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수 이론(또는 더 오래된 용법에서는 산술 또는 더 높은 산술)은 주로 정수와 정수값 함수의 연구에 전념하는 순수 수학의 한 분야이다.독일 수학자 카를 프리드리히 가우스 (1777–1855)는 "수학은 과학의 여왕이고, 수 이론은 ^{[1][note 1]}수학의 여왕이다."라고 말했다.숫자 이론가들은 소수뿐만 아니라 정수로 만들어지거나 정수의 일반화(예: 대수적 정수)로 정의되는 수학적 객체의 특성도 연구한다.

정수는 그 자체로 또는 방정식(디오판타인 기하학)에 대한 해로 간주할 수 있습니다.수 이론의 질문은 정수, 소수 또는 다른 수 이론 물체의 특성을 어떤 방식으로 인코딩하는 해석적 물체(예를 들어, 리만 제타 함수)의 연구를 통해 가장 잘 이해된다.또한 유리수와 관련된 실수를 연구할 수 있다. 예를 들어, 유리수의 근사치(디오판틴 근사치)를 들 수 있다.

수이론의 오래된 용어는 산수이다.20세기 초까지, 그것은 "숫자 이론"^{[note 2]}으로 대체되었다. ("산술"이라는 단어는 일반 대중들에 의해 "초급 계산"을 의미하기 위해 사용된다; 그것은 또한 피아노 산술에서와 같이 수리 논리학에서, 그리고 부동 소수점 산술에서와 같이 컴퓨터 과학에서 다른 의미를 얻었다.)산술이라는 용어의 사용은 20세기 후반에 프랑스의 ^{[note 3]}영향으로 인해 어느 정도 기반을 되찾았다.특히 산술은 수이론에 대한 형용사로서 일반적으로 선호된다.

역사

오리진스

산수의 새벽

산술적 성질에 대한 최초의 역사적 발견은 표의 조각이다: 깨진 점토판 플림튼 322(Larsa, 메소포타미아, ca. ${\displaystyle \mathrm{1800}}$ BC)는 2${\displaystyle {}^{}}$+ $= cstyle$과 $같은{\displaystyle {}^{}}$ 정수${\displaystyle }$($a,$ b,$c)$의 ${\displaystyle {목록}^{}}$을 포함하고 있다.$}=c^{$2$\}\}.$3배는 너무 많고 너무 커서 폭력으로 얻었을 수 없다.첫 번째 열 머리글에는 다음과 같이 적혀 있다: "너비가 뺄셈된 대각선의 타킬툼..."^[2]

표의 레이아웃은^[3] 그것이 현대 언어로, 정체성에 대한 양에 의해 구성되었음을 암시한다.

$\displaystyle \frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}\right)^{2}+1=\left\frac {1}{2}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^2}\left(x-{2})$

올드 바빌로니아의 일상적인 ^[4]연습에 내포되어 있다.다른 방법을 ^[5]사용한 경우, 트리플은 처음에 구성되고 $/\displaystyle c$$a$에 의해 정렬됩니다.예를 들어 어플리케이션을 보기 위해 실제 "테이블"로 사용할 수 있습니다.

이러한 응용 프로그램이 무엇이었는지, 또는 어떤 응용 프로그램이 있었을지는 알려지지 않았다. 예를 들어, 바빌로니아 천문학은 나중에야 비로소 그 응용 프로그램이 본격적으로 자리잡았다.대신 이 표는 학교 ^{[6][note 4]}문제에 대한 수치적 사례의 원천이 되었다는 주장이 제기되었다.

바빌로니아 수론(또는 그렇게 부를 수 있는 바빌로니아 수학에서 살아남은 것)이 이 하나의 인상적인 조각으로 이루어진 반면, 바빌로니아 대수학은 예외적으로 잘 ^[7]발달되어 있었다.후기 신플라톤학^[8] 자료들은 피타고라스가 바빌로니아인들에게 수학을 배웠다고 말한다.훨씬 이전의^[9] 자료들은 탈레스와 피타고라스가 이집트를 여행하고 공부했다고 말한다.

Euclid IX 21$–$[10]34는$$ 피타고라스어일 가능성이 매우 높으며, 매우 단순한 물질("홀수 시간은 짝수이다", "만약 홀수가 짝수를 [= 나눗셈]한다면, 그 반을 [= 나눗셈$]$도 측정한다."), 그러나 $2가$^[11]비이성적이라는 $것$을 증명하는 데 필요한 것은 충분합니다.피타고라스 신비주의자들은 홀수와 ^[12]짝수를 매우 중요하게 여겼다.2$($스타일 {$sqrt {2}})$가 비이성적이라는 $발견$은 초기 피타고라스인(^[13]테오도로스 이전)의 소행으로 여겨진다.숫자가 비이성적일 수 있다는 것을 밝혀냄으로써, 이 발견은 수학 역사에서 첫 번째 근본적인 위기를 야기한 것으로 보인다; 그것의 증거 또는 누설은 때때로 피타고라스 ^[14]종파에서 추방되거나 갈라진 히파소스의 공로를 인정받는다.이것은 한편으로 숫자(정수와 유리수, 즉 산술의 주제)와 길이와 비율(합리적이든 아니든 실수로 식별)을 구별하도록 강요했다.

피타고라스의 전통은 또한 소위 다각형 또는 피규어 ^[15]숫자에 대해 이야기했다.제곱수, 입방수 등이 삼각수, 오각수 등보다 자연스럽다고 여겨지지만, 삼각수와 오각수의 합계에 대한 연구는 근대 초기(17세기에서 19세기 초)에 성과를 거두었을 것이다.

고대 이집트나 베다어 문헌에 명확한 산술적 자료가 있는 것은 아니지만, 각각에 대수가 있다.중국의 나머지 정리는 손쯔 쑤안징(3세기, 4세기 또는 5세기)^[17]에서 연습으로 나타난다.(Sunzi의 ^{[note 5]}솔루션에는 Aryabhaaa의 Ku)aka에 의해 나중에 해결된 문제가 있습니다 – 아래 참조).

중국 ^{[note 6]}수학에도 숫자 신비주의가 있지만 피타고라스의 그것과는 달리, 그것은 아무 것도 이끌어내지 못한 것으로 보인다.피타고라스의 완벽한 숫자처럼, 마법의 사각형은 미신에서 오락으로 바뀌었다.

