미니멀 모델 프로그램

대수 기하학에서, 최소 모델 프로그램은 대수적 변종들의 혼성 분류의 일부분이다.그것의 목표는 가능한 한 단순한 복잡한 프로젝트적 다양성의 혼성 모델을 구축하는 것이다.이 과목은 이탈리아 학교에서 연구한 표면의 고전적인 혼성 기하학에서 기원을 두고 있으며, 현재 대수 기하학 내에서 활발한 연구 영역이다.

개요

이 이론의 기본 개념은 각 생식 동등성 등급에서 "가능한 한 단순하다"는 품종을 발견함으로써 품종의 분류를 단순화하는 것이다.이 구절의 정확한 의미는 피사체의 발달과 함께 진화해 왔다. 원래 표면의 경우, 그것은 부드러운 $품종{\displaystyle }$ $X$를 찾는 것을 의미했는데$,$ 표면 X가 매끄러운 $표면{\displaystyle {}^{}}$ X${\displaystyle {}^{}}$′$${\$displaystyle$ X$}$을(를) 가진 모든 혼성 형태론 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$→ X ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\colon X\to$ X$'$이 이형성인 것이다.

현대식 공식에서 이론의 목표는 다음과 같다.단순성을 위해 노래 이외의 것으로 가정하는 투사적 품종 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을$($를) 제공한다고 가정합시다.고다이라 치수에 근거한 두 가지 사례가 있는데,$$^[1]$\kappa {\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \kappa (X)}:$

• 사영 다양한 Y에게 κ(X))− ∞.{\displaystyle \kappa(X)=-\infty.}우리는 다양한 X을 찾기 위해′{\displaystyle X의}X{X\displaystyle}에 사상 f:Xbirational′→ Y{\displaystyle f\colon X'\to Y}를 원하는 것처럼 희미한 ⁡ Y<>희미한 ⁡ X′,{\dim Y<,\displaystyle \d{Y\displaystyle}.나는일반 섬유 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 항암 클래스${\displaystyle }$- K ${\displaystyle F_{}}$ ${\$가 있는 X$'$는 $넉넉하다$.그러한 형태론을 파노 섬유 공간이라고 한다.
• ${\displaystyle \kappa }$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle ⩾}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \kappa (X)\geqslant$ 0$.}$ $X{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$${\$displaystyle $X}$에 대한 X $' {\$displaystyle X$\text{'}\}$의 비합리적 $클래스{\displaystyle {}^{}}$ $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X{}^{\mathrm{}}}_{}}$′ ${\$n}n}n$$}n1}}no$$}nowfrumpremefrumpremefline }nfrumpremefepremef이 경우 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 최소 모델이다$.$

위에 나타난$$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$과 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 비가수적인지 여부가 중요한 문제다.$매끄러운{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X$로 시작하면 매끄러운 품종의 범주 안에서 언제나 미니멀한 모델이나 파노 파이버 공간을 찾을 수 있기를 바라는 것은 당연해 보인다.그러나 이는 사실이 아니므로 단수 품종도 고려할 필요가 있다.나타나는 특이점을 말단 특이점이라고 한다.

최소 표면 모델

모든 불가해한 복잡한 대수곡선은 독특한 매끄러운 투영곡선에 비합리적이기 때문에 곡선에 대한 이론은 사소한 것이다.표면의 경우는 1900년경 이탈리아 학파의 기하학자들이 처음 조사한 것으로, 귀도 카스텔누오보의 수축 정리는 본질적으로 어떤 표면의 최소 모델을 구성하는 과정을 기술하고 있다.정리는 모든 비종교적 혼성 $형태론{\displaystyle f}$: X → ${\displaystyle Y}$[\$displaystyle$f\$colon$X\$to$ Y$}$는 -1-곡선을 매끄러운 점까지 수축해야$$ 하며, 반대로 그러한 곡선은 어떤 곡선과도 원활하게 수축될 수 있다고 기술하고 있다.여기서 -1-곡선은 자기 절개 ${\displaystyle C}$=${\displaystyle }$- 1.$[\디스플레이$ 스타일 $C\cdot C=-1.}$ 이러한 곡선은 반드시$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle C}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\display$ 스타일 $K\cdot C=-1}$이 있어야 하며, 표준$$ 등급이 nef이면 표면에는 -1-곡선이 없다.

