추월기준

경제학에서 추월 기준은 결과의 무한한 흐름을 비교하는 데 사용된다.수학적으로, 무한 시간 간격에 대한 최적 제어 문제에 대한 최적성의 개념을 적절히 정의하는데 사용된다.^[1]

종종 정책 입안자의 결정은 먼 미래로 확장되는 영향을 미칠 수 있다.오늘날 행해진 경제적 결정은 미래의 알려지지 않은 몇 년 동안 국가의 경제 성장에 영향을 미칠 수 있다.이러한 경우, 미래의 결과를 무한의 흐름으로 모델링하는 것이 편리할 때가 많다.그런 다음 두 개의 무한 스트림을 비교하고 그 중 어느 것이 더 나은지(예를 들어 정책을 결정하기 위해) 결정해야 할 수도 있다.추월 기준은 이 비교를 위한 하나의 선택사항이다.

표기법

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 가능한 결과의 집합이다.예를 들어, 가능한 연간 국내총생산을 나타내는 양의 실수 집합일 수 있다.정상화되었다.

$∞{\$는 가능한$$ 결과의 무한 시퀀스 집합이다.$X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$의 각 요소는 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots )}$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots )}$ 형식이다$.$

$【\displaystyle \preceq$】}은$($는) 부분 주문이다.두 개의 무한 시퀀스 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,y}$을$($를) 감안할 때 x ${\$$displaystyle x\succeq$ $y$$\}$이$($${\displaystyle )}$ 약하게 더$$ 낫거나$($${\displaystyle }$ ${\displaystyle ⪰}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\succeq$ x$\})$ $비교$할 수 없을 가능성이 있다.

${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle \preceq$ $}$의 엄격한 $변형$인${\displaystyle }$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \preceq$ $\},$ 즉 x ⪯ y ${\displaystyle x\preceq$ y$}$이(가) 아닌$$ 경우$$ x ${\displaystyle \prec }$ y$$${\displaystystyle y\pseq x}$이다$.$

추기경 정의

${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle \prec }$은(^[2]는) ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {}_{}u\mathbb{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… : ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ →${\displaystyle }$R${\$ X\$to \mathb {R}}}$의 순서가 무한대인 경우 "추월 기준"으로 불린다$$.

${\displaystyle x\prec y}$ iff ${\displaystyle \exists N_{0}:\forall N>N_{0}:\sum _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})<\sum _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})}$

다른 조건은 다음과 같다.^[3][4]

${\displaystyle x\prec y}$ iff ${\displaystyle 0<\lim \inf _{N\to \infty }\sum _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})-\sum _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})}$

예:

1. 다음 예에서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$을(를) 참조하십시오$.$

${\displaystyle x=(0,0,0,0,0,0,0,...)}$

${\displaystyle y=(-1,2,0,0,...))}$

이는 단일 기간의 차이가 전체 시퀀스에 영향을 미칠 수 있음을 보여준다.

2. $다음{\displaystyle }$ 예에서 x ${\displaystyle x}$과 y ${\displaystyle y}$은(는) 비교할 수 없다.

${\displaystyle x=(4,1,4,4,1,4,4,\ldots )}$

${\displaystyle y=(3,3,3,3,3,3,3,3,3,\ldots )}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 부분 합계가 더 크거나 작거나 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 부분 합과 같으므로 이러한 시퀀스 중 어느 것도 다른 시퀀스를 "반복"하지 않는다$.$

이는 추월 기준이 하나의 기본적인 효용 함수로 나타낼 수 없음을 보여준다.I.e, there is no real-valued function ${\displaystyle U}$ such that ${\displaystyle x\prec y}$ iff ${\displaystyle U(x)<U(y)}$. One way to see this is:^[3] for every ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle a<b}$:

${\displaystyle (a,a,\ldots )\dits (a+1,a,\ldots )\dots (b,b,\ldots )}$

Hence, there is a set of disjoint nonempty segments in ${\displaystyle (X,\prec )}$ with a cardinality like the cardinality of ${\displaystyle \mathbb {R} }$. In contrast, every set of disjoint nonempty segments in ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\prec )}$ must be a countable set.

순서 정의

${\displaystyle X_{}}$ T ${\$를 첫 번째 T 원소만 0이 $아닌$ X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${$${\$displaystyle$ X$^{\inflt}}$의 부분 집합으로 정의하십시오$$.$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$의 각 요소는${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$,${\displaystyle 0}$, 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 0}$ , 0 , 0${\displaystyle }$, …${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,\ldots )}$의 형식이다$.$

${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle \prec}$은(는) 다음과 같은 공리를 만족하는 경우 "추월 기준"이라고$$ 한다.

1. $모든{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$에 대해 $⪯$ ${\displaystyle \preceq }$은(는) $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$에 대한 완전한 주문이다.

2. 모든 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에 대해 $⪯$ ${\displaystyle \preceq }$은(는) $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$의 명백한 위상에서의 연속적인 관계다$.$

3. 각 > 1 ${\displaystyle T>1}$에 $대해{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle X_{}}$ T ${\$는 우선 독립적이다(Debreu 정리#정의에 대한 서수 효용 함수의 추가성 참조).또한 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 3 ${\displaystyle T\geq 3}$에 대해$$$X{\displaystyle {}_{}}$ T ${\$의 요인 중 최소한 3개가 필수적이다$$(선호도에 영향을 미침).

4. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ifff T 0: >0 : ( , ,0 , , 0,… ) ( , , , ,0 , ,)${\displaysty \exists T_{0:\all T>$$T_{0}:(x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,0,\ldots )\prec(y_{1},y_{T},0,0,0,0,\ldots )}$

이러한 공리를 만족시키는 모든 부분적인 순서는 최초의 추기경 정의도 만족시킨다.^[2]

위에서 설명한 것처럼, 추월 기준으로는 비교할 수 없는 시퀀스가 있을 수 있다.추월 기준이 $∞{\$ X$^{\inflt$에 부분순서로 정의되고 X ${\displaystyle T_{}}$ ${\$에만 완전한 순서가 정의되는 이유다$.$

적용들

추월 기준은 경제성장 이론에 사용된다.^[5]

그것은 또한 평균 한계 기준과 할인 합계 기준의 대안으로 반복적인 게임 이론에서도 사용된다.민속 정리 보기(게임 이론)#추월.^[3][4]

참고 항목

• 데브레우 정리
• 기본 효용
• 순서형 효용

참조