고전 그리스와 초기 헬레니즘 시대

고전 그리스의 수학은 몇 개의 단편 외에도 현대의 비수학자 또는 초기 헬레니즘 ^[18]시대의 수학 작품을 통해 우리에게 알려져 있다.수론의 경우, 이것은 대체로 플라톤과 유클리드를 각각 의미한다.

아시아 수학이 그리스와 헬레니즘 학습에 영향을 미쳤지만 그리스 수학도 토착 전통인 것 같다.

에우세비우스, PE X, 제 4 장에서 피타고라스에 대해 언급:

사실 피타고라스는 각 나라의 지혜를 공부하느라 바빌론, 이집트, 페르시아 전역을 방문해 마기족과 성직자들의 지도를 받았다.또 이들 외에도 그는 브라만(이들은 인도 철학자들이다) 밑에서 공부한 것으로 알려져 있다.그리고 그는 어떤 것들로부터 점성술, 기하학, 산수를 수집했다.다른 사람들로부터의 음악, 다른 나라로부터의 다른 것, 그리고 그리스의 현명한 사람들로부터 얻은 것은 아무것도 없습니다.그들이 가난과 지혜의 부족과 결혼했기 때문입니다.그러므로 반대로 그는 그리스인들에게 외국에서 ^[19]배운 것을 가르치는 저자가 되었습니다.

아리스토텔레스는 플라톤의 철학이 피타고라스인들의 ^[20]가르침을 밀접하게 따랐다고 주장했고 키케로는 이 주장을 반복했다.플라톤이 피타고라스의 모든 것을 배웠다고 그들은 말한다.^[21]

플라톤은 수학에 깊은 관심을 가지고 있었고 산수와 계산을 명확히 구분했다.(일부 산술은 산술이나 수 이론이 의미하는 바가 아니라 수에 대한 이론을 의미했다.)플라톤의 대화 중 하나인 테에테투스를 통해 테오도로스가${\displaystyle }$3, ${\displaystyle 5\sqrt{\mathrm{}}}$,${\displaystyle \dots ,}$ $,$ ${\sqrt {5},$ \$dots,$ {\$sqrt {17}}$이(가) 비이성적이라는 것을 증명했다는 것을 알 수 있다.테아에테토스는 플라톤과 마찬가지로 테오도루스의 제자였고, 그는 다른 종류의 불협화음을 구별하기 위해 노력했고, 따라서 거의 틀림없이 숫자 체계 연구의 선구자였다. (유클리드 원소의 제 X권은 파푸스에 의해 테아에테토스의 작품에 주로 기초하고 있다고 묘사된다.)

유클리드는 소수와 나눗셈에 그의 원소들의 일부를 바쳤는데, 이는 수 이론에 분명하고 기본적인 주제이다.특히, 그는 두 숫자의 최대공약수를 계산하는 알고리즘(유클리드 알고리즘; 요소, 7.2)과 소수(원소, 7.2)의 무한함에 대한 최초의 알려진 증거를 제시했습니다.IX.20)

1773년, 레싱은 사서로 일하는 동안 원고에서 발견한 경구를 출판했다; 그것은 아르키메데스가 에라토스테네스에게 ^[22][23]보낸 편지라고 주장했다.그 경구는 아르키메데스의 소 문제라고 알려진 것을 제안했다; 그 해법은 (원고에서 부재한) 불확실한 2차 방정식을 풀어야 한다.우리가 아는 한, 그러한 방정식은 인도 학파에 의해 처음으로 성공적으로 다루어졌다.아르키메데스 자신이 해결 방법을 가지고 있었는지는 알려지지 않았다.

디오판토스

알렉산드리아의 디오판토스에 대해서는 거의 알려져 있지 않다; 그는 아마도 유클리드 이후 약 500년 후인 서기 3세기에 살았다.디오판투스의 산술서 13권 중 6권은 그리스어 원본으로 남아 있고 4권은 아랍어 번역본으로 남아 있다.산술적 계산은 다항식 시스템에 대한 합리적인 해법을 찾는 것이 과제인 해결된 문제의 집합이다. 일반적으로${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ($x$ ${\displaystyle ,}$y ) $=$ ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle x}$ ,$$y ) = ${\displaystyle {}^{}}$$^{$$2$} $또는{\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {w\mathrm{}}^{}}$ 2 ( \ $displaystyle f (x$, y , z ) =$$w w$$^{2} $\}.$ 오늘날,n 우리는 유리해 또는 정수해를 찾아야 하는 다항식을 말한다.

누군가는 디오판투스가 합리적인 점, 즉 곡선과 대수적 다양성에 대한 좌표가 합리적인 점을 연구하고 있었다고 말할 수 있다. 하지만, 우리가 기하학적 용어로 지금 기초 대수학이라고 부르는 것을 했던 고전 시대의 그리스인들과 달리, 디오판투스는 순수하게 대수학적 용어로 우리가 기초 대수학이라고 부르는 것을 했다.현대 언어에서 디오판투스가 한 일은 다양성의 합리적 매개변수를 찾는 것이었다. 즉, f${\displaystyle ({}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {x3\mathrm{}}_{}}$ $=$ $($$xstyle$ f$(x_{1$}, $x_{2}, x_{3$}=$0$의 등식이 주어진다면, ${\displaystyle {}_{}}$의 목표는 $g_1$의${\displaystyle {}_{}}$3가지 ${\displaystyle {유리함수}_{}}$를 찾는 것이었다$.$$$ 이와 같이$$$r$의 모든 값에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle \mathrm{i<img\; alt="r"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.049ex;\; height:1.676ex;">}=}$ ${\displaystyle 1}$, 2, 3({$displaystyle$$i$${\displaystyle {}_{}}$$1$, 2, ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$에 ${\displaystyle {}_{}}$ $=$ $s$${\displaystyle )}$를 ${\displaystyle {설정}_{}}$하면 f${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 1, ${\displaystyle {}_{}}$ 2, x 3)$$ 0(x$)style$f($x{\displaystyle }$)에 대한 솔루션이 제공됩니다$.$$}$

디오판투스는 또한 이성적인 매개 변수가 불가능한 일부 비합리적인 곡선의 방정식을 연구했다.그는 접선구축에 해당하는 것에 의해 이러한 곡선(발생한 것으로 보이는 최초의 엘렉틱 곡선)에서 몇 가지 합리적인 점을 찾아냈다: 좌표기하학으로 번역된(디오판토스의 시간에는 존재하지 않았던), 그의 방법은 알려진 라티에서의 곡선에 대한 접선으로 시각화될 것이다.원점, 그리고 나서 곡선과 접선의 다른 교차점을 찾습니다. 그 다른 점은 새로운 유리점입니다. (디오판투스도 2차 구조의 특수한 경우에 의존합니다.)

