단조롭게 정상적인 공간

수학에서, 특히 위상 분야에서, 단조롭게 정상적인 공간은 단조로운 정규성 연산자의 관점에서 정의되는 특정한 종류의 정상 공간이다.그것은 몇 가지 흥미로운 특성을 만족시킨다. 예를 들어 미터법 공간과 선형적으로 정렬된 공간은 단조롭게 정상이고, 단조롭게 정상적인 공간은 모두 유전적으로 정상이다.

정의

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 다음과 같은 동등한 정의 중 하나를 충족하면 단조롭게 정상이라고 한다.^[1][2][3][4]

정의 1

공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은(는) T이고₁ 다음과 같은$$ $방식$으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$${\displaystyle \}}$의 분리된 닫힌 세트의$$ 각 순서 쌍$($$A$${\displaystyle ,}$${\displaystyle B}$$)$에 $할당$하는 G {\$displaystyle G}$ 함수가 있다$.$

(i) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle G}$(${\displaystyle A,}$ B${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subseteq }$ G ${\displaystyle \stackrel{}{(A,}}$ B${\displaystyle \stackrel{}{}}$)${\displaystyle \stackrel{}{}\subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle B}$ (A,$$B$)$ ∖ B ${\$디스플레이 스타일 A (A$,B)\subseteq$ {\$overline$ {$G(A,B)}}\subseteq$ X$\setminus B$

(ii) ${\displaystyle G(A,B)\subseteq G(A',B')}$ whenever ${\displaystyle A\subseteq A'}$ and ${\displaystyle B'\subseteq B}$.

조건 (i)은 $함수{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$에서 보듯이 X ${\displaystyle X}$이(가) 정상적인 공간이라고$$ 말하고$,$ 조건 (ii)은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle (A,}$ ${\displaystyle B}$) ${\displaysty G(A,B)}$이(가) 단조롭게 정상이라고 말한다.연산자 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 단조 정규성 연산자라고 한다$$.

속성을 충족하기$$ 위해 $항상{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G$}을(를) 선택할 수 있음

${\displaystyle G}$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ,}$ B${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle G}$(${\displaystyle B}$, ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle G(A,B)\cap G(B,A)=\emptyset$ $\},$

각 $G{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, B$){\displaystyle$ G ($A,$${\displaystyle B}$$)}$을(를${\displaystyle )}$ G${\displaystyle (,}$ B${\displaystyle }$) ${\displaystyle \stackrel{}{(}}$ G ${\displaystyle \stackrel{}{(,}}$ $){\$로 교체함$.$

정의 2

우주 X{X\displaystyle}은 T1가 있는 X에서 분리돼 세트의 각 순서로 정렬된(A, B){\displaystyle(A, B)}에 지정하는 기능 G{G\displaystyle}(그, 그런 A∩ B¯)B∩ ¯)∅{\displaystyle A\cap{\overline{B}}=B\cap{\overline{A}}=\emptyset은})a{X\displaystyle}n정의 1의 동일한 조건(i)과 (ii)을 충족하는$$ 개방형 세트 $G{\displaystyle }$(${\displaystyle A,B)}$ ${\displaystyle G(A,B)}$

정의 3

The space ${\displaystyle X}$ is T₁ and there is a function ${\displaystyle \mu }$ that assigns to each pair ${\displaystyle (x,U)}$ with ${\displaystyle U}$ open in ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle x\in U}$ an open set ${\displaystyle \mu (x,U)}$ such that:

(i) $x{\displaystyle \mathrm{\mu \mu }(x}$, ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle x\in \mu (x,U$

(ii) $\mu {\displaystyle (x}$, U${\displaystyle }$)${\displaystyle \mu (y}$, V${\displaystyle }$) μ(y , ${\displaystyle V}$ ) ${\displaystyle \ne }$ {\$displaystyle \mu$ ($x,U)\cap \mu (y,$V)\$neq \emptysset$},${\displaystyle x}$ {$$V {\$displaystysty x\in$ V} $또는$ $\in$ U$\}.$

