위치 표기법

Positional notation
위치 수 시스템에 사용되는 용어의 용어집

위치 표기법(또는 장소표기법 또는 위치 숫자 체계)은 일반적으로 힌두-아랍 숫자 체계(또는 십진수 체계)의 어떤 기초에 대한 확장을 나타낸다. 보다 일반적으로 위치 체계는 숫자의 값에 대한 숫자의 기여도가 숫자의 값에 숫자의 위치에 의해 결정되는 인수를 곱한 숫자의 값인 숫자 체계다. 로마 숫자와 같은 초기 숫자 시스템에서 자릿수는 오직 하나의 값만 가진다. 나는 하나를 의미하고, X는 10을 의미하고, C는 100을 의미한다(단, 다른 자리 앞에 놓으면 값이 부정될 수 있다). 십진법과 같은 현대적 위치 체계에서, 자릿수의 위치는 그 값을 어떤 값으로 곱해야 함을 의미한다: 555에서, 동일한 세 기호는 숫자 문자열에서 위치가 다르기 때문에 각각 5 수백, 5 십, 5 단위를 나타낸다.

바빌로니아 수계(Basilonian Numeral System, base 60)는 최초로 개발된 위치 체계로, 한 시간에 60분, 원을 그리며 360도 등 60과 관련된 계산에서 시간과 각도가 계산되는 방식에서 오늘날 그 영향력은 존재한다. 오늘날 힌두-아랍어 숫자 체계(베이스 10)는 세계적으로 가장 많이 사용되는 체계다. 그러나 2진수 체계(기본 2)는 전자회로에 효율적으로 구현하기 쉽기 때문에 거의 모든 컴퓨터전자기기에 사용된다.

음의 베이스, 복잡한 베이스 또는 음의 숫자를 가진 시스템이 설명되었다. 이들 중 대부분은 음수를 지정하는데 마이너스 부호가 필요하지 않다.

라딕스 포인트(베이스 10의 십진점)의 사용은 분수를 포함하도록 확장되며 임의의 정확도로 실제 숫자를 나타낼 수 있다. 위치 표기법으로 산술적 계산은 이전의 어떤 숫자 체계보다 훨씬 간단하다. 이것은 서유럽에 이 표기법이 도입되었을 때 이 표기법이 급속도로 확산되었다.

역사

수안판(그림에 나타난 숫자는 6,302,715,408이다)

오늘날, 열 손가락으로 세는 것으로 추측되는 베이스 10 (십진수) 시스템은 어디에나 있다. 과거에 다른 베이스가 사용되었고, 오늘날에도 일부 베이스가 계속 사용되고 있다. 예를 들어, 첫 번째 위치 수 체계로 인정된 바빌로니아체계베이스-60이었다. 그러나 그것은 진짜 0이 부족했다. 처음에는 문맥에서만 유추된 후 기원전 약 700년까지 숫자 사이의 "공간" 또는 "구문 기호"(예: 두 개의 기울어진 [1]쐐기)로 0을 표시하게 되었다. 혼자 사용하지 않았기 때문에 진정한 제로라기보다는 자리 표시자였다. 숫자의 끝에도 사용하지 않았다. 2와 120(2×60)과 같은 숫자는 큰 숫자에 최종 자리 표시자가 부족하기 때문에 같아 보였다. 오직 문맥만이 그들을 구별할 수 있었다.

다산술 아르키메데스(Ca. 287–212 BC)는 10을 기초로8[2] 한 그의 샌드레코너에서 소수점 위치 체계를 발명했는데, 이 시스템은 후에 독일의 수학자프리드리히 가우스가 만약 아르키메데스가 그의 기발한 발견의 잠재력을 완전히 깨달았다면 그의 시대에 과학이 이미 어떤 높이까지 도달했을지 한탄하도록 만들었다.[3]

위치 표기법이 표준이 되기 전에는 로마 숫자와 같은 간단한 첨가 시스템(신호표기법)이 사용되었고, 고대 로마와 중세 시대의 회계사들은 주판이나 석판을 사용하여 산수를 했다.[4]

중국 로드 숫자, 상단 열 수직 형식
아래쪽 행 가로 형태

위치수 체계에서 숫자를 나타내기 위해 카운팅 로드와 대부분의 축출물이 사용되어 왔다. 산술 연산을 수행하기 위해 막대나 주판을 세면 계산의 시작값, 중간값, 최종값의 쓰기는 각 위치나 열에 간단한 첨가 시스템으로 쉽게 할 수 있었다. 이 접근방식은 (위치 표기법처럼) 표를 암기할 필요가 없었으며, 실제적인 결과를 신속하게 도출할 수 있었다.

현존하는 가장 오래된 위치 표기법은 적어도 8세기 초에 사용된 중국 막대 숫자의 표기법이다. 이 시스템이 인도에서 도입되었는지, 아니면 자동적인 발전이었는지는 확실하지 않다.[clarification needed] 인도의 숫자들은 기원전 3세기경 브라흐미 숫자로 기원하는데, 그 당시 상징은 위치적으로 사용되지 않았다. 중세 인도 숫자들은 10세기부터 기록된, 파생된 아라비아 숫자와 마찬가지로 위치적인 숫자다.

프랑스 혁명(1789–1799) 이후, 새로운 프랑스 정부는 소수점 제도의 연장을 추진하였다.[5] 십진법이나 십진법 같은 십진법적인 노력의 일부는 성공하지 못했다. 다른 십진법적 노력 즉, 통화의 소수화, 무게와 측정의 측정은 프랑스로부터 거의 전 세계로 널리 퍼져 있다.