디오판투스는 주로 합리적인 해법에 관심이 있었지만, 정수, 특히 모든 정수는 4제곱의 합계라고 가정했다.

아랴바차, 브라흐마굽타, 바스카라

그리스 천문학이 인도의 ^[24]학습에 영향을 미쳤을지 모르지만 삼각법을 도입할 정도로 인도 수학은 다른 토착 전통인 ^[25]것 같다; 특히, 유클리드의 원소가 18세기 ^[26]이전에 인도에 도달했다는 증거는 없다.

Āryabhaṭa(476–550 AD)이 동시 congruences n의 짝들은 1모드 m1{\displaystylen\equiv a_{1}{\bmod{m}}_{1}}, n≡ ≡를 보여 준 2모드 m2{\displaystylen\equiv a_{2}{\bmod{m}}_{2}}이 될 수도 있고 해결된 법 그가 전화해 kuṭṭaka, 또는 pulveriser,[27]이것은 절차에 가까운(의 일반화를)기히히히인도에서 독립적으로 ^[28]발견되었을 가능성이 있는 uclidean 알고리즘.아랴바샤는 천문학적 ^[24]계산에 적용할 것을 염두에 둔 것으로 보인다.

브라흐마굽타 (628 AD)는 부정 2차 방정식, 특히 아르키메데스가 처음 관심을 가졌을지도 모르는 잘못된 이름의 펠 방정식에 대한 체계적인 연구를 시작했고, 이는 페르마와 오일러의 시대까지 서양에서 풀리기 시작했다.후대의 산스크리트 작가들은 브라흐마굽타의 전문 용어를 사용하여 그 뒤를 따랐습니다.펠의 방정식을 풀기 위한 일반적인 절차 (차크라발라 또는 "순환적 방법")는 마침내 자야데바에 의해 발견되었다; 가장 먼저 남아있는 설명은 바스카라 2세의 B-ja-gaitaita (12세기)^[29]에 나타난다.

인도 수학은 18세기 ^[30]후반까지 유럽에서 거의 알려지지 않았다; 브라흐마굽타와 바스카라의 작품은 헨리 콜브룩에 ^[31]의해 1817년에 영어로 번역되었다.

이슬람 황금기의 산수

9세기 초에 칼리프 알 마문은 많은 그리스 수학 작품과 적어도 하나의 산스크리트 작품(브라마굽타의 브라흐마스푸아시단타일 수도 있고 아닐 수도 있는^[33] 신딘드)의 번역을 명령했다.디오판투스의 주요 작품인 산술메티카는 쿠스타 이븐 루카에 의해 아랍어로 번역되었다.논문 알-파흐리(al-Karaj,, 953 – ca. 1029)의 일부는 어느 정도 이를 기반으로 한다.Rashed Roshdi에 따르면, Al-Karaj'의 동시대의 Ibn al-Haytham은^[34] 나중에 윌슨의 정리라고 불리게 될 것을 알고 있었다.

중세 서유럽

북아프리카와 콘스탄티노플을 여행하고 공부한 피보나찌의 산술적 수열적 제곱에 관한 논문 외에는 중세 서유럽에서는 어떤 수의 이론도 행해지지 않았다.그리스 고대 작품들에 대한 새로운 연구 덕분에 르네상스 후반에 유럽에서 상황이 바뀌기 시작했다.기폭제는 디오판투스의 산술메티카의 ^[35]원문을 수정하고 라틴어로 번역하는 것이었다.

근대 초기 수론

페르마

피에르 드 페르마 (1607–1665)는 결코 그의 글을 출판하지 않았다; 특히, 수론에 대한 그의 연구는 거의 전적으로 수학자들에게 보내는 편지와 개인적인 한계 ^[36]주석에 포함되어 있다.그의 메모와 편지에서, 그는 거의 어떤 증거도 쓰지 않았다. 그는 그 ^[37]지역에 모델이 없었다.

페르마는 평생 동안 이 분야에 다음과 같은 공헌을 했습니다.

• 페르마의 첫 번째 관심사 중 하나는 완벽한 수 (유클리드, 원소 9에 나오는)와 우호적인 ^{[note 7]}수였다; 이러한 주제들은 그를 그 ^[38]날의 수학 공동체와 접촉하게 한 통신의 주제들 (1636년 이후)의 처음부터 정수 제수를 연구하도록 이끌었다.
• 1638년 페르마는 증거 없이 모든 정수가 4제곱 이하의 ^[39]합으로 표현될 수 있다고 주장했다.
• 페르마의 작은 정리(1640):^[40] a가 소수 p로 나누어지지 않으면 ${\displaystyle p^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle mod}$ p$.$ ({$displaystyle$ a$^{p-1}\equiv$ 1${\bmod {p})$$}$^{[note 8]}
• a와 b가 공명일 경우 $a{\displaystyle {}^{}{}^{}}$ +$$ 2(\$displaystyle a^{2}+$b^{$2$)}은$$(는) -1 ^[41]modulo 4에 해당하는 소수 합동으로 나누어지지 않으며, 1 modulo 4에 해당하는 모든 소수 합동은 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$2 +$$ 2(\$display$ style$a^{2}+b^{$2$\}\})$^[42] ${\displaystyle {형식}^{}}$으로 쓸 수 있습니다$.$이 두 진술은 또한 1640년으로 거슬러 올라갑니다; 1659년 페르마는 호이겐스에게 그가 무한 ^[43]하강법으로 후자의 진술을 증명했다고 말했습니다.
• 1657년 페르마는 영국 수학자들에게 x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $=$ ({$displaystyle$ x$^{2}-Ny^{2$}=$1})$을 푸는 문제를 제기했다.그 문제는 월리스와 브런커에 ^[44]의해 몇 달 만에 해결되었다.페르마는 그들의 해법이 유효하다고 생각했지만, 그들이 증명 없이 알고리즘을 제공했다고 지적했다(페르마는 이를 알지 못했지만 자야데바와 바스카라처럼).그는 무한 하강으로 증거를 찾을 수 있다고 말했다.
• 페르마는 디오판투스 관측(Obs. XLV)^[45] 부록에서 ${\displaystyle {x4\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {y4\mathrm{}}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {z4\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle x^{4}+y^{4$}=$z^{4})$가 정수에 비결정적 용액이 없음을 (무한 강하로) 증명했다.페르마는 또한 ${\displaystyle {그}^{}}$의 ${\displaystyle {통신원들}^{}}$에게 ${\displaystyle {}^{}}$ + y3$=$ ${\displaystyle {z3\mathrm{}}^{}}$ ({$displaystyle x^{3$}+$y^{3}=z^{$3})는 비결정적 해는 없으며, 이것은 무한 ^[46]하강으로도 증명될 수 있다고 $언급$했다.최초의 알려진 증거는 오일러(1753; 정말로 무한 하강)^[47] 때문이다.
• 페르마는 (Fermat의 마지막 $정리)$ 모든 n $3$에 대해 ${\displaystyle x^{}}$n + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$$$$=$ ${\displaystyle z^{}}$n {\$displaystyle$ x$^{n}$ + $y^{n$}=$z^{n}$에 $대한{\displaystyle {}^{}}$ 해답이 없음을 보여줬다고 주장했다. 이 주장은 그의 디오판투스 사본 여백에 있는 주석에서 나타난다$.$

