프레넬 방정식

거의 방목 사고 시, 미디어 인터페이스는 정상적인 사고 시에 좋지 않은 반사기임에도 불구하고, 특히 편광의 반사로 인해 거울처럼 보입니다.편광 선글라스는 편광을 차단하여 수평면의 눈부심을 크게 줄여줍니다.

프레넬 방정식(또는 프레넬 계수)은 서로 다른 광학 매체 사이의 인터페이스에 입사할 때 빛(또는 일반적으로 전자기 복사)의 반사와 투과를 설명합니다.그것들은 아무도 파동이 전기장과 자기장이라는 것을 깨닫지 못했을 때, 빛이 횡파라는 것을 처음으로 이해했던 프랑스의 공학자이자 물리학자인 오귀스틴 장 프레넬(/fre ɪˈ ɛl/)에 의해 추론되었습니다.처음으로, 프레넬 방정식이 재료 계면에 입사하는 s와 p 편광의 파동의 다른 거동을 정확하게 예측했기 때문에 편광은 정량적으로 이해될 수 있었습니다.

개요

빛이 굴절률 n을₁ 가진 매질과 굴절률₂ n을 가진 두 번째 매질 사이의 계면에 부딪힐 때, 빛의 반사와 굴절이 모두 일어날 수 있습니다.프레넬 방정식은 편광의 두 요소 각각에 대해 반사파의 전기장과 입사파의 전기장의 비율을, 그리고 투과파의 전기장과 입사파의 전기장의 비율을 제공합니다.(자기장은 유사한 계수를 사용하여 연관 지을 수도 있습니다.)이러한 비율은 일반적으로 복잡하여 상대 진폭뿐만 아니라 인터페이스의 위상 이동도 설명합니다.

이 식은 매체 간의 인터페이스가 평탄하고 매체가 균질하고 등방성이라고 가정합니다.^[1]입사광은 평면파로 가정하는데, 이는 어떠한 입사광장도 평면파와 편광으로 분해될 수 있기 때문에 어떠한 문제도 해결하기에 충분합니다.

S 및 P 분극

입사파의 두 개의 서로 다른 선형 편광 성분에 대한 두 세트의 프레넬 계수가 있습니다.모든 편광 상태는 두 직교 선형 편광의 조합으로 해결할 수 있으므로 모든 문제에 대해 충분합니다.마찬가지로, 무편광(또는 "무작위 편광") 빛은 두 개의 선편광 각각에서 동일한 양의 파워를 가집니다.

s편광은 입사면(아래 유도에서 z 방향)에 $수직$ 인 파동의 전기장의 편광을 의미합니다. 그러면 자기장은 입사면에 있습니다.p편광은 입사면(아래 유도에서 $xy$ 평면)에서 전기장의 편광을 나타냅니다. 그러면 자기장은 입사면에 대해 정규입니다.

반사와 투과는 편광에 의존하지만, 정상 입사(θ =0)에서는 그들 사이에 차이가 없으므로 모든 편광 상태는 단일 프레넬 계수 세트에 의해 지배됩니다(그리고 그것이 사실인 또 다른 특수한 경우는 아래에 언급됨).

배열

오른쪽 그림에서, 광선 IO 방향의 입사면 파동이 O 지점에서 굴절률₁ n과₂ n의 두 매질 사이의 계면에 부딪힙니다. 파동의 일부는 OR 방향으로 반사되고, 일부는 OT 방향으로 굴절됩니다.입사, 반사 및 굴절 광선이 계면의 법선에 도달하는 각도는 각각 θ, θ 및 θ로 제공됩니다.이 각도들 사이의 관계는 반사의 법칙에 의해 주어집니다.

\theta _{\mathrm {i}} =\theta _{\mathrm {r}}

스넬의 법칙과

n_{1}\sin \theta _{\mathrm {i} = n_{2}\sin \theta _{\mathrm {t}}

아래와 같이 전자기파를 구성하는 전기장과 자기장, 전자기 법칙을 고려하여 빛이 계면에 부딪히는 거동을 설명합니다.파동의 전기장(또는 자기장) 진폭의 비율은 얻어지지만, 실제로는 광 주파수에서 직접 측정할 수 있는 전력(또는 복사 조도)이기 때문에 전력 계수를 결정하는 공식에 더 관심이 있습니다.파동의 힘은 일반적으로 전기장(또는 자기장) 진폭의 제곱에 비례합니다.

전력(강도) 반사 및 전달 계수

우리는 계면에서 반사되는 입사 전력의 분율을 반사율(또는 반사율, 또는 전력 반사 계수) R이라고 부르고, 두 번째 매질로 굴절되는 분율을 투과율(또는 투과율, 또는 전력 전송 계수) T라고 부릅니다.이는 인터페이스의 각 면에서 바로 측정되는 것이며, 전송 또는 반사 후 흡수 매체에서 파동의 감쇠를 설명하지 않습니다.^[2]

s편광에 대한 반사율은

R_{\mathrm {s} =\left {\frac {Z_{2}}\cos \theta _{\mathrm {i}}-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t}}}{Z_{2}}\cos \theta _{\mathrm {i}+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t}}\right ^{2},

p-polarized 빛의 반사율은

R_{\mathrm {p} =\left {\frac {Z_{2}}\cos \theta _{\mathrm {t}}-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i}}}{Z_{2}}\cos \theta _{\mathrm {t}+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i}}}\right ^{2},

여기서 $Z$ 와₁ $Z$ 는₂ 각각 매질 1과 2의 파동 임피던스입니다.

우리는 매체가 비 magnetic(즉, μ = μ = μ)이라고 가정합니다. 이는 일반적으로 광 주파수(및 다른 주파수의 투명 매체)에서 좋은 근사치입니다.그런 다음 파동 임피던스는 굴절률 n과₁ n에₂ 의해서만 결정됩니다.

Z_{i}={\frac {Z_{0}}{n_{i}}\,,

여기서

Z

는 자유공간의 임피던스이고

i

= 1, 2. 이 치환을 통해 굴절률을 이용한 방정식을 얻습니다.