위치 분수의 역사

J. 레나트 베르그렌은 위치 소수점 분율이 아랍의 수학자 아부릴 하산우클리드시에 의해 10세기 초에 처음으로 사용되었다고 언급한다.[6] 유대 수학자 임마누엘 본필스는 1350년경 십진분수를 사용하였으나, 이를 나타내는 표기법은 개발하지 않았다.[7] 페르시아의 수학자 잠쉬드카쉬는 15세기에 소수점 분수의 동일한 발견을 했다.[6] 알 크와리즈미는 9세기 초에 이슬람 국가들에 분수를 소개했는데, 그의 분율 발표는 순지 수안징의 전통적인 중국 수학 분수와 비슷했다.[8] 수평 막대 없이 위에 분자가 있고 아래쪽에 분모가 있는 이러한 형태의 분수는 10세기 아부릴하산우클리드시, 15세기 잠쉬드카쉬의 작품 "산술 키"[8][9]에도 사용되었다.

Stevin-decimal notation.svg

1보다 작은 숫자의 십진수 표현법을 채택한 것은 종종 그의 교과서인 De Tiende를 통해 Simon Stevin에게 인정되지만 Stevin과 E. J. Dijksterhuis는 모두 Regiomontanus가 유럽의 일반 소수점 채택에 기여했음을 나타낸다.[10][11]

유럽의 수학자들은 힌두교에서 아랍인을 통해, 정수를 위한 위치적 가치에 대한 아이디어를 인수할 때, 이 아이디어를 분수까지 확장하는 것을 소홀히 했다. 몇 세기 동안 그들은 공통분수와 성소수분수를 사용하는 것에만 매달렸다... 이 반쪽 같은 심정은 아직 완전히 극복된 적이 없으며, 성소수 분수는 여전히 우리의 삼각법, 천문학, 시간의 측정에 기초를 이루고 있다…… 수학자들은 형태 10의 길이의n 단위 수와 동일한 반지름 R을 취하여 모든 발생 수량이 정수에 의해 충분히 정확하게 표현될 수 있을 정도로 큰 적분 을 n으로 가정함으로써 분수를 피하려고 했다. 이 방법을 처음으로 적용한 것은 독일의 천문학자 레지오몬타누스였다. R/10n 단위에 생식선-분할을 표시한 정도까지 레지오몬타누스는 소수점 위치분수 교리의 예측자로 불릴 수 있다.[11]: 17, 18

Dijksterhuis의 추정에 따르면, "De Thiende가 출판된 후 소수점 위치 분율의 완전한 체계를 확립하기 위해 약간의 진전만 요구되었고, 이 단계는 다수의 작가들에 의해 신속하게 취해졌다... 이 발달에 있어서 가장 중요한 인물은 스테빈 옆에 있는 레지오몬타누스였습니다." 디크스테르후이스는 [스테인]이 "독일 천문학자의 삼각표에는 실제로 '10차 진보의 숫자'라는 전체 이론이 담겨 있다"고 말하면서 그의 이전 공헌에 대해 레지오몬타누스의 전폭적인 공을 인정한다고 언급했다.[11]: 19

문제들

포지션 시스템에 반대하는 핵심 주장은 단순히 수량의 시작이나 끝에 숫자를 입력하여 100을 5100으로, 또는 100을 1000으로 바꾸는 것만으로 쉬운 사기에 대한 민감성이었다. 현대 수표는 그러한 사기를 막기 위해 십진수 그 자체뿐만 아니라 금액의 자연어 철자를 필요로 한다. 같은 이유로 중국인도 자연어 숫자를 사용하는데, 예를 들어 100은 壹佰(1000) 또는 伍仟壹(5100)로 절대 위조할 수 없다.

미터법 시스템에 대해 주장되는 많은 이점들은 일관된 위치 표기법에 의해 실현될 수 있다. 십수 명의 지지자들은 비록 전환 비용이 높은 것으로 보이기는 하지만, 십진수보다 십진수라는 몇 가지 장점이 있다고 말한다.

수학

숫자 체계 베이스

수학적 숫자 시스템에서 radix r은 일반적으로 위치 숫자 시스템이 숫자를 나타내기 위해 사용하는 0을 포함한 고유 자릿수 수입니다. 흥미로운 경우, radix는 b 기준 b = b b 이며, 이 값도 음수일 수 있다. 예를 들어, 10진수 시스템의 경우, 0에서 9까지의 10자리를 사용하기 때문에 라디스와 베이스는 10이다. 숫자 "히트" 9가 되면 다음 숫자는 다른 기호가 아니라 "1" 뒤에 "0"이 된다. 2진수에서 라디스는 2인데, 1에 도달한 후에는 "2" 또는 다른 쓰여진 기호 대신 "10"으로 바로 점프하고, "11"과 "100"이 그 다음이다.

위치 숫자 시스템의 가장 높은 기호는 보통 그 숫자 시스템의 라디스의 값보다 1 작은 값을 가진다. 표준 위치수 시스템은 사용하는 베이스에서만 서로 다르다.

라디스는 0의 라디스는 숫자가 없고, 1의 라디스는 0의 숫자만 가질 수 있기 때문에 1보다 큰 정수다. 음의 베이스는 거의 사용되지 않는다. b개 이상의 고유 자릿수를 가진 시스템에서 숫자는 가능한 여러 가지 표현을 가질 수 있다.