오일러

레온하르트 오일러 (1707–1783)의 수이론에 대한 관심은 1729년 그의^{[note 9]} 친구인 아마추어 골드바흐가 그에게 그 ^[48][49]주제에 대한 페르마의 연구 중 일부를 가르쳤을 때 처음 시작되었다.이것은 페르마가 그 ^[51]주제에 대해 그의 동시대인들의 관심을 얻는 데 상대적으로 성공하지 못했기 때문에 현대 수 ^[50]이론의 "재탄생"이라고 불려왔다.오일러의 수 이론 연구는 다음을 포함한다:^[52]

• 페르마의 진술에 대한 증거.여기에는 페르마의 작은 정리(오일러에 의해 비소수 모듈리로 일반화됨), p ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$2({$style$ p$=x^{2$}+$y^{2})$라는 $사실{\displaystyle }$(p${\displaystyle 1}$ 1 ${\displaystyle mod\mathrm{}}$4({$displaystyle p\equiv 1gbmod {4$이 포함되며, 모든 정수가 첫 번째 정수의 합이 된다는 것을 증명하는 첫 번째 (Joseph)uis Lagrange(1770), 곧 오일러에^[53] 의해 개선됨); x${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 4 $=$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}^{}}$2에 $대한{\displaystyle {}^{}}$ 0이 아닌 정수 해({$displaystyle$ x$^{4}+y^{4$}=$z^{2})$의 결여 (오일러가 관련된 방법으로도 증명된 페르마의 마지막 정리의 경우 n=4).
• 오일러가 ^[54]처음으로 잘못 이름 붙인 펠 방정식.그는 연속분수와 펠의 ^[55]방정식의 연관성에 대해 썼다.
• 해석수 이론을 향한 첫걸음.네 개의 제곱합, 분할, 오각수, 그리고 소수 분포에 대한 그의 작업에서, 오일러는 수 이론에서 분석으로 볼 수 있는 것의 사용을 개척했다.그는 복소해석학의 개발 이전에 살았기 때문에, 그의 연구의 대부분은 멱급수의 형식적인 조작에 한정되어 있다.그러나 그는 나중에 리만 제타 ^[56]함수라고 불리게 되는 것에 대해 매우 주목할 만한 초기 연구를 했다.
• 2차 형식.페르마의 선례를 따라, 오일러는 어떤 소수가 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$2 ({$displaystyle$ x$^{2}+Ny^{$^[57]2}}) $형태$로 표현될 수 있는지에 대한 질문을 더 연구했습니다.^[58][59]
• 디오판토스 방정식.오일러는 0속과 ^[60][61]1속의 디오판토스 방정식을 연구했다.특히, 그는 디오판투스의 작품을 연구했다; 그는 그것을 체계화하려고 노력했지만, 아직 그러한 노력을 할 시기가 성숙하지 않았다 – 대수기하학은 아직 ^[62]걸음마 단계에 있었다.그는 디오판토스 문제와 타원 적분 ^[62]사이에 연관성이 있다는 것을 알아차렸고, 그 연구는 그가 직접 시작했다.

라그랑주, 레전드르, 가우스

조제프 루이 라그랑주 (1736–1813)는 페르마와 오일러의 작업과 관찰의 일부에 대한 완전한 증거를 제시한 최초의 사람이다 – 예를 들어, 4제곱 정리와 잘못 명명된 "펠의 방정식"의 기본 이론 (알고리즘 해법은 페르마와 그의 동시대 사람들에 의해 발견되었고, 또한 그들의 동시대인 Jayva Bhara Bhask에 의해 발견되었습니다.)${\displaystyle {}^{}}$ m X 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}^{}}$2 (\$displaystyle mX^{2}+nY^{2})$와는 대조적으로 2차 형식을 완전 일반성으로 연구하여 등가 관계를 정의하고 축소된 형태로 만드는 방법 등을 보여주었다.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833)는 2차 상호성의 법칙을 최초로 밝힌 사람이다.그는 또한 산술 급수에 대한 소수 정리와 디리클레 정리에 해당하는 것을 추측했다.그는 ${\displaystyle {방정식\mathrm{}}^{}}$a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}{b\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ + ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ z $=$ 0 {\$displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz$^{2}=$0}$을^[64] 완전히 다루었고, 이후 가우스에 ^[65]의해 완전히 개발된 라인을 따라 2차 형태를 연구했다.그는 노년에 페르마의 n $= 5$에 $대한{\displaystyle }$ 마지막 정리를 최초로 증명하였다. (피터 구스타프 르준 디리클레의 작품을 인용하고 그와 소피 제르맹의 ^[66]공로를 인정한다.)$$

칼 프리드리히 가우스(1777–1855)는 그의 디스퀴지스 산술에서 2차 상호성의 법칙을 증명하고 2차 형식의 이론을 발전시켰다.그는 또한 몇 가지 기본적인 표기법을 도입했고 원시성 ^[67]테스트를 포함한 계산 문제에 한 섹션을 할애했다.디스퀘스트의 마지막 섹션은 통합의 뿌리와 수 이론 사이의 연결을 확립했다.

