키르흐호프의 회절식

Kirchhoff의 회절 공식^[1][2](또한 프레넬-Kirchhoff 회절 공식)은 분석적 또는 수치적 모델링을 사용하여 광범위한 구성에서 빛의 전파를 모델링하는 데 사용될 수 있다. 단색 구형파가 검토 중인 상황의 유입파일 때 파동 교란 표현을 한다. 이 공식은 그린의 두 번째 정체성을 이용하여 동종 스칼라파 방정식의 해답을 도출하는 키르흐호프 적분 정리를 일부 근사치를 가진 구면파에 적용함으로써 도출된다.

Huygens-Freshhoff 원리는 프레스넬-키르호프 회절 공식에 의해 도출된다.

Kirchhoff의 회절식 도출

키르히호프의 적분 정맀으므로, 간혹 Fresnel–Kirchhoff 적분 theorem,[3] 임의의 공간 위치 P는 파동 방정식의 해법과 임의의 닫힌 표면에 모든 지점에서 그것의 첫번째 오더가 파생 상품의 조건이 균질 스칼라파 방정식의 해결책을 유도하기 위해 그린의 두번째 정체성 사용하여 언급했다.${\displaystyle }$P를 포함한 일부 볼륨의 $경계$로 S {\displaystyle$$ $S}.$

단색 선원에 대한 적분 정리가 제공하는 해결책은

여기서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$은 균일한 스칼라 파동 방정식의 용액의 공간 부분이다(예: ${\displaystyle V\mathbf{}}$( r${\displaystyle }$,${\displaystyle t\mathbf{}}$) = ${\displaystyle U}$(${\displaystyle }$r ) ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{i\Omega }}^{}}$ t ${\$ V$(\mathbf {r},t)=$$U(\mathbf{r} )e^{-i\omega t}}$는 균일한 스칼라파 방정식 솔루션으로$$, k는 wavenumber이며 s는 P에서 (적외적으로 작은) 적분 표면 원소까지의 거리, ∂${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$∂ ${\displaystyle \frac{n}{}}$ ${\$ n$}}}}$은 적분해 표면 원소 벡터 n$}$을 따라$$ 분화를 나타낸다.$displaystyle n}$ (i.e., a normal derivative), i.e., ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f\cdot n}$. Note that the surface normal or the direction of ${\displaystyle n}$ is toward the inside of the enclosed volume in this integral; if the more usual outer-pointing normal is used, the integ랄은 반대 신호를 가질 것이다. 또한 여기에 표시된 적분 정리에서는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$과 P가 벡터 수량인 반면 다른 용어는 스칼라 수량이라는 점에 유의하십시오.

아래의 경우에 대해서는 다음과 같은 기본적인 가정을 한다.

• 파장의 점원과 적분 영역 사이의 거리, 적분 영역과 관측점 P 사이의 거리, S를 여는 치수는 파장$wavelength{\displaystyle }${\$displaystyle \lambda }$보다 훨씬 크다$.$
• ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$과 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{U}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}n}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ U ${\displaystyle \cdot n}$ ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}=\nabla U\cdot n}$은 개구부의 경계에 불연속하며, Kirchhoff의 경계 조건이라고 한다. 이는 개구부(또는 열린 지역) 위의 파동이 파도에 장애가 없다면 존재할 파도와 동일하다는 또 다른 가정과 관련이 있을 수 있다.

포인트 소스

화면의 간극을 비추는 P에서₀ 단색 포인트 소스를 고려하십시오. 점원이 발산하는 파동의 강도는 이동 거리의 역제곱에 따라 떨어져 나가므로 진폭은 거리의 역제곱에 따라 떨어진다. 거리 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$에서 교란의 복잡한 진폭은 다음과$$ 같다.

여기서 ${\displaystyle a}$은(는) 포인트 소스에서 교란의 크기를 나타낸다$$.

공간 위치 P에서의 교란은 화면과 반경 R의 구가 교차하여 형성된 닫힌 표면에 키르쇼프의 적분 정리를 적용하면 알 수 있다. 통합은₁ A, A₃, A 영역에₂ 걸쳐 수행되며

방정식을 풀기 위해 조리개 영역 A에₁ $있는{\displaystyle }$ U ${\displaystyle U}$ 및$$${\displaystyle \frac{\mathrm{}u}{}}$ U ${\displaystyle \frac{\mathrm{}n}{}}$ ${\${\$frac${\$partial U}{\partial$ n$}}$의 값이 화면이 없을 때와 같으므로 위치 Q에서

여기서 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은 직선 PQ의₀ 길이이며$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle n}$, r${\displaystyle }$) ${\displaystyle(n,r)$은 직선 확장 버전의 PQ와₀ 간극(inner) 사이의 각도다$$. < (, )< ${\$ 따라서 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, r${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cos(n,r)}$은 A에₁ 대한 양의 실제 번호라는 점에$$ 유의하십시오.