라디스가 유한하다는 것이 중요하며, 그 다음부터 자릿수가 상당히 낮다. 그렇지 않으면, 숫자의 길이가 반드시 그 크기에서 로그가 되는 것은 아닐 것이다.

(비주사 숫자를 포함한 특정 비표준 위치수 시스템에서 기준 또는 허용 자릿수의 정의는 위와 다르다.)

표준 base-ten (십진수) 위치 표기법에서는 10진수와 숫자가 있다.

= ( )+( )+ ( 1)+ ( )

표준 base-sixthen(헥사이드십진법)에는 16진수(0–9 및 A–F)와 숫자가 있다.

여기서 B는 숫자 11을 단일 기호로 나타낸다.

일반적으로 base-b에는 b자리{ 1, , d D{\ 및 숫자

has : D. 유의사항 3 2 곱셈이 아니라 자릿수 순서를 나타낸다.

표기법

수학적 표기법으로 베이스를 설명할 때 일반적으로 문자 b는 이 개념의 기호로 사용되므로, 이진법의 경우 b는 2와 같다. 베이스를 표현하는 또 다른 일반적인 방법은 표현하고 있는 숫자 뒤에 십진 첨자로 쓰는 것이다(이 표기법은 이 글에서 사용된다). 1111011은2 숫자 1111011이 12310(십진법 표기법), 1738(옥탈), 7B16(헥사데크)와 같은 베이스-2 숫자임을 암시한다. 서적과 기사에서는, 처음에 숫자 베이스의 약어를 사용할 때, 베이스는 후속으로 인쇄되지 않는다. 즉, 이진 1111011은 1111011과2 동일하다고 가정한다.

base b는 또한 "base-b"라는 문구로 표시될 수 있다. 따라서 이진수는 "base-2"이고, 8진수는 "base-8"이고, 10진수는 "base-10"이다.

주어진 radix b에 대해 숫자 {0, 1, ..., b-2, b-1}을(를) 표준 숫자 집합이라고 한다. 따라서 이진수는 숫자 {0, 1}을(를) 가지며, 십진수는 숫자 {0, 1, 2, ..., 8, 9}을(를) 가진다. 따라서2 공칭 오류는 52, 22, 1A9. (모든 경우 주어진 베이스에 대해 허용되는 숫자 집합에 하나 이상의 숫자가 없다.)

지수

위치 수 시스템은 베이스의 지수를 사용하여 작동한다. 자릿수 값은 자릿수에 자리 값을 곱한 값이다. 위치 값은 n번째 전력으로 상승된 베이스의 수입니다. 여기서 n은 주어진 숫자와 라딕스 지점 사이의 다른 자릿수 수입니다. 주어진 자릿수가 라딕스 포인트의 왼쪽에 있는 경우(즉, 그 값은 정수) n은 양수 또는 0이고, 숫자가 라딕스 포인트의 오른쪽에 있는 경우(즉, 그 값은 분수) n은 음수다.

사용의 예로서, 각각의 베이스 b에 있는 숫자 465(그 안에서 가장 높은 숫자가 6이기 때문에 최소한 베이스 7이어야 함)는 다음과 같다.

만약 465라는 숫자가 10루수라면, 그 다음은 같을 것이다.

(46510 = 46510)

그러나 숫자가 베이스 7에 있다면 다음과 같을 것이다.

(4657 = 24310)

10b = 1×b1 + 0×b이기0 때문에 모든 b 베이스에 대해 10b = b. 예를 들어, 102 = 2; 103 = 3; 1016 = 1610. 마지막 "16"은 베이스 10에 표시된다는 점에 유의하십시오. 기본은 한 자리 숫자에 대해 아무런 차이가 없다.

이 개념은 도표를 사용하여 증명할 수 있다. 하나의 물체는 하나의 단위를 나타낸다. 개체 수가 b 기준값보다 크거나 같을 경우 b 개체로 개체 그룹이 생성된다. 이러한 그룹의 수가 b를 초과할 때, 이러한 개체 그룹의 그룹은 b 개체 그룹과 함께 생성된다. 등 따라서 다른 기준에서 동일한 숫자가 다른 값을 가질 것이다.

베이스 5 241: 52(25) 2개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 2개 그룹 OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo OOOoo 
베이스 8 241: 82 (64) 그룹 2개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 1개 그룹 8개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 3개 그룹 

이 표기법은 선행 마이너스 부호를 허용함으로써 더욱 강화될 수 있다. 이것은 음수의 표현을 허용한다. 주어진 기초의 경우, 모든 표현은 정확히 하나의 실제 숫자에 해당하며 모든 실제 숫자는 최소한 하나의 표현을 가지고 있다. 합리적인 숫자의 표현은 유한하거나, 막대 표기법을 사용하거나, 무한히 반복되는 숫자의 순환으로 끝나는 표현들이다.

숫자와 숫자

자릿수는 위치 표기법에 사용되는 기호로, 숫자는 위치 표기법으로 숫자를 나타내는 데 사용되는 하나 이상의 숫자로 구성된다. 오늘날 가장 흔한 자릿수는 소수점 "0", "1", "2", "3, "4", "5", "6", "7", "8", "9"이다. 숫자와 숫자의 구별은 숫자 베이스의 맥락에서 가장 뚜렷하게 나타난다.