원의 분할이론은...7항에서 다루는 것은 그 자체로 산술에 속하지 않지만, 그 원리는 더 높은 ^[68]산술로부터만 도출할 수 있다.

이런 방식으로, 가우스는 에바리스 갈로아의 작업과 대수적 수 이론을 향한 첫 번째 시도를 했다.

성숙도 및 하위 분야로 분할

19세기 초에 시작하여, 다음과 같은 발전이 점차적으로 이루어졌다.

• 연구 ^[69]분야로서의 수론(또는 더 높은 산술)의 자의식 상승.
• 기본적인 현대 수론에 필요한 현대 수학의 많은 발전: 복소수 해석, 군 이론, 갈로아 이론—대수의 분석과 추상화의 더 큰 엄격함을 동반합니다.
• 수이론의 대략적인 세분화, 특히 분석 및 대수적 수이론.

대수적 수 이론은 상호성과 사이클로컬의 연구로 시작된다고 할 수 있지만, 추상 대수학과 초기 이상 이론과 평가 이론의 발달과 함께 진정으로 그 자리를 잡았다.해석수론의 전통적인 출발점은 산술 급수에 대한 디리클레 정리(1837년)^[70]이며, 그 증명은 L 함수를 도입했고, 실변수에 대한 ^[72]점근 분석과 제한 과정을 포함했다.수 이론에서 분석 사상의 첫 번째 사용은 형식적인 멱급수와 비강성(또는 암묵적) 제한 원칙을 사용한 오일러(1730년대)^[73]로 거슬러 올라간다.숫자 이론에서의 복잡한 해석의 사용은 나중에 온다: 제타 함수에 대한 베른하르트 리만 (1859)의 연구는 표준적인 ^[75]시작점이고, 야코비의 4제곱 정리 (1839)는 해석적 수 이론 (모듈 형식)^[76]에서 주도적인 역할을 하고 있는 초기에 다른 가닥에 속해 있다.

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주요 구획

소수가론

초등이라는 용어는 일반적으로 복잡한 분석을 사용하지 않는 방법을 의미한다.예를 들어, 소수 정리는 1896년에 복소수 분석을 통해 처음 증명되었지만, 기본적인 증거는 1949년에야 에르데스와 셀버그에 ^[77]의해 발견되었다.이 용어는 다소 모호하다: 예를 들어, 복잡한 타우베리안 이론에 기초한 증명(예: 위너-)이케하라)는 복잡한 분석보다는 푸리에 분석을 사용했음에도 불구하고 매우 계몽적이지만 기초적인 것은 아닌 것으로 종종 보여진다.다른 곳과 마찬가지로, 대부분의 독자들에게는 기초적인 증거가 비 기초적인 증거보다 더 길고 어려울 수 있다.

숫자 이론은 많은 결과를 일반인에게 말할 수 있는 분야라는 평판을 가지고 있다.동시에, 이러한 결과의 증명은 특별히 접근할 수 없습니다. 부분적으로는 그들이 사용하는 도구의 범위가 수학 ^[78]내에서 비정상적으로 넓기 때문입니다.

해석수 이론

해석수 이론을 정의할 수 있다.

• 도구의 관점에서, 실제 및 복잡한 ^[70]분석의 도구를 통해 정수를 연구하는 것과 같다. 또는
• 정체성과는 대조적으로 크기와 밀도에 대한 추정치의 수 이론 ^[79]내에서의 연구로서 우려의 관점에서.

예를 들어, 체 ^{[note 10]}이론과 같이 일반적으로 분석적 수 이론의 일부로 간주되는 몇몇 주제들은 첫 번째 정의보다는 두 번째 정의로 더 잘 다루어진다: 예를 들어, 체 이론의 ^{[note 11]}일부는 분석을 거의 사용하지 않지만, 그것은 분석적 수 이론에 속한다.

다음은 소수 정리, 골드바흐 추측(또는 쌍둥이 소수 추측, 또는 하디-리틀우드 추측), 워링 문제, 리만 가설의 예들이다.해석수론의 가장 중요한 도구 중 일부는 원법, 체법, L-함수이다.모듈러 형식의 이론(그리고 보다 일반적으로, 자기형태의 이론)은 또한 해석수 ^[80]이론의 도구 상자에서 점점 더 중심적인 위치를 차지하고 있다.

사람들은 대수적 숫자에 대한 분석적 질문을 할 수 있고, 그러한 질문에 답하기 위해 분석적 수단을 사용할 수 있다. 따라서 대수적 숫자와 분석적 숫자의 이론이 교차한다.예를 들어, 사람들은 소수 이상(대수 분야에서 소수들의 일반화)을 정의하고, 어떤 크기까지 얼마나 많은 소수 이상이 있는지 물을 수 있다.이 질문은 ^[81]주체의 근원에 있는 핵심 분석 대상인 리만 제타 함수의 일반화인 데데킨드 제타 함수의 조사를 통해 대답할 수 있다.이것은 해석수 이론의 일반적인 절차의 한 예입니다: 적절하게 구성된 복소수 ^[82]함수의 해석적 행동으로부터 수열의 분포에 대한 정보를 도출합니다.

대수적 수론

대수적 숫자는 유리계수를 갖는 어떤 $다항식{\displaystyle }$f${\displaystyle (x}$) $=$ ${\displaystyle 0}$({$displaystyle$$$f(x)=$0)$에 대한 해인 복소수이다. 예를 들어 $x{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}{5\mathrm{}}^{}}$+ ($11/$) ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}\mathrm{x}}$ 2 + $=$ 0 { $displaystyle$ x$${$5$ + ($11/$2)$x$ {$3/$2) x {0$+$9} = {$2}$r. 대수적 숫자의 필드는 대수적 숫자 필드 또는 짧은 숫자 필드라고도 불린다.대수적 수 이론은 대수적 ^[83]수 필드를 연구한다.따라서, 해석적 수론과 대수적 수론은 중복될 수 있고 중복될 수 있다: 전자는 그 방법에 의해 정의되고 후자는 그것의 연구 대상에 의해 정의된다.

