이지만 스케일링 지수가 더 작습니다.데이터의 경우, cdf의 등가 형식은 순위 빈도 접근법입니다. 여기서 먼저 관측된n개의 $n$ $값$ 을 오름차순으로 정렬하고 벡터 $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ [ $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ , $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ - $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ , $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ - $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ n $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ , $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ , $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ n $]{$ $displaystyle \left [$ 1 $,$ {\ $frac$ {n-1} { $n}$ ,\ $frac$ {- $2}$ , $dots$ } {dots } { dots }에 대해 플롯합니다.

데이터를 로그빈하거나 확률밀도(질량) 함수를 직접 평활하는 것이 편리할 수 있지만, 이러한 방법은 데이터 표현에 암묵적인 편견을 도입하므로 ^[9]^[60]피해야 한다.반면, 생존 함수는 데이터의 이러한 편향에 대해 더 강력하며(없이는 아님) 이중 로그 축의 선형 서명을 보존한다.생존 함수 표현은 pdf 표현보다 선호되며 선형 최소 제곱법으로 데이터에 멱함수를 적합시키지만 수학적 부정확성이 없는 것은 아닙니다.따라서 멱함수 분포의 지수를 추정하는 동안 최대우도 추정기를 사용하는 것이 좋습니다.

경험적 데이터에서 지수 추정

멱함수 꼬리 부분에 대한 스케일링 지수 값을 추정하는 방법은 여러 가지가 있지만, 모든 방법이 치우치지 않고 일관된 답변을 제공하는 것은 아닙니다.가장 신뢰할 수 있는 기술 중 일부는 종종 최대우도법에 기초한다.대안 방법은 종종 로그-로그 확률, 로그-로그 누적 분포 함수 또는 로그 빈 데이터에 대한 선형 회귀 분석을 기반으로 하지만, 이러한 접근법은 모두 스케일링 ^[9]지수의 고도로 편향된 추정치로 이어질 수 있으므로 피해야 한다.

최대우도

실제 값, 독립 데이터 및 동일한 분포 데이터의 경우 형식의 멱함수 분포를 적합시킵니다.

p(x)=frac {x_{\min}}\leftfrac {x}{x_{\min}}\right}^{-\alpha }

데이터 $x\geq x_{\min }$ $x\geq x_{\min }$ min(\ $display x\geq x_{\min$ 에 대한 값입니다.여기에서는 분포가 정규화되도록 ${\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}$ α - ${\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}$ ${\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}$ min(\ $displaystyle {\frac {alpha -1}$ { $x_{\min$ }}})이 ${\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}$ 포함됩니다. $x_{\min }$ min(\ $displaystyle x_{\min$ 을 $x_{\min }$ 하면 로그우도 함수는 다음과 같습니다.

{x_{i=1}^{n}{\frac {x_{\min}}\leftfrac {x_{i}}{x_{\min}}\right}{-\alpha }}

이 우도의 최대값은 $(\displaystyle\alpha$ 에 대해 미분하여 결과를 0으로 설정함으로써 구할 수 있습니다.재배열 시 추정기 방정식이 생성됩니다.

{\displaystyle {\hat }= 1+n\left[\sum _ {i=1}^{n}\ln {frac {x_{i}}{\min }\right]

$\{x_{i}\}$ 서 $\{x_{i}\}$ $\{x_{i}\}$ i $}$ { $displaystyle$ \ { x $_$ { i $\{x_{i}\}$ } } 、 $x_{i}\geq x_{\min }$ { $displaystyle$ n} $n$ $x_{i}\geq x_{\min }$ i $x$ x min { $displaystyle$ x $_$ { $i$ $x_{i}\geq x_{\min }$ } $O(n^{-1})$ 。이 추정치는 100 n일 때 O $(n$ - $O(n^{-1})$ 1)의 작은 유한 샘플 크기 바이어스를 나타냅니다.또한 추정치의 표준오차는 $\sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})$ - $\sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})$ + $\sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})$ ( $\sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})$ n - $\sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})$ $){$ style $\hat {\hat$ {\ $hat}}-1}{\hatrt {n}}+O(n^{-1$ 이다.이 추정치는 양적 금융 및 극단적 가치 ^{[citation needed]}이론의 인기^[citation needed] 있는 힐 추정치와 동등합니다.

n개의 정수값 데이터 $\{x_{i}\}$ 포인트 $\{x_{i}\}$ { $\{x_{i}\}$ $}{displaystyle$ \{ $x_{i$ $x_{i}\geq x_{\min }$ xi $x_{i}\geq x_{\min }$ $x_{i}\geq x_{\min }$ min { $displaystyle x_{i}\geq x_{\min$ 에 대해 최대우도지수는 초월방정식의 해법입니다.