R_{\mathrm {s}} =\left {\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t}}}\right ^{2}=\left {\frac {n_{1}}\cos \theta _{\mathrm {i}}-n_{2}{\sqrt {1-\left ({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i}\right)^{2}}}{{n_1}}\cos \theta _{\mathrm {i}}+n_{2}{\sqrt {1-\left ({\frac {n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i}\right)^{2}}}\right ^{2},!

R_{\mathrm {p} =\left {\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i}}}\right ^{2}=\left {\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left ({\frac {n_{1}}{n_{2}}\sin \theta _{\mathrm {i}\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i}}}{n_{1}{\left ({\frac {n_{2}}\sin \theta _{\mathrm {i}\right)^{2}}}+n_{2}}+n_{2}}\cos \theta _{\mathrm {i}}}\right^{2}\!.

각 방정식의 두 번째 형태는 스넬의 법칙과 삼각형 항등식을 사용하여 θ을 제거함으로써 첫 번째 형태에서 유도됩니다.

에너지 절약의 결과로, 단순히 입사 전력 중 반사되지 않은 부분으로 전송 전력(또는 정확하게는, 조사 조도: 단위 면적당 전력)을 구할 수 있습니다.

T_{\mathrm {s} = 1-R_{\mathrm {s}}

그리고.

T_{\mathrm {p}}=1-R_{\mathrm {p}

이러한 모든 강도는 인터페이스에 수직인 방향의 파동의 조사 조도로 측정됩니다. 이는 일반적인 실험에서도 측정됩니다.이 숫자는 입사파 또는 반사파 방향의 조사(파의 포인팅 벡터의 크기에 따라 제공됨)에서 얻을 수 있으며, 법선 방향에 대해 θ인 각도의 파동에 대한 코스 θ을 곱했습니다(또는 이와 동등하게 단위 벡터가 인터페이스에 법선인 포인팅 벡터의 점 곱을 취함).반사 계수의 경우 cos θ= cos θ 이므로 파동 방향의 입사 조사 조도에 대한 반사 비율이 계면에 대한 법선 방향과 동일하도록 이 복잡성을 무시할 수 있습니다.

이러한 관계는 기본 물리학을 설명하지만, 많은 실제 응용 분야에서 편광되지 않은 것으로 설명될 수 있는 "자연광"과 관련이 있습니다.즉, s 및 p편광에서 동일한 양의 검정력이 존재하므로 재료의 유효 반사율은 두 반사율의 평균에 불과합니다.

R_{\mathrm {eff} = {\frac {1}{2}}\left(R_{\mathrm {s}}+R_{\mathrm {p}\right)

Schlick의 근사는 각 각도에 대한 유효 반사 계수를 엄격하게 계산하는 대신 컴퓨터 그래픽과 같은 편광되지 않은 빛을 포함하는 낮은 정밀도의 응용에 사용됩니다.

특수한 경우

정상발생

정상 입사의 경우, θ i = $\theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {t} }=0$ θ t = $0$ {\displaystyle \theta _{\mathrm {i} =\theta _{\mathrm {t} = 0}이며, s와 p 편광의 구분은 없습니다.따라서 반사율은 다음과 같이 단순화됩니다.

R_{0}=\left {\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}\right ^{2}\",

공기(n = 1)로 둘러싸인 일반적인 유리(n ≈ 1.5)의 경우, 정상 입사에서의 전력 반사율은 유리 판유리 양쪽을 모두 차지하는 약 4% 또는 8%로 볼 수 있습니다.

브루스터각

n에서 $1$ $n$ 까지의₂ 유전체 계면에서는 $R$ 이_p 0으로 가고 p편광 입사파가 순수하게 굴절되는 특정한 입사각이 있습니다. 따라서 모든 반사광은 s편광됩니다.이 각도는 브루스터 각도로 알려져 있으며 n = 1, n = 1.5(typical 유리)일 때 약 56°입니다.

내부반사합계

밀도가 높은 매질에서 진행하는 빛이 덜 조밀한 매질의 표면에 부딪히면(즉, $n$ > $n$ ) 임계각으로 알려진 특정 입사각을 넘어 모든 빛이 반사되고 $R$ = $R$ = 1이 됩니다 $.$ 내부 전반사로 알려진 이 현상은 스넬의 법칙이 굴절각의 사인이 통일성을 초과할 것이라고 예측하는 입사각에서 발생합니다(실제로 모든 실제 θ의 경우 sin θ ≤ 1).공기로 둘러싸인 n = 1.5 유리의 경우 임계각은 약 42°입니다.

45° 입사

45° 입사에서의 반사는 90° 회전에 매우 일반적으로 사용됩니다.45° 입사(θ =45°)에서 덜 조밀한 매질에서 더 조밀한 매질로 지나가는 빛의 경우, R은 R의 제곱과 같다는 것을 위의 $식$ 에서 대수적으로 따릅니다.

R_{\text{p}}=R_{\text{s}}^{2

이것은 $R$ 과_s $R$ 의_p 측정값의 일관성을 확인하거나 다른 측정값이 알려진 경우 그 중 하나를 도출하는 데 사용할 수 있습니다.이 관계는 더 복잡한 분석이 필요한 기판 위의 필름에 대해서가 아니라 두 균질한 재료 사이의 단일 평면 인터페이스의 단순한 경우에만 유효합니다.

45°에서 $R$ 과_s $R$ 을_p 측정하면 정상 입사에서의 반사율을 추정할 수 있습니다.^{[citation needed]} $R$ 과_s $R$ 의_p 기하학적 평균뿐만 아니라 산술을 먼저 계산한 후 이 두 평균을 산술적으로 다시 평균화하여 얻은 "평균의 평균"은 대부분의 일반적인 광학 재료에서 약 3% 미만의 오차를 가진 $R$ 에₀ 대한 값을 제공합니다.^{[citation needed]}이는 들어오는 빔과 디텍터가 서로를 방해하기 때문에 실험 설정에서 정상 입사에서의 측정이 어려울 수 있으므로 유용합니다.그러나 10° 미만의 각도에 대한 입사각에 대한 $R$ 과_s $R$ 의_p 의존도는 매우 작기 때문에, 약 5°에서의 측정은 일반적으로 입사 빔과 반사 빔의 분리를 허용하면서 정상 입사에 대한 좋은 근사치가 될 것입니다.