디스퀴지스 산술에서의 2차 형식에 대한 논의는 2차 필드의 이상과 규범 측면에서 재연될 수 있기 때문에 가장 단순한 종류의 수 필드(viz., 2차 필드)가 가우스에 의해 이미 연구되었다고 주장할 수 있다. (2차 필드는 a${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b\sqrt{}}$(\$displaystyle$ a$+b\sqrt {d}$ $형식$의 모든 수로 구성되어 있다.)$\}.$ $여기서$\$displaystyle$$a$\displaystyle b$$\displaystyle d\는 $유리수$이고$\displaystyle$d는$$ 제곱근이 유리하지 않은 고정 유리수입니다.)이 문제에 있어서, 11세기 차크라발라 방법은 (현대적으로) 실수 2차 수 필드의 단위를 찾기 위한 알고리즘에 해당한다.그러나 바스카라와 가우스 모두 숫자 필드를 알지 못했다.

우리가 알고 있는 주제의 근거는 이상수, 이상 이론 및 평가 이론이 개발된 19세기 후반에 설정되었다. 이것들은 대수적 수 필드의 고유한 인수분해 결여에 대처하는 세 가지 보완적인 방법이다. (예를 들어, 유리수와${\displaystyle \sqrt{}}$5$${$disp$}에 의해 생성된 분야에서).$laystyle${\$displaystyle$$${-$5$ $숫자$$$6(\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$6$)$은 6 ${\displaystyle =}$ 2 ${\displaystyle \cdot }$ $3{\displaystyle \mathrm{}}$$$=${\displaystyle }$$2$ 、 $6{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ ( 1 -${\displaystyle \sqrt{}}$5$$) （ ${\displaystyle 1}$+ { \ $displaystyle$ 6 = ( $1$-${\displaystyle \sqrt{}}$5 ) （$$1 + { \ $rt${ - $5$）$$） 、 、 $all{\displaystyle \mathrm{}}$ $display style$ 2$$、 、 。$$ $({${-$5})$는 환원할 수 없으므로 순진한 의미에서 정수 중 소수와 유사합니다.)(Kummer에 의한) 이상수 개발을 위한 최초의 자극은 높은 상호 법칙,^[84] 즉 2차 상호성의 일반화에 대한 연구로부터 온 것으로 보인다.

number 필드는 작은 수의 필드의 확장으로 자주 연구됩니다.L에 K가 포함되어 있는 경우 필드 L은 필드 K의 확장이라고 불립니다(예를 들어 복소수 C는 Reals R의 확장, reals R은 reasons Q의 확장). 주어진 번호 필드의 가능한 확장자를 분류하는 것은 어렵고 부분적으로 어렵습니다.미해결 문제아벨 확장, 즉 K 위의 L의 갈로아^{[note 12]} 군 Gal(L/K)이 아벨 군인 K의 확장 L은 상대적으로 잘 이해된다.그들의 분류는 19세기 후반에 시작되었고(부분적으로는 크로네커와 아이젠슈타인에 의해) 주로 1900년에서 1950년에 수행된 계급장 이론 프로그램의 대상이었다.

대수적 수론에서 활발한 연구의 한 예는 이와사와 이론이다.현재 수학의 주요 대규모 연구 계획 중 하나인 랭글랜드 프로그램은 때때로 계급장 이론을 숫자장의 비벨적 확장에 일반화하려는 시도로 묘사된다.

디오판토스 기하학

디오판토스 기하학의 가장 큰 문제는 디오판토스 방정식이 해답을 가질 때, 그리고 만약 있다면, 몇 개인지를 결정하는 것입니다.채택된 접근법은 방정식의 해법을 기하학적 물체로 생각하는 것이다.

예를 들어, 두 변수의 방정식은 평면에서 곡선을 정의합니다.보다 일반적으로, 두 개 이상의 변수에서 방정식 또는 방정식 체계는 n차원 공간에서 곡선, 표면 또는 다른 물체를 정의합니다.디오판토스 기하학에서는 곡선이나 표면에 유리점(모든 좌표가 유리점) 또는 적분점(모든 좌표가 정수인 점)이 있는지 여부를 묻습니다.그러한 포인트가 있는 경우는, 몇개의 포인트가 있고, 어떻게 분포되어 있는지를 묻습니다.이 방향의 기본적인 질문은 주어진 곡선(또는 표면)에 최종 또는 무한히 많은 유리점이 있는지 여부입니다.

피타고라스 $방정식{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $=$에서$,$ $우리$는 x와 y가 모두 합리적인 해법 $)\displaystyle$ (x, y)\displaystyle ($x, y$$)\$displaystyle (x, y$)$을 연구하고 싶다.${\displaystyle {이}^{}}$는 a${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ + ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ a$^{2}+b^{2$}에 $대한{\displaystyle {}^{}}$ 모든 정수해를 요구하는 것과 같습니다.$}=c^{$2$\}\};$ 후자 방정식의 해는 전자에 $대한{\displaystyle }$ 해 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ / c {\$display x=a/$$c{\displaystyle }$$\},$ y${\displaystyle =}$ ${\displaystyle b}$/ c${\display y=b/$c$$}를 구한다${\displaystyle .}$또한 x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 $=$ ${\displaystyle 1}${\$display$ x$^{2}+y^{2$}=$1$에서 $설명$하는 곡선상의 모든 합리적인 좌표를 가진 점을 요구하는 것과 같습니다.(이 곡선은 원점을 중심으로 반지름 1의 원입니다.)

곡선상의 점의 관점에서 방정식에 대한 질문을 바꾸는 것은 적절한 것으로 판명되었다.대수 곡선의 유리점 또는 정수점 수(즉, $방정식{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle ,y}$ ) $=$ {\$displaystyle$f($x,y$)=$0$에 대한 유리점 또는 정수점 수)의 정밀도. $여기$서$$f {\$displaystyle$ f$}$는 곡선의 속성에 결정적으로 의존하는 두 변수의 다항식이다.그 속 다음과 같이:정의될 수 있다.[노트 13]f의 변수(), y))0{\displaystyle f(x, y)=0}가 되기 복잡한 숫자;그 두가지 복잡한 변수는 4진정한 변수, 4dimensio으로 분해될 수 있다면 f(), y))0{\displaystyle f(x, y)=0}((사영)4-dimensional 우주에 2차원 표면을 정의합니다.ns. 표면에 있는 (표준) 구멍의 수를 셀 경우, 이 숫자를 f${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle y}$ )$=$ $(\displaystyle$ f$(x,y$)=$0$의 속이라고 합니다.다른 기하학적 개념도 마찬가지로 중요합니다.

