쾨니히 정리(복소해석)

복소해석과 수치해석학에서 헝가리 수학자 줄라 쾨니그의 이름을 딴 쾨니히의 ^[1]정리는 함수의 단순한 극 또는 단순한 근을 추정하는 방법을 제공한다.특히 뉴턴의 방법이나 일반화의 세대주의 방법처럼 근원 찾기 알고리즘에 많은 응용을 가지고 있다.

진술

x< { $displaystyle$x < $R$에 정의된 meromaphic 함수가 지정됩니다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n},\qquad c_{0}\neq 0.}$

이 디스크에는 단순한 $극{\displaystyle }$ x ${\displaystyle =}$(\$displaystyle$ x$=r)$이 하나만 있습니다.그리고나서

${\displaystyle {c_{n}}{c_{n+1}}=r+o(\display ^{n+1}),}$

서 0< < \ $displaystyle$ 0 < \ $sigma$< $1$）、 < R \ $displaystyle$ r < \ $sigma$ R 。구체적으로는,

$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty}{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}=r.}$

직감

주의해 주세요

${\displaystyle {\frac {C} {x-r}=-{\frac {1} {1-x/r}}=-{\frac {C} {r}\sum _{n=0}^{\infty}\left[{\frac {x}\r}{n}},$

$이$ 값은 계수비가 1${\displaystyle \frac{/r^{}}{}}$ n${\displaystyle \frac{}{{}^{}}}$ / ${\displaystyle \frac{r{}^n}{}}$ + ${\displaystyle \frac{1^{}}{}\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle r}$. { $displaystyle${ 1 / r^ { $n }$ { $1$ / $r^$ { n + 1 }$$$= r$ 입니다.$}$

단순 극 주변에서는 $함수{\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =\underset{n}{\overset{}{}}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}{}_{}}$ c ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle x^{}}$n ( \ $displaystyle$f ( x ) = \ $sum$_ { n$$=$0$}^{ \ $infty }c_{n}x^{n$$}$은 기하 급수와 유사하게 변화하며 f$${\ $displaystyle$ f$\}$의 계수에서도 나타난다.

즉, x=r 근처에서는 기능이 극에 의해 지배될 것으로 예상한다.

${\displaystyle f(x)\약 {\frac {C}{x-r}}$

${\displaystyle \frac{{따라서}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$c ${\displaystyle \frac{{\mathrm{n}}_{}}{}}$ + 1${\$ ${\displaystyle {c_${n$}}{c_{n+1}}\approx$ r$\}$이 $됩니다{\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$.

레퍼런스