복소 진폭 반사 및 전송 계수

전력과 관련된 위의 방정식(예를 들어, 광도계로 측정할 수 있음)은 전자기장 복합 진폭 측면에서 물리적 문제를 해결하는 프레넬 방정식에서 유도됩니다. 즉, 진폭 외에 위상 이동을 고려합니다.이러한 기본 방정식은 일반적으로 해당 EM 필드의 복잡한 값 비율을 제공하며 사용되는 형식주의에 따라 여러 가지 다른 형태를 취할 수 있습니다.반사 및 전송을 위한 복잡한 진폭 계수는 일반적으로 소문자 r과 t로 표시됩니다(전력 계수는 대문자로 표시됨).이전과 마찬가지로, 우리는 광학 주파수에서 모든 유전체에 $대해$ 본질적으로 맞는 것처럼 두 매질의 자기 투과성, µ을 $자유$ 공간 µ의 투과성과 동일하다고 가정하고 있습니다.

다음의 방정식과 그래프에서 우리는 다음과 같은 규약을 채택합니다.s편광의 경우 반사 계수 $r$ 은 입사파의 전기장 진폭에 대한 반사파의 복잡한 전기장 진폭의 비율로 정의되는 반면, p편광 $r$ 은 파동의 복잡한 자기장 진폭의 비율(또는 전기장 진폭의 비율의 음수)입니다.전송 계수 $t$ 는 두 분극 중 하나에 대해 송신파의 복잡한 전기장 진폭과 입사파의 전기장 진폭의 비율입니다.계수 $r$ 과 $t$ 는 일반적으로 s와 p 편광 사이에서 다르며, (s와 p의 명칭이 적용되지 않는 경우에도!) 정상 입사에서도 r의 부호는 파동이 s 또는 p 편광으로 간주되는지 $여부$ 에 따라 반대입니다.채택된 부호 규약의 아티팩트(0° 입사 시 공기 유리 인터페이스 그래프 참조).

식들은 입사각 $\theta _{\mathrm {i} }$ θ i ${\displaystyle \theta$ _ ${\mathrm$ $\theta _{\mathrm {i} }$ i}}}}, $\theta _{\mathrm {r} }=\theta _{\mathrm {i} }$ θ $\theta _{\mathrm {r} }=\theta _{\mathrm {i} }$ = θ $i {\$ displaystyle $\$ theta _{\mathrm {r} =\theta _{\mathrm {i}}}, 각도 θ t {\displaystyle \theta _{\mathrm {t}}에서 전달되는 파동을 고려합니다. 인터페이스가 abso로 들어가는 경우rbing 물질(n이 복소인 경우) 또는 내부 전반사, 전달 각도는 일반적으로 실수로 평가하지 않습니다.그러나 이 경우 삼각 함수와 기하학적 각도가 회피되는 이러한 관계의 공식을 사용하여 의미 있는 결과를 얻을 수 있습니다. 두 번째 매체로 발사되는 불균일한 파동은 단일 전파 각도를 사용하여 설명할 수 없습니다.

이 관습을 이용해서,^[5]^[6]

{\begin{aligned}r_{\text{s}}&={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}},\\[3pt]t_{\text{s}}&={\frac {2n_{1}}\cos \theta _{\text{i}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}},\\[3pt]r_{\text{p}}&={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}},\\[3pt]t_{\text{p}}&={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}{n_{2}}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}.\end{aligned}

$t$ = $r$ + 1, n/nt = $r$ + 1임을 알 수 있습니다.어떤 사람은 파동의 자기장 비율에 적용하여 매우 유사한 방정식을 쓸 수 있지만, 전기장의 비교는 더 일반적입니다.

반사파와 입사파가 동일한 매질에서 전파되고 표면에 대한 법선과 동일한 각도를 만들기 때문에, 전력 반사 계수 R은 단지 r의 제곱 크기입니다.

R= r^{2}

반면에, 두 매체에서 빛이 서로 다른 방향으로 진행하기 때문에 전력 전송 $계수$ T의 계산은 덜 간단합니다.또한, 두 매질에서의 파동 임피던스는 상이합니다; 전력(복사도)은 전기장 진폭의 제곱을 매질의 특성 임피던스로 나눈 값(또는 자기장의 제곱에 특성 임피던스를 곱한 값)에 의해 주어집니다.결과는 다음과 같습니다.^[9]

{\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}}t^{2}}t.

$t$ 의 위 정의를 사용합니다. $도입$ 된₂ n $/ n 1$ 요인은 미디어의 파동 임피던스 비율의 역수입니다. $cos($ θ) 인자는 파동의 전력을 조정하여 입사파와 송신파 모두에 대해 인터페이스에 수직인 방향으로 계산하여 최대 전력 전송이 T=1에 해당되도록 합니다.

전력 전송 $T$ 가 0인 내부 전반사의 경우, 그럼에도 불구하고 $인터페이스$ 바로 너머의 전기장(그 위상을 포함)을 설명합니다.이 필드는 파동으로 전파되지는 않지만( thus T = 0) 인터페이스에 매우 가까운 0이 아닌 값을 가지고 있습니다.내부 전반사에 대한 반사파의 위상 이동은 $r$ 과_p $r$ 의_s 위상 각도(이 경우 크기가 일치함)에서도 유사하게 구할 수 있습니다.이러한 위상 이동은 s파와 p파에 대해 다르며, 이는 내부 전반사가 편광 변환에 영향을 미치는 잘 알려진 원리입니다.

대체형태

$위$ 의 r 공식에서 n $n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}$ = n $n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}$ sin ⁡ θ i / sin ⁡ θ t {\displaystyle n_{2}= n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}(스넬의 법칙)을 넣고 분자와 분모에 1/n sin θ를 곱하면 다음을 얻을 수 있습니다.

r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}}}{\sin(\theta _{\text{t}}}{\text{t}}}{{\text{t}}}}}{\displaystyle r_{\text{t}

만약 우리가 $r$ 에_p 대한 공식과 같이 한다면 결과는 다음과 같음을 쉽게 알 수 있습니다.

r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}}}{\text{t}}}{\tan(\theta _{\text{t}}}{\text{t}}}}{\text{t}}}

이 공식들은 각각 프레넬의 사인 법칙과 프레넬의 접선 법칙으로 알려져 있습니다.^[17]정상 발생 시 이러한 식은 0/0으로 감소하지만, $한계치$ 에서θ → 0으로 정확한 결과를 나타내는 것을 알 수 있습니다.

