과급곡선

대수기하학에서 과대망상곡선은 형태의 방정식으로 주어지는 속 g > 1의 대수곡선이다.

여기서 f(x)는 n = 2g + 1 > 4 또는 n = 2g + 2 > 4의 다항식이고, h(x)는 g + 2의 다항식이다(지반장의 특성이 2가 아닐 경우 h(x) = 0을 취할 수 있다).null

과대망상함수는 그러한 곡선의 함수장 또는 곡선의 자코바 다양성의 요소다. 이 두 개념은 타원함수에 대해서는 동일하지만 과대망상함수에 대해서는 다르다.null

그림 1은 $C{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$의 그래프 입니다.

곡선의 속

다항식의 정도에 따라 곡선의 속성이 결정된다: 도 2g + 1 또는 2g + 2의 다항식은 g의 속곡선을 제공한다.정도가 2g + 1일 때 곡선을 가상의 과대망상곡선이라고 한다.한편, 도 2g + 2의 곡선은 실제 과대망상곡선이라고 불린다.속주에 대한 이 문장은 g = 0 또는 1에 대해 사실이지만, 이러한 곡선은 "하이프렐립틱"이라고 불리지 않는다.오히려 사례 g = 1(구분점을 선택하면)은 타원형 곡선이다.따라서 용어.null

모형의 공식화 및 선택

이 모델이 과대망상 곡선을 설명하는 가장 간단한 방법이지만, 그러한 방정식은 투영 평면에서 무한대에 단수점을 가질 것이다.이 특징은 케이스 n > 3에 특유하다.따라서 비성곡선을 지정하기 위해 그러한 방정식을 부여할 때, 거의 항상 혼성 기하학의 의미에서 등가인 비성곡 모델(평탄한 완성이라고도 함)을 의미한다고 가정한다.null

좀 더 정확히 말하면, 방정식은 C(x)의 2차 확장을 정의하는데, 그 함수장이 의미한 것이다.무한대의 단수점은 정규화(integral closure) 프로세스에 의해 제거될 수 있다(곡선이기 때문에).이렇게 한 후, 두 개의 아핀 차트에 의한 곡선의 개방된 커버가 있다는 것이 밝혀졌다. 즉, 이미 이 차트에 의해 주어진 것이다.

그리고 또 다른 하나는 에 의해 주어진다.

두 차트 사이의 접착 맵은 다음에 의해 제공된다.

그리고정의되어 있는 곳이면 어디든.null

사실 기하학적 속기는 곡선 C가 투영 선의 래미티드 더블 커버로 정의되고 f의 뿌리에서 발생하는 래미테이션과 무한대의 지점에서 홀수 n에 대해서도 정의되는 것으로 가정한다.이러한 방법으로 사례 n = 2g + 1과 2g + 2를 통일할 수 있다. 왜냐하면 우리는 무한대로부터 어떤 래미화 지점을 이동시키기 위해 투사 라인의 자동형성을 사용하는 것이 낫기 때문이다.null

리만 사용-후르비츠 공식

리만 사용-Hurwitz 공식, 속 g가 포함된 과대망상 곡선은 n = 2g + 2의 등식으로 정의된다.f : X → P는¹ 라미화 도 2로 분기된 피복이며, 여기서 X는 속 g, P는¹ 리만 구가 있는 곡선이다.렛츠₁ g = g, g는₀ P의¹ 속( = 0 )으로 하고, 리만-허위츠 공식은 다음과 같이 밝혀진다.

${\displaystyle 2-2g_{1}=2(2-2g_{0}-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)}$

여기서 s는 X의 모든 점 위에 있다.ramified 점의 수는 n이므로 n = 2g + 2이다.

발생 및 적용

속 2의 모든 곡선은 과대망상적이지만 속 3의 경우 일반 곡선은 과대망상적이지 않다.이것은 모듈리 공간 치수 검사에 의해 경험적으로 보인다.계수 상수를 n = 2g + 2로 하여 투사선의 자동모형의 작용에 따른 n개의 점의 집합은 g가 2가 아닌 한 속 g의 곡선의 모듈리 수인 3g - 3의 자유도를 가진다.단순한 모델로는 일반적인 비-하이프렐립틱 곡선을 나타내기 어렵지만,^{[clarification needed]} 곡선이나 아벨리안 품종의 모듈리 공간에 있는 과페렐립틱 로커스에 대해서는 훨씬 더 많이 알려져 있다.^[1]초경량 곡선의 기하학적 특성 중 하나는 위어스트라스 포인트를 통해서이다.비하이프렐립틱 곡선의 보다 자세한 기하학적 형상은 표준곡선 이론에서 읽는데, 표준지도가 과페렐립틱 곡선에서는 2대 1이지만, 그렇지 않으면 g > 2에 대해서는 1대 1이다.삼각곡선은 다항식의 제곱근보다는 입방근을 취하는 것에 해당하는 곡선을 말한다.null

이성적 함수 영역의 2차적 확장에 의한 정의는 특성 2를 제외하고 일반적으로 필드에 대해 작용한다. 모든 경우에 투영선의 래미티드 이중 커버로서의 기하학적 정의를^{[clarification needed]} 사용할 수 있다.null

초고속 곡선은 이산 로그 문제에 기반한 암호 시스템의 초고속 곡선 암호화에 사용될 수 있다.null

또한 과속귀곡선은 아벨리아 미분류의 모듈리 공간의 특정 층층의 연결된 전체 구성요소를 구성하는 것으로 나타난다.^[2]null

속 2의 곡선의 과급성은 속 =1의 채우기 경우 그로모프의 채우기 영역 추측을 입증하기 위해 사용되었다.null

분류

주어진 속 g의 과대망상곡선은 모듈리 공간을 가지며, 2g+2의 2진 형태의 불변성의 고리와 밀접한 관련이 있다.^[specify]null

역사

과대망상 함수는 아돌프 괴펠(1812-1847)이 그의 마지막 논문인 아벨쉐 초월체 에르스터 오르드농(Abellian Transferenten erster Ordnung, 제1순서의 아벨리우스 초월체)에 의해 처음 발표되었다^{[citation needed]}(Journalfer für reine und und Angelwandteatherik, 제35, 1847권, 1847).독립적으로 요한 G. 로젠하인은 그 문제에 대해 연구하여 엄케흐룽겐 초이스라엘립티셔 통합(Mémoires des savants, vol. 11, 1851)을 발표하였다.null

참고 항목

• 볼자 표면
• 수페렐립틱 곡선

참조

• "Hyper-elliptic curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 과급 곡선의 로컬 산술에 대한 사용자 가이드

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