Diophantine 근사치에는 밀접하게 관련되어 있는 영역도 있습니다.$숫자{\displaystyle }$x(\$displaystyle$ x$)$가 주어지면 유리성에 의해 얼마나 잘 근사될 수 있는지 찾아냅니다.(이유성을 쓰는 데 필요한 공간의 양에 대해 적절한 근사치를 찾고 있습니다: ${\displaystyle call}$a /$$q \$display style$a/$$${\displaystyle q}$( ${\displaystyle \gcd }$ ( a ) ) ${\displaystyle 。}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle )}$ $=$ ${\displaystyle 1}$(\$displaystyle$ $\gcd(a,q$$1$)$x{\displaystyle }$- / < c < \ $display x$$$- a $/ q$ < { \ $frac${ $1$} { $q$^ { $c$}。$여기$서$$c {\ $displaystyle$ c$}$는 ） 。이 질문은 x$(\style$x)가$$ 대수적 숫자인 $경우{\displaystyle }$ 특히 중요합니다.x$(\displaystyle$ x$)$를 잘 근사할 수 없는 $경우{\displaystyle }$ 일부 방정식은 정수 또는 유리해를 가지고 있지 않습니다.더욱이 디오판토스 기하학과 디오판토스 근사 연구 모두에서 몇 가지 개념(특히 높이의 개념)이 중요한 것으로 밝혀졌다.이 질문은 또한 초월수 이론에서도 특별한 관심을 가지고 있다: 만약 어떤 숫자가 어떤 대수적 수보다 더 잘 근사될 수 있다면, 그것은 초월수이다.이 논거에 의해 this과 ent가 초월적인 것으로 판명되었다.

디오판토스 기하학은 대수적 수론에서 특정 질문에 답하기 위한 그래픽 방법의 집합인 숫자의 기하학과 혼동되어서는 안 된다.그러나 산술 기하학은 디오판토스 기하학이라는 용어가 다루는 것과 거의 같은 영역의 현대 용어이다.산술 기하학이라는 용어는 디오판토스 근사법보다는 현대 대수 기하학과의 연관성을 강조하고 싶을 때 가장 자주 사용된다.

기타 서브필드

아래 지역은 20세기 중반 이전까지 거슬러 올라가며, 오래된 소재에 기초하고 있다고 해도 마찬가지입니다.예를 들어, 아래에 설명된 바와 같이, 수 이론의 알고리즘 문제는 매우 오래되었고, 어떤 의미에서는 증명의 개념보다 더 오래되었다. 동시에, 계산 가능성에 대한 현대 연구는 1930년대와 1940년대, 그리고 계산 복잡성에 대한 연구는 1970년대부터 시작되었다.

확률론적 수론

확률론적 수 이론의 대부분은 상호 독립적이지는 않지만 거의 독립적인 변수 연구의 중요한 특수 사례로 볼 수 있다.예를 들어, 1에서 100만 사이의 임의의 정수가 2로 나누어지는 경우와 3으로 나누어지는 경우는 거의 독립적이지만 완전히 독립적이지는 않습니다.

확률론적 조합론은 확률이 0$(\displaystyle$ 0$)$보다 큰 모든 일이 때때로 발생해야 한다는 사실을 사용한다. 확률론적 수론의 많은 적용은 예외적인 일이 반드시 드물어야 한다는 사실에 달려 있다고 동등하게 말할 수 있다.특정 대수 객체(예를 들어, 특정 방정식에 대한 유리 또는 정수 해법)가 합리적으로 정의된 특정 분포의 끝에 있음을 보여줄 수 있는 경우, 그 중 몇 개는 반드시 있어야 한다. 이는 확률론적 것에 따른 매우 구체적인 비확률론적 진술이다.

때때로 비강성 확률론적 접근방식은 많은 발견적 알고리즘과 미해결 문제, 특히 크라메르의 추측으로 이어진다.

산술적 조합론

두께가 꽤 $두꺼운{\displaystyle }$ 무한 집합$$A$({displaystyle$ A$\})$에서 시작하면 산술적으로 많은 요소가 포함됩니까? ${\displaystyle 예}$를 들어 a$(\$$displaystyle$ a$),$ ${\displaystyle a}$+ b${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle a}$+${\displaystyle }$2 $b$+ 3 $, a$ + 2 $b,$ $a$+ 3$b,$a + 3 b$,$ \$ldots$ ,$a$ + 10$$b )?A$\displaystyle$$A$의 $요소$의 합으로 큰 정수를 쓸 수 있을까요?

이 질문들은 산술 조합론의 특징이다.이것은 현재 결합되고 있는 분야이며, 가법수 이론(소수나 제곱과 같은 산술적 유의성의 특정 매우 $구체적$인 $집합{\displaystyle }$A(\$style$ A$)$와 관련된 것), 그리고 틀림없이 숫자의 기하학적 일부와 함께 빠르게 개발되고 있는 새로운 재료를 가정한다.성장과 분배에 대한 그것의 초점은 부분적으로 에르고딕 이론, 유한 집단 이론, 모델 이론, 그리고 다른 분야들과의 발전적인 연결을 설명한다.가법 조합론이라는 용어는 사용되지만, 연구 중인 $집합{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$는 정수 집합이 아니라 전통적으로 덧셈 기호가 아닌 곱셈 기호가 사용되는 비가환 그룹의 부분 집합이어야 합니다. 이 경우 A${\displaystyle }$+$$(\$displ$)의 증가도 가능합니다.$aystyle$ A$+A$와 $(\displaystyle$ A$)$ · A(\$displaystyle$ A$)$를 비교할 수 있습니다.

계산수 이론

알고리즘이라는 단어는 오직 알-크와리즘의 특정 독자들에게만 거슬러 올라가지만, 해결 방법에 대한 세심한 설명은 증명보다 더 오래되었다. 즉, 그러한 방법(알고리즘)은 고대 이집트, 바빌로니아, 베딕, 중국 등 고대 그리스인들에게만 증명된 것처럼 인식 가능한 수학만큼 오래되었다.