다중 표면

빛이 둘 이상의 평행한 표면들 사이에서 다중 반사를 하는 경우, 다중 광선은 일반적으로 서로 간섭하여, 빛의 파장에 의존하는 순 투과 및 반사 진폭을 초래합니다.그러나 표면이 빛의 간섭 길이와 비슷하거나 작을 때에만 간섭이 나타납니다. 일반적인 백색광의 경우에는 마이크로미터가 거의 없습니다. 레이저의 빛의 경우에는 훨씬 클 수 있습니다.

반사 사이의 간섭의 예로는 비누 거품이나 물 위의 얇은 기름막에서 볼 수 있는 무광색이 있습니다.응용분야로는 Fabry-Pérot 간섭계, 반사방지 코팅, 광학 필터 등이 있습니다.이러한 효과에 대한 정량적 분석은 프레넬 방정식을 기반으로 하지만 간섭을 설명하기 위한 추가 계산을 포함합니다.

다중 표면 문제를 해결하기 위해 전송 매트릭스 방법 또는 재귀적 루어드 방법을 사용할 수 있습니다.

역사

1808년, 에티엔 루이 말루스는 한 줄기 빛이 비금속 표면에서 적절한 각도로 반사되었을 때, 두 줄기 빛이 이중 굴절된 석회암 결정에서 나오는 두 줄기 중 하나처럼 행동한다는 것을 발견했습니다.^[19]그는 나중에 이러한 행동을 묘사하기 위해 양극화라는 용어를 만들었습니다.1815년 데이비드 브루스터(David Brewster)에 의해 굴절률에 대한 편광각의 의존성이 실험적으로 밝혀졌습니다.^[20]그러나 그 의존의 이유는 매우 깊은 수수께끼였기 때문에 1817년 말 토마스 영은 다음과 같이 썼습니다.

[T]편광된 광선의 반사 또는 비반사에 대한 충분한 이유를 부여하는 모든 것의 큰 어려움은 아마도 어떤 이론에 의해서도 완전히 해결되지 않은 야심찬 철학의 허영심을 부끄럽게 하기 위해 오래 남을 것입니다.^[21]

그러나 1821년, 오거스틴 장 프레넬은 광파를 이전에 편광의 평면이라고 불리던 것과 수직인 진동을 갖는 횡 탄성파로 모델링함으로써 사인 및 접선 법칙과 동등한 결과를 도출했습니다.프레넬은 공기에서 유리 또는 물로 입사하는 빛에 대해 입사빔이 입사면에 대해 45°로 편광되었을 때 방정식이 반사빔의 편광 방향을 정확하게 예측했음을 실험으로 즉시 확인했습니다. 특히 브루스터 각도에서 방정식이 정확한 편광을 제공했습니다.^[22]실험적 확인은 프레넬이 "극분화되지 않은" 파동을 포함한 빛의 파동이 순수하게 가로 방향이라는 자신의 이론을 처음으로 밝힌 작업에 대한 "후진본"으로 보고되었습니다.^[23]

사인 법칙과 접선 법칙의 현대적인 형태를 포함한 프레넬의 유도에 대한 자세한 내용은 1823년 1월 프랑스 과학 아카데미에서 읽은 회고록에서 나중에 제공되었습니다.^[24]이 유도는 에너지 보존과 경계면에서의 접선 진동의 연속성을 결합했지만 진동의 정상적인 성분에 대한 어떤 조건도 허용하지 못했습니다.^[25]전자기 원리로부터 최초로 유도된 것은 1875년 헨드릭 로렌츠에 의해서였습니다.^[26]

프레넬은 ^[24]1823년 1월의 동일한 회고록에서 임계각보다 큰 입사각에 대해 반사 계수( $r$ 과_s $r p$ )에 대한 그의 공식이 단위 크기로 복잡한 값을 제공한다는 것을 발견했습니다.그는 평소처럼 크기가 피크 진폭의 비율을 나타낸다는 점에 주목하여, 논쟁이 위상 이동을 나타낸다고 추측하고, 가설을 실험적으로 검증했습니다.^[27]관련된 검증은

s와 p 성분 사이에 90°의 총 위상 차이가 발생하는 입사각 계산, 해당 각도에서 다양한 수의 총 내부 반사에 대해(generally 두 가지 해결책이 있음),
입사면에 대해 45°의 초기 선형 편광으로, 입사각에서 총 내부 반사의 수에 광을 부여하는 것, 그리고
최종 분극이 원형이라는 것을 확인하는 것입니다.^[28]

그래서 그는 마침내 1817년부터 실험에서 어떤 형태로든 사용해온 장치인 프레넬 마름모에 대한 정량적인 이론을 갖게 되었습니다(프레넬 마름모 § 역사 참조).

복잡한 반사 계수의 성공은 1836년부터 제임스 맥컬라와 오거스틴 루이 코시가 복잡한 굴절률을 가진 프레넬 방정식을 사용하여 금속으로부터의 반사를 분석하도록 영감을 주었습니다.^[29]

그가 완성한 내부 전반사와 마름모 이론을 발표하기 4주 전, 프레넬은 필요한 용어인 선형 편광, 원형 편광, 타원 편광을 ^[31]소개하고 광학 회전을 복굴절의 종으로 설명한 회고록을 제출했습니다: 선형 편광은 해결될 수 있습니다.서로 반대 방향으로 회전하는 두 개의 원형 polarized 성분으로 구성되며, 이 성분들이 서로 다른 속도로 전파될 경우 두 성분 사이의 위상 차이(따라서 선형 polarized 결과의 방향)는 거리에 따라 연속적으로 변할 것입니다.

따라서 그의 반사 계수의 복잡한 값에 대한 프레넬의 해석은 그의 연구의 여러 흐름의 합류와 거의 틀림없이, 횡파 가설에 대한 물리 광학의 재구성의 본질적인 완성을 나타냅니다(오거스틴-장 프레넬 참조).

파생

여기서 우리는 전자기적 전제로부터 위의 관계를 체계적으로 도출합니다.