이러한 함수 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$이(가) 자동으로$$ 충족됨

${\displaystyle x\mu (x}$, ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$μ(x , ${\displaystyle \stackrel{}{U}}$ ) ⊆ ${\displaystyle \mu \stackrel{}{(x}}$, U${\displaystyle \stackrel{}{}}$)${\displaystyle \stackrel{}{}\subseteq }$ ${\displaystyle u}$ U ${\displaystyle x\in$ \in $\mu(x,U)\subseteq {\overline {\mu(x,U)}\subseteq U$

(이유:Suppose ${\displaystyle y\in X\setminus U}$. Since ${\displaystyle X}$ is T₁, there is an open neighborhood ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle y}$ such that ${\displaystyle x\notin V}$. By condition (ii), ${\displaystyle \mu (x,U)\cap \mu (y,V)=\emptyset }$,즉, $\mu {\displaystyle (y}$, V${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mu$$($$y,$$V)}$은(는) $\mu {\displaystyle (x}$, U${\displaystyle }$) ${\displaystyle \$$mu$$(x$$,$ $)}$로부터 분리되는$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystystyle μ$ ${\displaystyle \stackrel{}{,}}$ $U$)의 $이웃$이다$.$^[5]

정의 4

$B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 토폴로지의 기반이 되도록 한다$$$.$The space ${\displaystyle X}$ is T₁ and there is a function ${\displaystyle \mu }$ that assigns to each pair ${\displaystyle (x,U)}$ with ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ and ${\displaystyle x\in U}$ an open set ${\displaystyle \mu (x,U)}$ satisfying the same conditi정의 3의 ons (i) 및 (ii)

정의 5

The space ${\displaystyle X}$ is T₁ and there is a function ${\displaystyle \mu }$ that assigns to each pair ${\displaystyle (x,U)}$ with ${\displaystyle U}$ open in ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle x\in U}$ an open set ${\displaystyle \mu (x,U)}$ such that:

(i) $x{\displaystyle \mathrm{\mu \mu }(x}$, ${\displaystyle U}$) ${\displaystyle x\in \mu (x,U$

(ii) $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 및$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 열려 있고 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq$ V$}$, $μ$${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle U}$) ${\displaysty \mu (x,U)\subseteq \mu(x,V$

(iii) if ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ are distinct points, then ${\displaystyle \mu (x,X\setminus \{y\})\cap \mu (y,X\setminus \{x\})=\emptyset }$.

그러한 함수 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) Definition 3의 모든 조건을 자동으로$$ 만족시킨다.

예

• 모든 측정 가능한 공간은 단조롭게 정상이다.^[4]
• 일직선으로 정렬된 모든 위상학적 공간(LOTS)은 단조롭게 정상이다.^[6][4]이것은 선택의 공리를 가정하는 것인데, 그것이 없다면 LOT의 예는 정상적이지도 않다.^[7]
• 소르겐프리 라인은 단조롭게 정상이다.^[4]이는 정의 4에서 토폴로지${\displaystyle }$[ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle [a,b)}$ 형식의 모든 구간을 기준으로 삼음으로써, $그리고$ x $\mu {\displaystyle (x}$, ${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle [,}$b${\displaystyle )]}$ =${\displaystyle }$[, ${\displaystyle b}$ ) = [,$$$\$$displaystyle \mu ($x$,$ $[a,b)]$를 허용함으로써$$, x ${\displaystyle \in [,}$ $]$의 모든 구간을 기준으로 삼음.$=[x,b$ 또는 소르겐프리 라인은 LOT의 하위 공간, 즉 이중 화살표 공간으로 삽입될 수 있기 때문에 단조롭게 정상적이다.
• 모든 일반화된 측정기준은 단조롭게 정상적이다.

특성.

• 모노톤 정규성은 유전적 특성이다.단조롭게 정상적인 공간의 모든 아공간은 단조롭게 정상이다.
• 단조롭게 정상적인 모든 공간은 완전히 정상적인 하우스도르프(또는 T₅)이다.
• 단조롭게 정상적인 모든 공간은 유전적으로 수집되는 정상이다.^[8]
• 계속 닫힌 지도 아래 단조롭게 정상적인 공간의 이미지는 단조롭게 정상이다.^[9]
• 콤팩트한 하우스도르프 공간 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X}$이($)$ 단조롭게 정상인$$ 경우에만 콤팩트한 선형 정렬 공간의 연속 이미지다$$.^[10][3]

참조