초기 사례는 현재 우리가 유클리드 알고리즘이라고 부르는 것이다.기본 형태(즉, 최대공약수를 계산하는 알고리즘)에서 그것은 정확성의 증명과 함께 제7권의 제2항으로 나타난다.단, 수론에서 자주 사용되는 형태(기원전 5-6세기 아랴바사(Aryyba (${\displaystyle a}$)의 저작에서 처음 등장하며${\displaystyle ,}$ (기원전 ${\displaystyle \mathrm{5-6세기}}$, a + ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ax + $by = c$} )에 대한 정수해를 구하는 알고리즘으로서, 또는 중국 잉여 정리에 의해 존재가 보장되는 양을 구하는 알고리즘으로서)s 정확성이 입증되지 않은 kuaka (" (" (" ("cuiserveriser")라고 불리는 알고리즘입니다.

"이것을 계산할 수 있습니까?"와 "빠르게 계산할 수 있습니까?"라는 두 가지 주요 질문이 있습니다.소수인지 아닌지는 누구나 테스트할 수 있다.그렇게 빨리 하는 것은 또 다른 문제다.이제 원시성 테스트를 위한 빠른 알고리즘은 알고 있지만, (이론적인 것과 실제적인 것 모두) 많은 작업에도 불구하고 팩터링을 위한 정말 빠른 알고리즘은 없습니다.

최신 메시지 암호화 프로토콜(예: RSA)은 모두가 알고 있는 함수에 의존하지만, 그 역기능은 선택된 소수만이 알고 있기 때문에 스스로 파악하는 데 시간이 너무 오래 걸립니다.예를 들어, 이러한 함수는 특정 큰 정수를 인수분해하는 경우에만 역수를 계산할 수 있습니다.숫자 이론 이외의 많은 어려운 계산 문제가 알려져 있지만, 오늘날 작동하는 대부분의 암호화 프로토콜은 몇 가지 숫자 이론 문제의 난이도에 기초하고 있습니다.

전혀 계산할 수 없는 경우도 있습니다.실제로 이것은 경우에 따라서는 증명될 수 있습니다.예를 들어, 1970년에 힐베르트의 10번째 문제에 대한 해답으로 모든 디오판토스 ^[85]방정식을 풀 수 있는 튜링 기계는 없다는 것이 증명되었다.특히, 이것은 계산적으로 열거할 수 있는 일련의 공리가 주어졌을 때, 그 공리에서 시작하여 방정식의 집합이 정수해를 가지고 있는지 없는지에 대한 증거가 없는 디오판토스 방정식이 있다는 것을 의미한다.(정수해법이 없는 디오판틴 방정식을 말하는 것은 필수입니다. 왜냐하면 적어도 하나의 해법을 가진 디오판틴 방정식이 주어지면 해법 자체가 존재한다는 사실을 증명하기 때문입니다.특정 디오판토스 방정식이 이런 종류의 것임을 증명할 수 없다. 왜냐하면 이것은 해답이 없다는 것을 의미하기 때문이다.)

적용들

이 섹션은 다음과 같이 확장해야 합니다. 현대적 응용의 수 이론.추가해서 도와주시면 됩니다. (2016년 3월)

숫자이론가 레오나드 딕슨(1874–1954)은 "수론이 어떤 응용 프로그램에서도 무효가 되어 다행이다"라고 말했다.그러한 견해는 더 이상 ^[86]수론에는 적용되지 않는다.1974년에 도날드 크누스는 "사실상 초등수 이론의 모든 정리는 컴퓨터가 고속 수치 계산을 하도록 하는 문제와 관련하여 자연스럽고 동기 부여가 된 방식으로 발생한다"^[87]고 말했다.초등수 이론은 컴퓨터 과학자들을 위한 이산 수학 과목에서 가르친다; 반면에, 숫자 이론은 또한 수치 ^[88]분석의 연속적인 적용에도 적용된다.암호학에 대한 잘 알려진 응용 프로그램뿐만 아니라,^{[89][90][specify]} 수학의 많은 다른 분야에도 응용 프로그램이 있습니다.

상품

미국 수학 학회는 수 이론 분야에서 콜상을 수여한다.게다가, 숫자 이론은 페르마 상으로 보상받는 세 가지 수학적 하위 분야 중 하나이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 대수 함수장
• 유한장
• p-adic 수

메모들

레퍼런스

원천

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추가 정보

이 주제에 대한 가장 인기 있는 두 가지 소개는 다음과 같습니다.

• G.H. Hardy; E.M. Wright (2008) [1938]. An introduction to the theory of numbers (rev. by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman, 6th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Retrieved 2016-03-02.
• Vinogradov, I.M. (2003) [1954]. Elements of Number Theory (reprint of the 1954 ed.). Mineola, NY: Dover Publications.

Hardy와 Wright의 책은 포괄적인 고전이지만, 그 명료성은 저자들의 기초적인 방법에 대한 고집으로 인해 때때로 손상되기도 한다.Vinogradov의 주된 매력은 일련의 문제점들로 구성되어 있으며, 이는 Vinogradov 자신의 연구 관심사로 빠르게 이어진다. 텍스트 자체는 매우 기본적이고 최소에 가깝다.기타 인기 있는 첫 번째 소개는 다음과 같습니다.

• Ivan M. Niven; Herbert S. Zuckerman; Hugh L. Montgomery (2008) [1960]. An introduction to the theory of numbers (reprint of the 5th edition 1991 ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-81-265-1811-1. Retrieved 2016-02-28.
• Kenneth H. Rosen (2010). Elementary Number Theory (6th ed.). Pearson Education. ISBN 978-0-321-71775-7. Retrieved 2016-02-28.

두 번째 교과서의 일반적인 선택지는 다음과 같습니다.

• Borevich, A. I.; Shafarevich, Igor R. (1966). Number theory. Pure and Applied Mathematics. Vol. 20. Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-117850-5. MR 0195803.
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A course in arithmetic. Graduate texts in mathematics. Vol. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.

외부 링크

• Wikimedia Commons의 숫자 이론 관련 매체
• 수학 백과사전의 수론 항목
• 숫자 이론 웹