0이 아닌 숫자로 둘 이상의 자리 위치를 갖는 것은 다른 숫자 베이스에서 다른 숫자를 의미하지만, 일반적으로 숫자는 같은 것을 의미한다.[12] 예를 들어 base-8 number 23은8 "2"와 "3"이라는 두 자리 숫자와 base number(구독) "8"을 포함하고 있다. base-10으로 변환하면 23은8 1910, 즉 238 = 19와10 같다. 여기 우리의 표기법에서 숫자 23의8 첨자 ""8는 숫자의 일부분이지만, 이것이 항상 그런 것은 아닐 수도 있다.

숫자 "23"이 모호한 기본 번호를 가지고 있다고 상상해 보십시오. 그럼 "23"은 4번 베이스부터 모든 베이스가 될 수 있을 것이다. 베이스-4에서 "23"은 1110, 즉 234 = 11을10 의미한다. 베이스-60에서 "23"은 숫자 123, 즉10 23 = 123을6010 의미한다. 그러면 이 경우 숫자 "23"은 기본 10 번호 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ..., 121, 123}의 집합에 해당하며, 숫자 "2"와 "3"은 항상 원래 의미를 유지하며, "2"는 "2"를 의미하며, "3"은 "3"을 의미한다.

특정 애플리케이션에서 위치 수가 고정된 숫자가 더 큰 숫자를 나타내야 하는 경우, 위치당 더 많은 자릿수를 가진 더 높은 숫자 기준을 사용할 수 있다. 세 자리, 십진수는 999까지만 나타낼 수 있다. 그러나 숫자 베이스가 11로 늘어나면, 예를 들어 "AA"로 최대화된 동일한 세 위치가 1330만큼 큰 숫자를 나타낼 수 있다. 다시 숫자 베이스를 늘려 「B」를 11에 할당하는 등(단, 숫자-자리-숫자 계층의 숫자와 숫자 사이에 암호화가 가능하기도 한다). 베이스-60의 세 자리 숫자 "ZZZ"는 215999를 의미할 수 있다. 전체 영숫자 모음을 사용하면 궁극적으로 기본-62숫자 시스템을 지원할 수 있지만 대문자 "I"와 대문자 "O"의 두 자릿수를 제거하여 숫자 "1"과 "0"[13]의 혼동을 줄인다. 우리는 62개의 표준 영숫자 중 60개를 이용하는 베이스-60, 즉 성소수자 체계를 가지고 있다. (그러나 아래의 성소수자 체계를 참조하라.) 일반적으로 base 에서 자리 숫자로 나타낼 수 있는 가능한 값의 수는 r이다

컴퓨터 공학에서 일반적인 숫자 체계는 2진수(라디믹스 2), 8진수(라디 8), 16진수(라디 16)이다. 이진수에서는 숫자 안에 숫자 "0"과 "1"만 있다. 8진수에서 8자리 0-7이다. 16진수는 0–9 A–F이며, 여기서 10자리 숫자는 통상적인 의미를 유지하며 알파벳은 총 16자리 숫자로 10–15 값에 해당한다. 숫자 "10"은 2진수 "2", 8진수 "8" 또는 16진수 "16"이다.

라딕스 포인트

표기법은 b기준의 음수 지수로 확장될 수 있다. 따라서 소위 라딕스 포인트(대부분 ».«)는 음수 지수를 가진 위치로부터 음수가 아닌 위치의 구분자로 사용된다.

정수가 아닌 숫자들은 라딕스 포인트 너머의 장소를 사용한다. 이 지점 뒤의 모든 위치(따라서 단위 자릿수 이후)에 대해 검정력 bn 지수 n은 1만큼 감소하고 검정력은 0에 근접한다. 예를 들어, 숫자 2.35는 다음과 같다.

서명

기본과 숫자 집합의 모든 숫자가 음수가 아닌 경우 음수를 표시할 수 없다. 이를 극복하기 위해 여기에 마이너스 부호인 »-« 숫자 시스템에 추가된다. 일반적인 표기법에서는 음수가 아닌 숫자를 나타내는 숫자 문자열 앞에 붙는다.

기준변환

에 표현된 n 정수의 b displaystyle }로 변환하는 작업은 2: 베이스 b 2 {\}에서 가장 오른쪽 자릿수는 n의 나머지이다. 두 번째 오른쪽 자릿수는 ,} 등으로 지수를 나눈 나머지다. 가장 왼쪽 자릿수가 마지막 지수다. 일반적으로 오른쪽에서 k번째 자릿수는 (k-1)번째 b {\}만큼 분할된 나머지 자릿수다.

예: A10B를Hex 십진수(41227)로 변환:

0xA10B/10 = 0x101A R: 7(원위) 0x101A/10 = 0x191A/10 = 0x19C R: 2(텐스위치) 0x19C/10 = 0x29 R: 2(백스위치) 0x29/10 = 0x4 R: 1 ...                       4 

더 큰 베이스(예: 이진에서 십진수로 변환)로 변환할 때, 1 }의 숫자를 하여 b {\}}개를 한 자릿수로 나타낸다 예를 들어, 0b111001(이진수)을 249(십진수)로 변환:

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (1개소의 경우 0b1001 = "9") 0b10 R: 0b100 (10개의 경우 0b100 = "4") 0b10/10 = 0b0 R: 0b10 (100 = "2") 

분수 부분의 경우 라딕스 포인트(분자) 다음에 자릿수를 취하여 대상 라딕스에서 묵시적 분모나누는 방식으로 변환이 가능하다. 감소된 분수의 분모가 변환할 베이스의 주요 인자 이외의 주요 인자를 갖는 경우, 비단말 자릿수의 가능성 때문에 근사치가 필요할 수 있다. 예를 들어 10진수(1/10)의 0.1은 2진수(0b1/0b1010)로, 이 값을 2진수에서 나누면 0b0.00011(10의 1주요인 중 하나가 5이기 때문에)이 된다. 일반 분수와 베이스에 대한 자세한 내용은 양의 베이스에 대한 알고리즘을 참조하십시오.