재료 파라미터

의미 있는 프레넬 계수를 계산하려면 중간체가 (대략) 선형이고 균질하다고 가정해야 합니다.매질이 또한 등방성인 경우, 네 개의 필드 벡터 $E,$ $B,$ $D,$ $H$ 는 다음과 같이 연관됩니다.

{\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,,\end{aligned}

여기서 ϵ와 μ는 각각 매질의 (전기) 유전율과 (magnetic) 투과율로 알려진 스칼라입니다.진공의 경우 값은 각각 ϵ와 μ입니다.따라서 상대 유전율(또는 유전율) ϵ = ϵ/ ϵ 및 상대 $투과율$ μ = μ/μ를 정의합니다.

광학에서 매질은 μ = 1이 되도록 비 magnetic이라고 가정하는 것이 일반적입니다. 전파/microwave 주파수의 강자성 물질의 경우, μ의 더 큰 값을 고려해야 합니다.그러나 광학적으로 투명한 매질과 광학 주파수에서 모든 다른 물질(가능한 메타물질 제외)의 경우 μ는 실제로 1에 매우 가깝습니다. 즉 μ ≈ μ입니다.

광학에서, 사람은 보통 매질의 굴절률 n을 알고 있는데, 이것은 진공에서의 빛의 속도 ( $c$ )와 매질에서의 빛의 속도의 비율입니다.부분 반사와 투과의 분석에 있어서는 $E$ 의 $진폭$ 과 H의 진폭의 비율인 전자파 $임피던스$ Z에 대해서도 관심이 있습니다.따라서 n과 $Z$ 를 ϵ와 μ로 표현한 후 Z와 n을 연관시키는 것이 바람직합니다.그러나, 마지막으로 언급된 관계식은 파동 임피던스 $Z$ 의 역수인 파동 어드미턴스 $Y$ 의 관점에서 반사 계수를 도출하는 것을 용이하게 할 것입니다.

균일한 평면 정현파의 경우, 파동 임피던스 또는 어드미턴스는 매질의 고유 임피던스 또는 어드미턴스로 알려져 있습니다.이 경우는 프레넬 계수를 유도해야 하는 경우입니다.

전자기 평면파

균일한 평면 정현파 전자기파에서, $전기장$ E는 다음과 같은 형태를 갖습니다.

\mathbf {E_{k}}e^{i(\mathbf {k\cdotr} -\omega t)}

(1)

여기서 $E$ 는 (상수) 복소 진폭 벡터, i는 허수 단위, k는 파동 벡터(크기 $k$ 는 각파수), r은 위치 벡터, ω는 각주파수, t는 시간이며 식의 실제 부분은 물리장임을 알 수 있습니다.식의 값은 위치 $r$ 이 $법선$ tok 방향으로 변화하면 변하지 $않으므로$ k는 파면에 대해 법선입니다.

각도 ϕ $만큼$ 위상을 향상시키기 위해 ωt를 ωt+ϕ로 대체하고(즉, -ωt를 -ωt-ϕ로 대체합니다), (복잡한) 필드에 e를 곱한 결과를 $사용$ 합니다.따라서 위상 진전은 음의 인수를 갖는 복소수 상수의 곱셈과 같습니다.마지막 요인이 시간 의존성을 포함하는필드 (1)을 $Eee$ 로_k^ik⋅r^−iωt 인수분해하면 이는 더욱 명확해집니다.또한 이 요인은 미분 w.r.t. 시간이 $-i$ ω 곱하기에 해당함을 의미합니다.

ℓ가 k $방향$ 의r의 성분이면 필드 (1)은 E로 $표기$ 할 수 있습니다. $e$ 의 인수가 일정하려면 $위상$ 속도(v)로 알려진 $\omega /k\,,\,$ ω / k, ${\displaystyle \$ omega /k\,\,}에서 ℓ가 증가해야 합니다.이것은 차례로 $c/n$ $c/n$ 과 같습니다 $c/n$ $포크$ 를 푸는 것은 다음과 같습니다.

k=n\omega /c\,

(2)

평소처럼, 우리는 모든 복잡한 필드 양을 곱하는 것으로 이해되는 시간 의존적 인자 $e$ 를^−iωt 떨어뜨립니다.그러면 균일한 평면 사인파에 대한 전기장이 위치 의존적 위상으로 표시됩니다.

\mathbf {E_{k}}e^{i\mathbf {k\cdotr}}

(3)

그 형태의 분야에 있어서, 패러데이의 법칙과 맥스웰-암페어 법칙은 각각 다음과 같이 감소합니다.

{\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,\end{aligned}

위와 같이 B = $μH$ 와 D = ϵE를 넣으면, B와 D를 제거하여 E와 $H$ 에서만 방정식을 얻을 수 있습니다.

{\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,\end{aligned}

재료 매개 변수 ϵ 및 μ가 실수이면(무손실 유전체에서와 같이) 이 방정식은

k

, E, H가 오른손 직교 삼각형을 형성하여 동일한 방정식이 각 벡터의 크기에 적용됨을

보여줍니다

.크기 방정식을 취하고 (2)로부터 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.

{\begin{aligned}\muchH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,\end{aligned}

여기서

H

와

E

는

H

와

E

의 크기입니다. 마지막 두 방정식을 곱하면 다음을 얻을 수 있습니다.

n=c\,{\sqrt {\mu \epsilon}}\,

(4)

같은 두 방정식을 나누면 (또는 $교차$ multip링) H = YE가 됩니다.

Y={\sqrt {\epsilon /\mu}}\",

(5)

이것이 바로 내재된 입장입니다.

(4)로부터 위상 $c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}$ c $c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}$ / $c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}$ = $c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}$ / $c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}$ μ ϵ {\displaystyle c / n = 1{\big /}\! ${\sqrt {\mu \epsilon \,}}.$ 진공의 경우 $c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}$ $=$ $c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}$ / $c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}$ μ0 $ϵ$ 0 {\displaystyle c $=$ 1{\big /}\! ${\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}.$ 두 번째 결과를 첫 번째 결과로 나누면 다음과 같습니다.

n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}\",

magnetic가 아닌 매체(일반적인 경우)의 경우 n = ϵ

n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}

rel {\displaystyle n = {\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}가 됩니다.