({displaystyle {\frac {x_{\min}}) {\zeta({\hat {alpha }},x_{\min}})}=-{\frac {1}{n}\sum _{i}{n}\ln {frac {x_{i}}}}}}\ln {\frac {{x_{{{x_{{{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}\ln}\ln}

$\zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })$ 서 $\zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })$ ( $\zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })$ $\zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })$ n $\zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })$ ) $displaystyle \zeta (\alpha,x_{\mathrm {min} }$ )는 $\zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })$ 불완전한 제타 함수입니다.이 추정치의 불확실성은 연속 방정식과 동일한 공식을 따른다.단, ${\hat {\alpha }}$ α ${\hat {\alpha }}$ ^(\style $\hat\hat$ \alpha $})$ 의 $\hat{\alpha}$ 두 공식은 동일하지 않으며 연속 버전은 이산 데이터에 적용하거나 그 반대도 아닙니다.

또한 이 두 평가기 모두 $(\$ 을 선택해야 합니다. L ${\hat {\alpha }}$ $x)$ 이 $중요$ 하지 $L(x)$ $함수$ 의 $경우$ xmin $(\$ displaystyle $L(x)$ x_{\ $min})$ 을 $x_\min$ $x_{\min }$ 작게 $선택하면$ α(\ $displaystyle x_{\min$ 에 ${\hat {\alpha }}$ 한 편향이 발생합니다 $.$ arge는 ${\hat {\alpha }}$ α $^(\$ style $\display\hat\$ alpha ${\hat {\alpha }}$ 의 불확실성을 증가시키고 모델의 통계적 파워를 감소시킵니다.일반적으로 $(\$ 의 $x_\min$ 최선의 선택은 위의 L $)\displaystyle$ L $(x)$ 로 $L(x)$ $L(x)$ 특정 형태의 하부 꼬리에 크게 좌우됩니다.

이러한 메서드 및 이러한 메서드를 사용할 수 있는 조건에 대한 자세한 내용은 ^[9]를 참조하십시오.또한 이 포괄적인 리뷰 기사에서는 멱함수 분포의 추정 및 테스트 루틴에 사용할 수 있는 코드(Matlab, Python, R 및 C++)를 제공합니다.

콜모고로프-스미르노프 추정

독립적이고 동일한 분포(iid) 데이터를 가정하지 않는 멱함수 추정을 위한 또 다른 방법은 데이터의 누적 분포 함수와 멱함수 사이의 콜모고로프-스미르노프 $통계량$ D $(\displaystyle$ D $D$ 의 최소화를 사용한다.

(\displaystyle\hat\alpha}={\operatorname {displaystyle,min}}},D_{\alpha}})

와 함께

D_{\alpha }=\max _{x} P_{\mathrm {filename}}(x)-P_{\alpha }(x)

$P_{\mathrm {emp} }(x)$ 서 P $P_{\mathrm {emp} }(x)$ m $P_{\mathrm {emp} }(x)$ ( $P_{\mathrm {emp} }(x)$ $){displaystyle P_{\mathrm {emp}(x)}$ $P_{\alpha }(x)$ $P_{\alpha }(x)$ α ( $)$ { $displaystyle P_{\alpha }(x$ )}는 각각 지수 $\alpha$ α { $displaystyle$ \alpha $\alpha$ 로 데이터의 cdfs를 나타냅니다.이 방법은 iid 데이터를 가정하지 않기 때문에 시간적 상관관계를 ^[4]무시할 수 없는 데이터 집합에 대한 멱함수 지수를 결정하는 대체 방법을 제공합니다.

2점 피팅법

이 기준은^{[clarification needed]} 척도 자유 분포의 경우 멱함수 추정에 적용할 수 있으며 최대우도법보다 ^{[citation needed]}더 수렴된 추정치를 제공합니다.이것은 골절 개구부의 ^{[citation needed]}확률 분포를 연구하는 데 적용되었다.일부 상황에서 확률분포는 누적분포함수가 아닌 속성 X의 누적빈도로 설명되며, 여기서 x는 가변실수이다.한 example,[표창 필요한]이 골절, X, N의 요소에 대한 샘플에 대한 누적 분포 미터 당 골절 조리개를 가지고 있는 x보다 더 큰 '숫자로. 누적 도수의 사용, 예를 들어 몇가지 장점을 가지고 일요일에 d에 다른 길이로 샘플 라인에서 동일한 다이어그램 데이터를을 담고 있습니다. 정의된다ifferent 비늘(예: 아웃프로브 및 현미경).