실제로 호너의 방법은 위에서[14][better source needed] 요구하는 반복적인 분할보다 효율적이다. 위치 표기법에 있는 숫자는 각 자리가 계수인 다항식이라고 생각할 수 있다. 계수는 한 자릿수 이상일 수 있으므로 베이스 변환을 효율적으로 하는 방법은 각 자릿수를 변환한 다음 목표 베이스 내에서 호너의 방법을 통해 다항식을 평가하는 것이다. 각 숫자를 변환하는 것은 값비싼 분할이나 계량 연산의 필요성을 없애주는 간단한 조회표로서, x에 의한 곱셈은 오른쪽 시프트가 된다. 그러나, 단일 또는 희박한 숫자에 대해 반복 스퀴어링과 같은 다른 다항식 평가 알고리즘도 작동할 것이다. 예:

0xA10B를 41227 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0) 조회 테이블: 0x0 = 0x1 = 1 ...   0x9 = 9 0xA = 10 0xB = 11 0xC = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 따라서 0xA10B의 소수 자릿수는 10, 1, 0, 11이다.    이렇게 숫자를 배열해. 가장 중요한 숫자(10):101011<>0xA10B의-Digits-------------10 그렇다면 우리가 원천 기지(16)에서, 제품은 소스 값의 다음 자리에서 놓이는 것을 추가해서:101011160, 최저 수치 증가시킬 수-------------10161반복할 때까지 마지막 수행된다" 떨어졌다" 있다.:   10 1 0 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227이고, 그것은 소수 41227이다.  
0b11111001을 249 검색 테이블로 변환: 0b0 = 0 0b1 = 1 결과: 1 1 1 1 0 0 0 1 <- 0b111001 2 6 30 62 124 248 ---------------- 1 3 7 15 62 124 249 

종료 분수

유한한 표현을 가진 숫자들이 의미들을 형성한다.

More explicitly, if is a factorization of into the primes with exponents {[15]\ 등의 분모가 비어 있지 않은 경우

where is the group generated by the and is the so-called localization of with respect to .

의 요소 분모{\ 중에서 가장 낮은 조건으로 축소된 경우만을 포함한다 모든 분수가 에 대한 이 합리적인 숫자 의 영역에 밀도가 있다 완료 f.or the usual (Archimedean) metric is the same as for , namely the real numbers . So, if then has not to be confused with prime 에 대한 이산 평가 = = P { (와 같음

이(가) c 를) 나누면 b c . c^{\mathb

무한 표현

이성수

비정수자의 표현은 점 너머의 무한한 자릿수 문자열을 허용하도록 확장할 수 있다. 예를 들어 1.1211211121111112 ... base-3은 무한 시리즈의 합을 나타낸다.

완전히 무한대의 숫자 문자열은 명시적으로 쓸 수 없기 때문에, 후행 줄임표(...)는 생략된 숫자를 지정하는데, 이것은 어떤 종류의 패턴을 따를 수도 있고 따르지 않을 수도 있다. 하나의 일반적인 패턴은 한정된 숫자의 순서가 무한히 반복될 때 입니다. 반복 블록을 가로질러 빈쿨럼을 그려서 지정한다.

이것은 반복적인 십진법 표기법이다. (이것은 보편적으로 받아들여지는 단 하나의 표기법이나 표현법이 존재하지 않는 것이다.) 베이스 10의 경우 반복적 소수점 또는 반복적 소수점이라고 한다.

비합리적인 숫자는 모든 정수 베이스에서 무한 비반복 표현을 가진다. 합리적인 숫자의 표현이 유한한지 무한 반복표현이 필요한지는 그 근거에 따라 달라진다. 예를 들어 3분의 1은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

또는 베이스가 다음을 함축한 상태에서:
또한 0.999... 참조)

gcd(p, q) = 1인 정수 pq의 경우, q의 각 prime 요인이 b의 prime factor인 경우에만 fraction p/q베이스 b에서 유한하게 표현된다.

주어진 베이스의 경우, 한정된 숫자의 숫자로 나타낼 수 있는 모든 숫자는 (바 표기법을 사용하지 않고) 한 두 개의 무한 표현을 포함하여 여러 개의 표현을 가질 것이다.

1. 0의 유한 또는 무한정 개수를 추가할 수 있다.
2. 0이 아닌 마지막 자릿수를 1로 줄일 수 있고, 각각 베이스보다 1보다 작은 숫자에 해당하는 무한한 자릿수 문자열이 추가된다(또는 다음 0자리를 대체한다).
또한 0.999... 참조)

비이성수

(실제) 비합리적인 숫자는 모든 정수 베이스에서 무한 비반복 표현을 가진다.

예를 들어 해결 불가능한 n번째 뿌리가 있다.