((5)의 역수를 취하면, 우리는 고유 임피던스가 ${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ = ${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$ μ / ${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$ ϵ {\ $textstyle$ Z = {\ $sqrt$ {\ $mu /\$ epsilon}}임을 알 수 있습니다. 진공에서 이것은 자유 공간의 임피던스라고 알려진 값 Z 0 = μ 0 / ω 0 approx 377 ≈, {\textstyle Z_{0}= {\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}\,\ϵ 377\,\Omega \,}를 취합니다. ${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$ Z ${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$ / Z ${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$ = ${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$ / ${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$ ϵ rel $Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.$ Z / Z_{0}={\ $sqrt {\$ mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}. magnetic가 아닌 매체의 경우 Z = Z 0 / ϵ rel = Z 0 / n이 됩니다. {\displaystyle Z = Z_{0}{\big /}\! ${\sqrt {\text{rel$ }}} $=Z_{0}/n.}$ )

파동벡터들은

직교좌표 $(x, y, z$ )에서 영역 $y$ < $0$ 이 굴절률 $n 1,$ 고유입도 Y $등$ 을₁ 갖도록 하고, $영역$ > $0$ 이 굴절률 $n 2,$ 고유입도 $Y 2$ 등을 갖도록 합니다 $.$ 그러면 $xz$ 평면이 인터페이스이고 $y$ 축은 인터페이스에 대해 정규입니다(도면 참조). $i$ 와 $j$ ( 굵은 로마자로 $표기$ )를 각각 x 방향과 y 방향의 단위 벡터라고 합니다.입사 평면을 $xy$ 평면(페이지의 평면)이라 하고 입사각 θ를 j에서 i $방향$ 으로 $측정$ 합니다. $같은$ 의미에서 측정된 굴절각을θ라고 합니다. $여기$ 서 첨자는 전송(반사를 위한 예약 r)을 의미합니다.

도플러 쉬프트가 없는 경우에는 반사 또는 굴절 시 ω이 변하지 않습니다.따라서 (2)에 의해 파동 벡터의 크기는 굴절률에 비례합니다.

따라서 주어진 ω에 대해 k를 기준 매질에서 파동 벡터의 크기로 $재정의$ 하면( $n$ = 1인 경우), 파동 벡터는 첫 번째 $매질$ 에서 크기 nk를 가지며(그림에서 영역 y < 0), 두 번째 매질에서 크기 nk를 갖습니다.크기와 기하학적 구조로부터, 우리는 파동 벡터가

{\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i})\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i})\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}-\mathbf {j}text{t})\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}},\end{aligned}

마지막 단계에서 스넬의 법칙을 사용합니다.페이저(3) 형태의 대응하는 도트 제품은

{\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}+y\cos \theta _{\text{i}}\\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {k} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}-y\cos \theta _{\text{t}}\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} &=k(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t})\, .\end{aligned}

(6)

따라서:

y

y=0\,,~~~\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}}\,.

=

y=0\,,~~~\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}}\,.

에서

ki

⋅ r = kr ⋅ r = k t ⋅ r = n 1 k x sin ⁡ θ i. {\displaystyle y = 0\",~~\mathbf {k} _{\text

{

i}}\mathbf {k} _{\text{r}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} = n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}

(7)

s 구성요소

s 편광의 경우 E $필드$ 는 z $축$ 과 평행하므로 z $방향$ 의 성분으로 설명할 수 있습니다.반사계수와 투과계수를 각각 $r$ 과_s $t$ 로_s 합니다.그러면 입사 $E$ 필드가 단위 진폭을 갖도록 하면 z $성분$ 의 위상 형태(3)는

E_{\text{i}}=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdotr}}

(8)

그리고 반사되고 전송되는 필드는, 같은 형태가 됩니다.

{\begin{aligned}E_{\text{r}}&=r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r}}\E_{\text{t}&=t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}

(9)

본 논문에서 사용된 부호 규약 하에서 양의 반사 또는 전달 계수는 횡장의 방향을 보존하는 계수이며, 이는 (이러한 맥락에서) 입사면에 대해 정규인 필드를 의미합니다.편광의 경우 E $필드$ 를 의미합니다.입사, 반사 및 전달된 E $필드$ (위의 방정식에서)가 z $방향$ ("페이지 밖")이면, k $,$ $E,$ $H$ 가 오른쪽 직교 삼각형을 형성하므로 각 H $필드$ 는 빨간색 화살표 방향입니다.따라서 H $필드$ 는 H, $H,$ $H$ 로 표시되는 화살표의 방향에서 성분으로 설명될 수 있습니다. 그러면 H = $YE$ 이므로 $,$

{\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdotr} }\\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdotr} }\\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdotr} }.\end{aligned}

(10)

인터페이스에서, 전자기장에 대한 통상적인 인터페이스 조건에 의해, $E$ 및 $H$ 필드의 접선 성분은 연속적이어야 합니다; 즉,

\left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}+E_{\text{r}}&=E_{\text{t}\\H_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-H_{\text{r}\cos \theta _{\text{i}}&=H_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\end{aligned}}~\right\}~{\text{at}}~y=0\,

(11)

식 (8)에서 (10)으로, 그리고 (7)로 치환할 때, 지수 인자는 상쇄되고, 그래서 계면 조건은 동시 방정식으로 감소합니다.

{\begin{aligned}1+r_{\text{s}}&=,t_{\text{s}}\\\Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}r_{\text{s}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,Y_{2}t_{\text{s}}\cos \theta _{\text{t}},\end{aligned}

(12)

$r$ 과_s $t$ 에_s 대해 쉽게 풀리고 $,$ 양보하는.

r_{\text}}}={\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}

(13)

그리고.

t_{\text}}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}\",

(14)

정상 발생 $($ θ = θ = 0)에서 추가 첨자 0으로 표시되는 결과는 다음과 같습니다.

r_{\text{s0}}={\frac {Y_{1}-Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}}

(15)

그리고.

t_{\text{s0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}\,

(16)

방목 발생률 $($ θ → 90 $°)$ 에서 cos θ → 0이므로 r → -1, t → 0입니다.