Q에서는, 우리는 또한

여기서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$은 직선 PQ의 길이이며$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle n}$, s${\displaystyle }$) ${\displaystyle(n,s)$은 직선 확장 버전의 PQ와 간극에 정규적인 (inner) 사이의 각도다$$. <( , s) 2 ${\$ {\frac {\$pi }{2$}}:<($n,s){\frac {3\pi }{2}}:$ 따라서 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, $){\displaysty \cos(n,s)$는 A의₁ 음수 실수라는$$ 점에 유의한다.

다음의 두 가지 가정을 더 한다.

• In the above normal derivatives, the terms ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ and ${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$ in the both square brackets are assumed to be negligible compared with the wavenumber ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$, means ${\displaystyle r}$ and ${\displa$$ystyle s}$은(는) 파장 ${\displaystyle \lambda }$보다 훨씬 크다$.$
• Kirchhoff는 A로₂ 표시된 불투명한 영역에${\displaystyle \frac{\mathrm{}\mathrm{대한}}{}}$${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$U ${\$$displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}$의 값이 0이라고 가정한다. 이는 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 및$$ $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ U ${\displaystyle \frac{\mathrm{}n}{}}$ ${\$ n$}}$이(가) 조리개 A의₁ 가장자리에서 불연속임을$$ 의미한다. 이것은 사실이 아니며, 이것은 키르흐호프의 회절 공식을 도출하는 데 사용되는 근사 중의 하나이다.^[4][5] 이러한 가정은 때때로 Kirchhoff의 경계 조건이라고 일컬어진다.

반구 A로부터₃ 적분까지의 기여는 0이 될 것으로 예상되며, 다음과 같은 이유 중 하나로 정당화될 수 있다.

1. 소스가 특정 시간에 방사되기 시작한다고 가정하고, 그 다음 R을 충분히 크게 만들어 P의 소란을 고려하고 있을 때 A의₃ 기여가 그곳에 도착하지 않도록 한다.^[1] 그러한 파동은 단색파가 항상 존재해야 하지만, 그러한 가정은 필요하지 않으며, 그 사용을 피하는 보다 형식적인 주장이 도출되었기 때문에 더 이상 단색파가 아니다.^[6]
2. 조리개 A에서₁ 나오는 파동은 전파되면서 구형파를 향해 진화할 것으로 예상된다(이러한 파장의 예는 비교적 좁은 개구부를 통과하는 물파를 보여주는 많은 사진에서 찾을 수 있다). 따라서 R이 충분히 크면 A의₃ 적분은
   $${\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}[\cos(n,r')]d{{{d}d.A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}e^{2ik(r')}[\cos(n,r'-\cos(n,r')]d{\Oomega }=0}$$

   
   여기서 $r{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ r$'}$ 및$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle d\Oomega}$은 개구부 A의₁ 중심에서 구면 좌표계의 적분 표면 요소 및 차동 솔리드 각까지의 거리다$$.

결과적으로 P에서 복잡한 진폭을 나타내는 위의 적분(integrity)이 마침내 된다.

이것은 키르흐호프 또는 프레넬-키르흐호프 회절 공식이다.

Huygens-Freshnel 원리에 대한 동등성

Huygens-Freshnel 원리는 다른 닫힌 표면(관측점 P가 있는 일부 부피의 경계)에 걸쳐 통합함으로써 도출될 수 있다. 위의 영역₁ A는 개구부에 가장 가까운 r에서₀ 파선(P에서₀ 방출된)의 부분과 P에서₀ 정점을 가진 원뿔의 부분으로 대체되며, 오른쪽 다이어그램에 A라고₄ 표시되어 있다. 파전선이 조리개 가장자리에 매우 가깝게 위치하면 A의₄ 기여를 소홀히 할 수 있다(여기서 추정). 이 새로운 A에서₁, 내부(밀폐된 적분 표면으로 둘러싸인 볼륨을 다이어그램에서 우측으로 표시) n ${\displaystyle n}$에서₁ A까지의 일반 $n$은 P로부터₀ 방사 방향, 즉 파형에 수직인 방향을 따른다. 그 결과 각도${\displaystyle (n}$ ,${\displaystyle r}$) = 0 ${\displaystyle (n,r)=0$$}$ 및${\displaystyle }$각도${\displaystyle (n}$ , ${\displaystyle s}$)$${\$displaystyle (n,s)}$은 각도 $\chi {\displaystyle }${\$displaystyle \chi$}($$Huygens–Fresnel 원리에 정의된 각도)과 관계가 있다$$.

r에서₀ 파형의 복잡한 진폭은 다음과 같이 주어진다.