= y yQ(대수학 또는 다음과 같은 숫자로 함)

초월적인 것. 초월자의 수는 헤아릴 수 없고 한정된 수의 기호로 그것들을 적는 유일한 방법은 기호를 주거나 기호의 유한한 순서를 주는 것이다.

적용들

십진법

십진법(베이스-10) 힌두-아랍 숫자 체계에서 오른쪽에서 시작하는 각 위치는 10의 더 높은 힘이다. 첫 번째 위치는 100(1), 두 번째 위치 101(10), 세 번째 위치 102(10 × 10 또는 100), 네 번째 위치 103(10 × 10 × 10 또는 1000) 등을 나타낸다.

분수 값은 구분 기호로 표시되며 위치에 따라 다를 수 있다. 일반적으로 이 구분 기호는 마침표 또는 완전 정지 또는 쉼표다. 그것의 오른쪽에 있는 자릿수에 음의 힘 또는 지수로 상승된 10을 곱한다. 분리기의 오른쪽 첫 번째 위치는 연속된 각 위치에 대해 10−1(0.1), 두 번째 위치 10−2(0.01) 등을 나타낸다.

예를 들어, 기본 10의 숫자 시스템에서 2674는 다음과 같다.

(2 × 103) + (6 × 102) + (7 × 101) + (4 × 100)

또는

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

성역법

성소수 또는 염기-60 시스템은 바빌로니아 숫자와 기타 메소포타미아 시스템의 적분 및 분분 부분에 사용되었고, 헬레니즘 천문학자들은 분분 부분에만 그리스 숫자를 사용했으며, 여전히 현대적인 시간과 각도에 사용되지만, 분과 초 동안만 사용된다. 그러나 이러한 용도가 모두 위치적인 것은 아니었다.

현대는 각각의 위치를 결장이나 프라임 기호로 구분한다. 예를 들어, 시간은 10:25:59(10시간 25분 59초)일 수 있다. 각도는 유사한 표기법을 사용한다. 예를 들어, 각도는 10°25′59″(10°25분59초)일 수 있다. 두 경우 모두 분 단위와 초 단위만 성소수 표기법을 사용한다. 직사각도는 59도보다 클 수 있으며(원 주위를 한 바퀴 도는 것은 360도, 두 바퀴 도는 것은 720도 등), 시간과 각도는 모두 1초의 소수 분율을 사용한다.[citation needed] 이는 헬레니즘과 르네상스 천문학자들이 3분의 1, 4분의 1을 더 미세하게 증가시키기 위해 사용했던 숫자와 대비된다. Where we might write 10°25′59.392″, they would have written 10°25592331 \prime \premium premy \prime \premy}} 또는 10°2559233112iiiiiiivv

대문자와 소문자가 있는 숫자 세트를 사용하면 성역수 숫자(예: 10:25:59는 'ARZ'(I와 O는 생략하되 i와 o는 제외)가 되어 URL 등에 유용하지만, 인간에게는 그다지 이해할 수 없다.

1930년대에 오토 네우게바우어는 바빌로니아어와 헬레니즘 숫자에 대해 현대적인 십진법 표기법을 각 위치에서 0에서 59까지 대체하는 근대적 공칭 체계를 도입하면서, 세미콜론(;)을 사용하여 숫자의 적분과 분수를 분리하고 쉼표(,)를 사용하여 각 부분 내의 위치를 분리했다.[16] 예를 들어 바빌로니아와 헬레니즘 천문학자들이 모두 사용하고 히브리 달력에서 여전히 사용되는 평균 시뇨 월은 29,31,50,8,20일이며, 위의 예에서 사용된 각도는 10;25,59,23,31,12도일 것이다.

컴퓨팅

컴퓨팅에서는 이진수(베이스-2), 8진수(베이스-8) 및 16진수(베이스-16) 베이스가 가장 일반적으로 사용된다. 컴퓨터는 가장 기본적인 수준에서 기존의 영점과 영점의 순서만을 다루기 때문에 이러한 의미에서 2의 힘을 다루는 것이 더 쉽다. 16진수 시스템은 이진수를 위한 "속기"로 사용된다. 모든 4진수(비트)는 하나의 16진수 숫자와만 관련이 있다. 16진수에서 9 뒤의 여섯 자리는 A, B, C, D, E, F(그리고 때로는 a, b, c, d, e, f)로 표시된다.

8진법은 이진수를 나타내는 또 다른 방법으로도 사용된다. 이 경우 베이스는 8이므로 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 및 7자리 숫자만 사용한다. 2진수에서 8진수로 변환할 때 3비트마다 1개의 8진수만 관련이 있다.

16진법, 10진법, 8진법 및 그 밖의 다양한 베이스가 바이너리-투-텍스트 인코딩, 임의-정밀 산술의 구현 및 기타 어플리케이션에 사용되었다.

기준 및 기준 응용 프로그램 목록은 숫자 시스템 목록을 참조하십시오.