p성분은

p편광의 경우 입사, 반사 및 $전송$ 된 E 필드는 빨간색 화살표와 평행하므로 해당 화살표의 방향에서 구성 요소에 의해 설명될 수 있습니다.이러한 구성요소를 E $i,$ $E r,$ $E t$ (새로운 컨텍스트의 기호를 재정의함)라고 합니다.반사 계수와 투과 계수를 $r$ 과_p $t$ 로_p 합니다.그러면, $입사$ E장이 단위 진폭을 갖도록 하면,

{\begin{aligned}E_{\text{i}}&=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r}}\E_{\text{r}&=r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\E_{\text{t}&=t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}

(17)

$E$ 필드가 빨간색 화살표 방향에 있으면 k $,$ $E,$ H가 $오른쪽$ 직교 삼각형을 형성하려면 각 $H$ 필드가 $-z$ 방향("페이지 안으로")이어야 하므로 해당 방향의 구성 요소로 설명할 수 있습니다.이것은 채택된 부호 규칙, 즉 양의 반사 또는 전달 계수가 횡단장(p편광의 경우 H $필드$ )의 방향을 보존하는 계수라는 것과 일치합니다.빨간색 화살표와 다른 필드의 일치는 부호 규칙의 대안적인 정의를 보여줍니다. 양의 반사 또는 전송 계수는 입사 평면에 있는 필드 벡터가 반사 또는 전송 전후에 동일한 매체를 가리키는 계수입니다.^[34]

따라서, 입사, 반사, 투과된 $H$ 필드에 대하여 $-z$ 방향의 각 성분을H, H, $H$ 라고 합니다. 그러면, H = $YE$ 이므로 $,$

{\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdotr} }\\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdotr} }\\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdotr} }.\end{aligned}

(18)

인터페이스에서 E $필드$ 와 H 필드의 접선 성분은 연속적이어야 합니다. 즉,

\left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-E_{\text{r}\cos \theta _{\text{i}}&=E_{\text{t}\cos \theta _{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}H_{\text{i}}+H_{\text{r}}&=H_{\text{t}}\end{aligned}}~\right\}~{\text{at}}~y=0\,

(19)

식 (17)과 (18)을 대입하고 (7)을 대입하면, 지수 인자는 다시 상쇄되어, 계면 조건은 다음과 같이 감소합니다.

{\begin{aligned}\cos \theta _{\text{i}}-r_{\text{p}}\cos \theta _{\text{i}&=\t_{\text{p}\cos \theta _{\text{t}\text{p}\cos \thetaY_{1}+Y_{1}r_{\text{p}}&=\,Y_{2}t_{\text{p}}\", .\end{aligned}

(20)

$r$ 과_p $t$ 를_p 풀면 $,$ 우리는 발견합니다.

r_{\text{p}}={\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}

(21)

그리고.

t_{\text{p}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}\",

(22)

정상 발생 $($ θ = θ = 0)에서 추가 첨자 0으로 표시되는 결과는 다음과 같습니다.

r_{\text{p0}}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}

(23)

그리고.

t_{\text{p0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}\,

(24)

방목 발생 시 $($ θ → 90 $°),$ 다시 cos θ → 0이므로 r → -1, t → 0입니다.

(23) 및 (24)를 (15) 및 (16)과 비교하면, 우리는 채택된 부호 규약 하에서 두 편광에 대한 전송 계수가 동일한 반면 반사 계수는 크기가 같지만 반대의 부호를 갖는 것을 알 수 있습니다.이러한 표지판의 충돌은 협약의 단점이지만, 보조자의 장점은 표지판이 방목 발생 시 일치한다는 것입니다.

전력비(반사율, 투과율)

파동에 대한 포인팅 벡터는 어떤 방향에 대한 성분이 해당 방향에 수직인 표면에서 해당 파동의 조사 조도(단위 면적당 힘)인 벡터입니다.평면 정현파의 경우 포인팅 벡터는 $1 / 2Re {E$ × $H *}$ 이며, 여기서 $E$ 와 $H$ 는 문제의 파동에 기인하며 별표는 복소 켤레를 나타냅니다.무손실 유전체(일반적인 경우) 내부에서, $E$ 와 H는 위상을 가지며, 서로 수직이고 파동 $벡터$ k에 수직입니다. 따라서, s편광의 경우, $E$ 와 $H$ 의 z $성분$ 과 $xy$ 성분을 각각 사용하여(또는 p편광의 경우, $E$ 와 $H$ 의 $xy$ 성분과 $-z$ 성분을 사용하여), k $방향$ 의 조사 조도는 단순히 $EH /2$ 에 의해 주어집니다 $.$ 고유 임피던스 $Z$ = $1/ Y$ 의 매개체에서 $E / 2Z$ 입니다.전력 전송 계수의 정의에서 요구하는 것처럼 인터페이스에 수직인 방향의 조사 조도를 계산하기 위해 H $또는$ E의 x 성분 $(전체$ $xy$ $성분$ 이 아닌)만을 사용하거나, 단순히 EH/ $2$ 에 적절한 기하학적 인자를 곱하여( $E / 2Z)$ $cos$ θ을 얻을 수 있습니다.

식 (13)과 (21)로부터, 크기 제곱을 취하면 반사율(반영된 힘과 입사된 힘의 비율)이

R_{\text{s}}=\left {\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}\right^{2}

(25)

양극화를 위해 그리고

R_{\text{p}}=\left {\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}\right^{2}

(26)

양극화를 위해서요동일한 매체와 동일한 코스 θ에서 두 개의 이러한 파동의 힘을 비교할 때, 위에서 언급한 임피던스와 기하학적 인자는 동일하고 상쇄됩니다.하지만 (아래) 전력 전송을 계산할 때는 이러한 요소들을 고려해야 합니다.