그래서 회절식은

도표에서 개구부에 가장 가까운 r에서₀ 파동전선의 부분에 대해 적분을 수행한다. 이 적분은 Huygens-Fresnel 원리로 이어진다(오블리시티 계수 $1\frac{\mathrm{}}{}$+ $\frac{\cos }{}$ $\frac{\chi }{\mathrm{}}$ ${\$}$$

이 적분체의 도출에서는, 오른쪽 도표에 묘사된 기하학 대신에, 내부 구 반지름 r과₀ 무한 외부 구 반지름을 가진 P를₀ 중심으로 한 이중 구를 사용할 수 있다.^[7] 이 기하학에서 관측점 P는 두 개의 구체로 둘러싸인 부피에 위치하므로 프레스넬-키르호프 회절 공식이 두 구에 적용된다.(이 통합 표면에서 정상인 표면은 위의 회절 공식에서 다시 말하면 밀폐된 부피 쪽으로 된다.) 공식 적용에서, 외부 구에 있는 적분은 위의 0과 같은 반구 적분 사유에 의해 0이다.

확장 소스

개구부가 확장된 소스 파형에 의해 조명된다고 가정한다.^[8] 개구부의 복잡한 진폭은 U₀(r)에 의해 주어진다.

그것이, 전만 해도 U{U\displaystyle}과∂ U∂ n{\displaystyle{\frac{\partial U}{n\partial}의 가치}} 때 화면이 존재하지 않는 지역에서 A1은, U{U\displaystyle}과∂ U∂ n{\displaystyle{\frac{\partial U}{n\partial}의 가치}}A2에서 zer이 똑같다고 가정한다.o (키르호프의 경계 조건)과 A로부터₃ 적분에 대한 기여도 역시 0이다. 또한 1/s는 k에 비해 무시할 수 있다고 가정한다. 그러면 우리는

이것은 키르호프 회절식의 가장 일반적인 형태다. 확장 선원에 대한 이 방정식을 해결하기 위해서는 선원의 개별 점들이 기여하는 것을 합하기 위해 추가적인 통합이 필요할 것이다. 그러나, 만일 우리가 조리개 각 점의 선원에서 나오는 빛이 잘 정의된 방향을 가지고 있다고 가정한다면, 그것은 선원과 조리개 사이의 거리가 파장보다 현저하게 큰 경우에 해당한다고 가정하면, 우리는 글을 쓸 수 있다.

여기서 a(r)는 개구부의 r 지점에서 교란의 크기다. 그러면 우리는 따라서

프라운호퍼 및 프레스넬 회절 방정식

공식에 도달하기 위해 만들어진 다양한 근사치에도 불구하고, 기악 광학에서 대부분의 문제를 설명하는 것이 적절하다. 이것은 주로 빛의 파장이 어떤 장애물보다 훨씬 작기 때문이다. 대부분의 구성에서는 분석 솔루션이 가능하지 않지만 근거리와 원거리에 대한 Kirchhoff 공식의 근사치인 Freshnel 회절 방정식과 프라운호퍼 회절 방정식을 매우 광범위한 광학 시스템에 적용할 수 있다.

Kirchhoff 회절 공식에 도착하면서 만들어진 중요한 가정 중 하나는 r과 s가 λ보다 유의하게 크다는 것이다. 다른 근사치를 만들 수 있는데, 이것은 방정식을 훨씬 더 단순화시킨다: 이것은 PQ와₀ QP의 거리가 개구부의 치수보다 훨씬 더 크다는 것이다. 이를 통해 다음 두 가지 근사를 더 만들 수 있다.

• cos(n, r) - cos(n, s)는 2cos β로 대체된다. 여기서 β는 PP와₀ 간극에 대한 정규 사이의 각도다. 계수 1/r은 1/r'로 대체되며, 여기서 r'와 s'는 개구부에 위치한 P와₀ P에서 출발지까지의 거리다. 그러면 복잡한 진폭은 다음과 같이 된다.
  $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia\cos \beta }{\lambda r's'}}\int_{S}e^{ik(r+s)}\,ds.}$$

  
• 간극이 xy 평면에 있고 P₀, P, Q(간극의 일반점)의 좌표는 각각 (x₀, y₀₀, z), (x, y, z)와 (x', y', 0)이라고 가정한다. 그 후 다음을 수행하십시오.