인간 언어의 다른 기초

base-12 시스템(이중치수 또는 십수)은 base-10보다 곱셈과 나눗셈이 쉽고, 덧셈과 뺄셈도 그만큼 쉽기 때문에 인기가 있었다. 12는 여러 가지 요인이 있기 때문에 유용한 기초가 된다. 그것은 하나, 둘, 셋, 넷, 여섯 중에서 가장 작은 공통배수다. 영어에는 아직도 "dozen"이라는 특별한 단어가 있는데, 102,100이라는 단어와 유추하여 상업은 122,grogen이라는 단어를 발전시켰다. 표준 12시간 시계와 영어 단위의 12시간 공통 사용은 기지의 효용성을 강조한다. 또한, 십진법으로 전환되기 전에는 영국 파운드 스털링(GBP)이 베이스-12를 부분적으로 사용했는데, 1실링(s), 1파운드(파운드)에 12펜스(d), 20실링(파운드)이 있었고, 따라서 1파운드에는 240펜스가 있었다. 따라서 LSD 또는 더 적절하게 £SD라는 용어는 다음과 같다.

마야 문명콜럼비아 메소아메리카 이전의 다른 문명들은 몇몇 북아메리카 부족들이 그랬던 것처럼 베이스-20 (바이거멀)을 사용했다. 20세 미만 카운트 시스템의 증거는 중서부 아프리카의 언어에서도 발견된다.

60년부터 99년까지의 숫자 이름에서 볼 수 있듯이, 골리쉬 베이스-20 시스템의 잔재물도 프랑스어로 존재한다. 예를 들어, 65는 sixante-sinq(문자적으로 "sixty [및] 5")이고, 75는 sixante-quinze(문자적으로 "sixty [및] 15")이다. 또한, 80-99 사이의 숫자에 대해 "텐스-칼럼" 숫자는 20의 배수로 표현된다. 예를 들어 82는 콰트르빈트듀(문학적으로 4 20[s] [그리고 2])이고, 92는 콰트르빈트두즈(문학적으로 4 20[s] [그리고 12])이다. 고대 프랑스어에서는 40을 2 20으로 표현하고, 60을 3 20으로 표현하여 53을 2 20[] 13 등으로 표현하였다.

영어에서는 "점수"를 사용할 때 동일한 base-20 계산이 나타난다. 대부분 역사적이긴 하지만 가끔 구어체로 쓰인다. 킹 제임스 성경에 나오는 프슬람 90절의 10절은 다음과 같다: "우리의 세월은 삼 년 십 년이다. 그리고 힘 때문에 사 년이면 그들의 힘으로는 노동과 슬픔이 있다." 게티스버그 연설은 "4점 7년 전"으로 시작된다.

아일랜드 언어는 또한 과거에 베이스-20을 사용했는데, 20은 피치드, 40 dhah fhichid, 60 tri fhichid, 80 ceithre fhichid를 사용했다. 이 체계의 잔재는 현대 단어에서 40으로 볼 수 있다, 도이크헤드라고 볼 수 있다.

웨일즈 언어는 특히 사람들의 나이, 날짜, 그리고 공통의 구에 대해 20세 이하의 카운트 시스템을 계속 사용하고 있다. 15는 또한 중요하며, 16–19는 "15에 1"이고, "15에 2" 등 18은 일반적으로 "2nines"이다. 십진법은 흔히 사용된다.

이누이트어들20개의 기본 계수를 사용한다. 알래스카의 Kaktobik 출신의 학생들은 1994년에[17] 기본 20의 숫자 체계를 발명했다.

덴마크 숫자들은 유사한 base-20 구조를 보여준다.

뉴질랜드의 마오리언어는 또한 테 호코우히투 a Tu에서 볼 수 있는 기본적인 20 체계의 증거를 가지고 있는데, 이는 전쟁당(문학적으로 "투의 7대 20")을 지칭하는 용어), 타마호코타히("하나의 전사" 20과 같은)를 지칭하는 용어다마호코타히(Tama-hokotahi)에서 볼 수 있다.

2진법은 기원전 3000년에서 2050년까지 이집트 고대 왕국에서 사용되었다. 1 대 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64보다 작은 합리적인 숫자들을 반올림하여 대충 만들었고, 1/64 용어는 버려졌다(시스템은 호루스의 눈이라고 불렸다).

많은 호주 원주민 언어들은 이진법이나 이진법 같은 계산법을 사용한다. 예를 들어, Kala Lagaw Ya에서 1에서 6까지의 숫자는 우라폰, 우카사르, 우카사르-우라폰, 우카사르-우카사르-우라폰, 우카사르-우카사르-우카사르-우카사르-우카사르-우카사르이다.

북미 원주민과 중미 원주민들은 4개의 기본 방향을 나타내기 위해 기지-4기지를 사용했다. 중간계 미국인들은 변형된 베이스-20 시스템을 만들기 위해 두 번째 베이스-5 시스템을 추가하는 경향이 있었다.

베이스-5 시스템(쿼리)은 많은 문화권에서 계수용으로 사용되어 왔다. 분명히 그것은 사람의 손에 있는 자릿수에 기초한다. 베이스-10, 베이스20, 베이스60 등 다른 베이스의 서브베이스로도 간주할 수 있다.

베이스-8 시스템(옥탈)은 북부 캘리포니아의 유키 일족이 고안한 것으로 손가락 사이의 공간을 이용하여 1부터 8까지의 숫자에 해당하는 숫자를 세었다.[18] 청동기 시대의 프로토-인도 유럽인들(대부분의 유럽어와 인디안 언어들로부터)이 베이스-8 시스템(또는 8까지만 셀 수 있는 시스템)을 베이스-10 시스템으로 대체했을 수도 있다는 언어학적 증거도 있다. 그 증거는 9, newm이라는 단어가 "new", newo-"라는 단어에서 유래하기 위해 몇몇 사람들에 의해 제안된다는 것인데, 이는 숫자 9가 최근에 발명되어 "new number"[19]라고 불렸음을 암시한다.