멱함수의 법칙을 검증하는 중

멱-법칙 관계는 여러 가지 이론적인 이유로 매력적이지만 데이터가 실제로 멱-법칙 관계를 따른다는 것을 입증하려면 특정 모형을 데이터에 ^[29]단순히 적합시키는 것 이상이 필요합니다.이는 분포를 발생시키는 메커니즘을 이해하는 데 중요합니다. 표면적으로 유사한 분포는 유의한 다른 이유로 발생할 수 있으며, 모델마다 다른 예측(예: 외삽)을 산출합니다.

예를 들어, 대수 정규 분포 종종 바로 멱함수 분포:오해하고 있다.[62] 데이터 세트는 로그 정규 분포에서 대략 큰 값에(그 로그 정규의 상부 꼬리는 힘의 법칙에 해당하는)[해명 필요한]지만 작은 값에 대한 lognormal 크게(절을)상응하는 떨어뜨릴 것이다 선형 것이다.로그 정규값이 작을 때까지(멱함수 ^{[citation needed]}법칙에 작은 값이 많이 있는 것이 아니라 작은 값이 매우 적습니다.

예를 들어, 비례 성장 과정에 대한 Gibrat의 법칙은 로그 정규 분포를 생성하지만 로그-로그 그림은 제한된 범위에서 선형으로 보입니다.이에 대한 설명은 로그 정규 밀도 함수의 로그가 로그 $() x$ 에서 2차이고 로그-로그 그림에서 "굽혀진" 모양을 생성하지만, 만약 2차 항이 선형 항에 비해 작다면 결과는 거의 선형으로 보일 수 있으며, 로그 정규 행동은 2차 항이 지배할 때에만 볼 수 있으며, 2차 항이 재작성될 수 있다.훨씬 더 많은 데이터를 참조합니다.따라서 아래쪽으로 약간 "접힌" 로그-로그 그림은 멱법이 아닌 로그 정규 분포를 반영할 수 있습니다.

일반적으로 많은 대체 함수 형태는 어느 정도 ^[63]멱함수 형태를 따르는 것으로 보일 수 있다.Stumpf & Porter(2012)는 로그 영역의 경험적 누적 분포 함수를 플롯할 것을 제안하고 후보 멱법칙은 최소 ^[64]두 가지 크기의 순서를 포함해야 한다고 주장했다.또한 연구자들은 일반적으로 실제 확률 분포가 멱법칙을 따르는지 여부를 결정하는 문제에 직면해야 합니다.이 문제에 대한 해결책으로, 디아즈는^[49] 다른 종류의 꼬리 행동을 시각적으로 구별할 수 있는 무작위 샘플에 기초한 그래픽 방법론을 제안했다.이 방법론에서는 백분위수 잔존 수명 함수라고도 하는 잔존 백분위수 함수의 묶음을 사용합니다. 이 함수는 무거운 꼬리 및 무겁지 않은 꼬리를 포함하여 다양한 유형의 분포 꼬리를 특징짓습니다.그러나 Stumpf & Porter(2012)는 데이터 생성 ^[64]프로세스를 주도하는 기본 메커니즘에서 멱함수를 지원하기 위해 통계적 배경과 이론적 배경이 모두 필요하다고 주장했다.

멱-법칙 관계를 검증하는 한 가지 방법은 특정 생성 메커니즘의 많은 직교 예측을 데이터에 대해 검정합니다.단순히 특정 종류의 데이터에 대한 멱함수-법칙 관계를 적합시키는 것은 합리적인 접근법으로 간주되지 않습니다.이와 같이, 멱법칙 주장의 검증은 현대 ^[9]과학의 많은 분야에서 매우 활발한 연구 분야로 남아있다.

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멱함수의 법칙

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목차

경험적 예

특성.

척도 불변성

명확하게 정의된 평균값의 결여

유니버설리티

멱함수

예

천문학

물리

심리학

생물학

기상학

일반과학

수학

경제학

자금

변종

고장력칙

지수 컷오프에서의 멱함수의 법칙

곡선 거듭제곱의 법칙

멱함수 확률 분포

식별을 위한 그래픽 방법

멱함수 분포 표시

경험적 데이터에서 지수 추정

최대우도

콜모고로프-스미르노프 추정

2점 피팅법

멱함수의 법칙을 검증하는 중

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