카스텔누오보의 정리는 매끄러운 표면을 위한 최소 모델을 구성하기 위해 표면의 모든 -1-곡선을 수축할 뿐이며, 결과의 다양성 Y는 K nef를 가진 (유일한) 미니멀 모델이거나 지배된 표면(이 2차원 Fano 섬유 공간과 동일하며, 투영면 또는 Cu 위에 지배된 표면이다.rve). 두 번째 경우, X에 대한 지배된 표면의 생리는 투사선과 곡선의 산물에 고유한 이형성이 있기는 하지만 독특하지는 않다.

고차원 미니멀 모델

2보다 큰 차원에서는 이론이 훨씬 더 많이 관여하게 된다.특히 신규격 등급의$$ 어떤 매끄러운 품종 $′{\$ X$'}$에 비합리적이지 않은$$ 매끄러운 품종 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$가 존재한다.1970년대와 1980년대 초반의 주요 개념적 진보는 발생되는 특이점의 유형에 주의한다면 최소 모델의 구축이 여전히 실현 가능하다는 것이었다.(예를 들어, $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X{}^{}}_{}}$′ ${\$ 그래서$$ 교차로 번호 ${\displaystyle {K{}^{}}_{}}$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${{\displaystyle K_{X'}cdot$.$C}$을(를) 정의해야 한다$$.따라서, 최소한 우리 품종은 일부 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\디스플레이$ $스타일 nK_{X'}$을(를) 위한 카르티에 디비서가 되려면$$ $n{\displaystyle }$ K ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\$displaystyle $n}$을($$를) 가져야 한다.

첫 번째 핵심 결과는 모리 시게후미의 원뿔 $정리$로서, X ${\displaystyle X$}의 곡선의 원뿔 구조를 기술하고 있다$.$ 간략하게 $정리$하면 ${\displaystyle X_{}}$$${\$displaystyle$ X$}$부터 시작하여$,$ X i ${\$X_{$i}$의 일련의 $품종들$을 귀납적으로 구성할 수 있다는 것을 알 수 있는데$,$ 각각은 이전보다 "클로스"이다.하나는 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\$nef$$.그러나, 그 과정은 어려움에 직면할 수 있다: 어느 시점에서 $버라이어티{\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) "너무 단수"가 될 수 있다$$.이 문제에 대한 추측 해결책은 ${\displaystyle {Xi}_{}}$ ${\$에 대한 코다이멘션-2 수술의 일종인 플립이다$.$ 필요한 플립이 존재하는지, 또한 항상 종료되는지는 명확하지 않다(즉, $최소{\displaystyle {}^{}}$모델$Xdisplay$ {\$displaysty$ X$'}$에 근접하는 것은 정밀하게 여러 단계로$$ 볼 수 있다).모리(1988)는 3차원 케이스에 플립이 존재한다는 것을 보여주었다.

보다 일반적인 통나무 플립의 존재는 비야체슬라프 쇼쿠로프에 의해 3, 4차원으로 확립되었다.이는 이후 쇼쿠로프와 하콘의 초기 작품에 의존한 코우처 비르카르, 파올로 카스시니, 크리스토퍼 하콘, 제임스 맥커넌에 의해 보다 높은 차원으로 일반화되었다.그들은 또한 한정된 로그 표준 링 생성과 다양한 로그 일반 유형에 대한 최소 모델의 존재를 포함한 몇 가지 다른 문제들도 입증했다.

보다 높은 차원의 로그 플립 종료 문제는 여전히 적극적인 연구의 대상으로 남아 있다.

참고 항목

• 풍요 추측
• 최소적합성표면

참조

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