많은 고대 계수 시스템은 1차적으로 5개를 사용하는데, 거의 확실히 사람의 손 위에 있는 손가락의 숫자에서 나온다. 종종 이러한 시스템은 2차적 기반, 때로는 10, 때로는 20으로 보완된다. 일부 아프리카 언어에서 5의 단어는 "손" 또는 "fist"(기니비사우다올라어, 중앙아프리카반다어)와 같다. 5의 조합에 1, 2, 3, 4를 더하면 2차 베이스에 도달할 때까지 카운트가 계속된다. 20세의 경우, 이 단어는 종종 "인간완전"을 의미한다. 이 시스템을 Ququinavigesimal이라고 한다. 이것은 수단 지역의 많은 언어에서 발견된다.

파푸아 뉴기니에서 사용되는 텔레포어(Telefoll language)는 염기-27의 숫자 체계를 가진 것으로 유명하다.

비표준 위치수 시스템

기초가 고정되지 않거나 양수적이지 않고 숫자 기호가 설정되면 음수 값을 나타내는 흥미로운 속성이 존재한다. 더 많은 변형이 있다. 이 시스템들은 컴퓨터 과학자들에게 실용적이고 이론적인 가치가 있다.

균형잡힌 3개[20] 기본값은 3이지만 숫자 집합은 {0,1,2}이(가) 아닌 {1,0,1}이다. "1"의 값은 -1이다. 숫자의 부정은 1초를 켜면 쉽게 형성된다. 이 시스템은 알려지지 않은 가중치를 결정하기 위해 알려진 최소의 가중치 집합을 찾아야 하는 균형 문제를 해결하는 데 사용될 수 있다. 1, 3, 9, ... 3개의n 알려진 단위를 사용하여 최대 1 + 3 + ...까지 알려지지 않은 무게를 결정할 수 있다. + 3단위n. 무게는 잔액의 어느 한 쪽에 쓰이거나 전혀 쓸 수 없다. 중량을 알 수 없는 밸런스팬에 사용되는 가중치는 1로 지정되며 빈 팬에 사용할 경우 1로 지정되며 사용하지 않을 경우 0으로 지정된다. 무명중량 W가 팬에 31(3), 1과 27(3과0 33)으로 균형을 이룬다면, 10진수 중량은 균형 잡힌 베이스-3에서 25 또는 1011이다.

10113 = 1 × 33 + 0 × 32 − 1 × 31 + 1 × 30 = 25.

요인 번호 시스템은 위치 값으로 요인 값을 제공하는 다양한 라디스를 사용한다. 이 라디스는 중국 나머지 정리잔여 번호 시스템 열거와 관련이 있다. 이 시스템은 효과적으로 순열을 열거한다. 이것의 파생상품은 카운트 시스템으로 하노이 타워스 퍼즐 구성을 사용한다. 타워의 구성은 구성이 발생하는 단계의 소수점 카운트와 1대 1로 일치할 수 있으며 그 반대의 경우도 가능하다.

십진수 등가물 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
균형기준3길 10 11 1 0 1 11 10 11 111 110 111 101
기준 -2 1101 10 11 0 1 110 111 100 101 11010 11011 11000
인자체 0 10 100 110 200 210 1000 1010 1100

비위치

각각의 위치가 위치 그 자체일 필요는 없다. 바빌론의 60의 숫자지만, 각 위치에서 조각과 수십( 좁은 수직 웨지()를 나타내는 두 종류의 단체와 열린 왼쪽 웨지(<>)을 가리키고)위치 있었다.위치(5수만명(<><><><><>)14기호와 9사람들()에 —up 하나 또는 두개의 사각형으로 symbols,의 3개층에서 모였다. 또는 직위가 부족하여 플레이스홀더(\\)를 보유할 수 있다.[21] 헬레니즘 천문학자들은 각 위치에 대해 하나 또는 두 개의 알파벳 숫자를 사용했다(10-50을 나타내는 5자 중에서 하나, 1-9를 나타내는 9자 중에서 하나 또는 0 기호를 나타내는 하나).[22]

참고 항목

예:

관련 항목:

기타:

메모들

  1. ^ Kaplan, Robert (2000). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford: Oxford University Press. pp. 11–12 – via archive.org.
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  12. ^ 일반적으로 숫자가 높을수록 체계적 조직에서 낮은 숫자 베이스의 공칭적 확장일 수 있기 때문에 일반적으로 숫자는 다른 숫자 베이스에서 그 의미를 유지할 것이다. 수학적 과학에서 10 이하의 각 베이스에 대해 사실상 하나의 위치 알림 숫자 시스템이 존재하며, 이는 10 이상의 베이스에 대한 알파벳 자릿수 선택에 있어 거의 차이가 없다 하더라도 확대된다.
  13. ^ 일반적으로 소문자 "l"과 소문자 "o"는 제거하지 않는다. 대부분의 글꼴에서 숫자 "1"과 "0"에서 구별할 수 있다.
  14. ^ User 'Gone'. "number systems - How to change from base $n$ to $m$". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 6 August 2020.
  15. ^ ,… , 의 정확한 크기는 중요하지 않다. 그들은 1파운드만 있으면 된다.
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  20. ^ 크누스, 195-213페이지
  21. ^ 이프라, 326쪽 379쪽
  22. ^ Ifra, 261-264페이지

참조

외부 링크