  ${\displaystyle ~r^{2}=(x_{0}-x')^{2}+(y_{0}-y')^{2}+z_{0}^{2}}}$

  ${\displaystyle ~s^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2},}$

  ${\displaystyle ~r'^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{0}}^{2}+z_{0}^{2}}}$

  ${\displaystyle ~s'^{2}=x^{2}+y^{2}+{2}+z^{2}.}$

r과 s는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {2(x_{0}x'+y_{0}y')}}{r'^{2}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}}}{r'^{2}}\\오른쪽]^{1/2}}$

${\displaystyle s=s's\left[1-{\frac {2(xx'+y')}}{s'^{2}}+{\frac {x'^{2}+y'^{2}}}}{s'^{2}}\\오른쪽]^{1/2}.}$

파워 시리즈로 확장할 수 있는 기능:

${\displaystyle r=r'\left[1-{\frac {1}{2r'^{2}}}[2(x_{0}x'+y_{0}y')+(x'^{2}+y'^{2})]+{\frac {1}{2r'^{2}}}[2(x_{0}x'+y_{0}y')+(x'^{2}+y'^{2})]^{2}+\cdots \right],}$

${\displaystyle s=s'\left[1-{\frac {1}{2s'^{2}}}[2(xx'+yy')+(x'^{2}+y'^{2})]+{\frac {1}{2s'^{2}}}[2(xx'+yy')+(x'^{2}+y'^{2})]^{2}+\cdots \right].}$

P에서의 복잡한 진폭은 이제 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle U(P)=-{\frac {i\cos \beta}{\lambda }{\frac {ae^{ik(r'+s')}}}{r'}}\int _{S}e^{ikf(x',y')}\,dx'dy',}$

여기서 f(x', y')는 각 표현식의 첫 번째 용어와는 별도로 s 및 r에 대해 위의 표현식에 있는 모든 용어를 포함하며 형식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle f(x',y')=c_{1}x'+c_{2}y'+c_{3}x'^{2}+c_{4}y'^{2}+c_{5}}x'y'\cdots,}$

여기서_i c는 상수다.

프라운호퍼 회절

x'와 y'의 항을 제외하고 f(x', y')의 모든 항을 무시할 수 있다면, 우리는 프라운호퍼 회절 방정식을 가지고 있다. PQ와₀ PQ의 방향 코사인 경우

${\displaystyle {\m&={0}l_{0}-x_{0}/r',\m_{0}&={0}/r',\l&=x/s,\m&=y/s'.\end{정렬}}}$

프라운호퍼 회절 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m')]\,dx'dy',},}$

여기서 C는 상수다. 이것은 또한 양식으로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\}dr,}$

여기서 k와₀ k는 각각 P에서₀ 조리개로, 그리고 조리개에서 P로 이동하는 파동의 파동 벡터이며, r'는 조리개 내의 지점이다.

점 선원이 개구부의 복잡한 진폭이 U₀(r' )에 의해 주어진 확장 선원으로 대체되는 경우, 프라운호퍼 회절 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} '))e^{i(\mathbf {k}_{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',},},}$

여기서 a₀(r')는 이전과 같이 조리개에서의 소동의 규모다.

키르흐호프 방정식을 도출할 때 만들어진 근사 외에 다음과 같이 가정한다.

• r과 s는 조리개 크기보다 상당히 크다.
• f(x', y')라는 표현에서 2차 및 상위 용어들은 무시될 수 있다.

프레스넬 회절

2차 항을 무시할 수 없지만 모든 상위 항이 무시할 수 있는 경우, 이 방정식은 프레스넬 회절 방정식이 된다. Kirchhoff 방정식의 근사치를 사용하며, 추가적인 가정은 다음과 같다.

• r과 s는 조리개 크기보다 상당히 크다.
• f(x', y')라는 표현에서 3차 및 상위 용어들은 무시될 수 있다.

참조

추가 읽기

• 베이커, B.B.; E.T.의 콥슨(1939, 1950). Huygens의 원리에 대한 수학 이론. 옥스퍼드
• Woan, Graham (2000). The Cambridge Handbook of Physics Formulas. Cambridge University Press. ISBN 9780521575072.
• J. Goodman (2005). Introduction to Fourier Optics (3rd ed.). Roberts & Co Publishers. ISBN 978-0-9747077-2-3.
• Griffiths, David J. (2012). Introduction to Electrodynamics. Pearson Education, Limited. ISBN 978-0-321-85656-2.
• Band, Yehuda B. (2006). Light and Matter: Electromagnetism, Optics, Spectroscopy and Lasers. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-89931-0.
• Kenyon, Ian (2008). The Light Fantastic: A Modern Introduction to Classical and Quantum Optics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856646-5.
• Lerner, Rita G.; George L., Trigg (1991). Encyclopedia of physics. VCH. ISBN 978-0-89573-752-6.
• Sybil P., Parker (1993). MacGraw-Hill Encyclopedia of Physics. McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN 978-0-07-051400-3.