전력 전송 계수(전송률, 인터페이스에 수직인 방향의 입사 전력에 대한 전송 전력의 비율, 즉 y $방향$ )를 구하는 가장 간단한 방법은 $R$ + $T$ = $1$ (에너지 절약)을 사용하는 것입니다.이런 식으로 우리는

T_{\text{s}}=1-R_{\text{s}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}{\left Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right^{2}}

(25T)

양극화를 위해 그리고

T_{\text{p}}=1-R_{\text{p}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}{\left Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right^{2}}

(26T)

양극화를 위해서요

두 무손실 매질 사이의 계면(이 ϵ와 μ가 실수이고 양인 경우)의 경우, 식 (14)와 식 (22)에서 앞서 발견한 진폭 전송 계수의 제곱을 사용하여 이러한 결과를 직접 얻을 수 있습니다.그러나 주어진 진폭(위에서 언급한 바와 같이)에 대해, $y$ 방향으로 포인팅 벡터의 성분은 기하학적 인자 $cos$ θ에 비례하고 파동 $임피던스$ Z에 반비례합니다.이러한 보정을 각 파동에 적용하면 진폭 전송 계수의 제곱을 곱한 두 개의 비율을 얻을 수 있습니다.

T_{\text{s}}=\left({\frac {2)Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}\right)^{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}{\cos \theta _{\text{i}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}{\left(Y_{1})\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}

(27)

양극화를 위해 그리고

T_{\text{p}}=\left({\frac {2)Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}\right)^{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}{\cos \theta _{\text{i}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}{\left(Y_{2})\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}

(28)

양극화를 위해서요마지막 두 방정식은 무손실 유전체에만 적용되며 임계각보다 작은 입사각( $물론$ T = 0인 beyond)에서만 적용됩니다.

편광되지 않은 조명의 경우:

$T={1 \over 2}(T_{s}+)T_{p}$

$R= {1 \over 2}(R_{s}+R_{p})$

여기서 $R+T=1$ + $R+T=1$ = $R+T=1$ ${\displaystyle$ R + T = 1}.

등굴절률

식 (4)와 (5)로부터, 우리는 만약 투과율의 비율이 유전율의 비율의 반대라면, 두 개의 다른 매질이 같은 굴절률을 갖지만 다른 허용치를 갖는다는 것을 알 수 있습니다.그 특이한 상황에서 우리는 θ= θ (즉, 투과 광선이 진동하지 않음)을 가지고 있으므로 식 (13), (14), (21), (22), 및 (25)~(28)의 코사인이 상쇄되고 모든 반사 및 투과 비율은 입사각과 독립적이 됩니다. 즉,정상 발생 비율은 모든 발생 각도에 적용할 수 있습니다.^[35]구면 반사 또는 산란으로 확장하면 Mie 산란에 대한 Kerker 효과가 발생합니다.

비자성매체

프레넬 방정식은 광학을 위해 개발되었기 때문에 대개 비자성 물질에 대해 주어집니다.(4)를 (5)로 나눈 값

Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,

비자성 매체의 경우 진공 투과도₀ μ를 μ로 대체할 수 있으므로,

Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}~;;\frac {n_{2}}={\,c\mu _{0}}\,;

즉, 허용치는 해당 굴절률에 단순히 비례합니다.식 (13)~식 (16)과 식 (21)~식 (26)에서 이러한 치환을 하면 cμ라는₀ 인자가 상쇄됩니다.진폭 계수의 경우 다음을 얻습니다.^[5]^[6]

r_{\text}}}={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}

(29)

t_{\text}}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}\,

(30)

r_{\text{p}}={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}

(31)

t_{\text{p}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}{n_2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}\",

(32)

정상 발생의 경우 다음과 같이 감소합니다.

r_{\text{s0}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}

(33)

t_{\text{s0}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}

(34)

r_{\text{p0}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_2}+n_{1}}}}

(35)

t_{\text{p0}}={\frac {2n_{1}}{n_2}+n_{1}}}}\,.

(36)

전력 반사 계수는 다음과 같습니다.

R_{\text{s}}=\left {\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}\right ^{2}

(37)

R_{\text{p}}=\left {\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}{n_{2}}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}\right^{2}\,

(38)

그러면 $T$ = 1 - $R$ 에서 전력 전송을 확인할 수 있습니다.

브루스터각

동일한 투과율(예: 비자성 매체)의 $경우$ , θ와 θ가 상보적인 경우 $,$ sinθ를 $코스$ θ로, sin θ를 코스 θ로 $치환$ 하여 식 (31)의 $분자$ 가 (스넬의 법칙에 의해) 0인 θ - ns가 되도록 할 수 $있습니다$ .따라서 r = $0$ 이고 s- polarized 성분만 반영됩니다.이것은 브루스터 각도에서 일어나는 일입니다.스넬의 법칙에서 $cos$ θ을 죄악 θ로 대체하면 쉽게 얻을 수 있습니다.

\theta _{\text{i}}=\arctan(n_{2}/n_{1})

(39)

브루스터의 각도에 맞춰서요

등유전율

실제로 접하지는 않지만, 동일한 유전율을 가지지만 투과율이 다르기 때문에 굴절률이 다른 두 매질의 경우에도 방정식이 적용될 수 있습니다.식 (4)와 식 (5)에서, μ 대신 ϵ가 고정되어 있으면 Y는 n에 $반비례$ 하게 되고, 식 (29)부터 식 (38)까지의 첨자 1과 2는 (분자와 $분모$ 에 nn을 곱하는 추가 단계로 인해) 서로 바뀌게 됩니다.따라서, (29)와 (31)에서 굴절률에 $대한$ $r$ 과 r에 대한 표현은 서로 바뀔 것이고, 브루스터의 각도 (39)는 r = 0 대신 r = $0$ 을 제공할 것이고, 그 각도에서 반사되는 모든 빔은 s- polarized 대신 p- polarized가 될 것입니다.마찬가지로, 프레넬의 사인 법칙은 s편광 대신 p편광에 적용되고, 그의 접선 법칙은 p편광 대신 s편광에 적용됩니다.

이 편광 스위치는 빛의 파동에 대한 오래된 기계 이론에서 아날로그를 가지고 있습니다(위의 § 역사 참조).(프레넬처럼) 서로 다른 굴절률들이 서로 다른 밀도에 기인하고 그 진동들이 당시 편광의 평면이라고 불리던 것에 대해 정상적이라고 가정함으로써, 관측과 일치하는 반사 계수들을 예측할 수 있었습니다.또는 (MacCullagh나 Neumann과 같이) 다른 굴절률이 다른 탄성에 기인하고 진동이 평면에 평행하다고 가정함으로써.^[37]따라서 동일한 유전율과 동일하지 않은 투과율의 조건은 비록 현실적이지는 않지만, 역사적으로 관심이 있습니다.

참고 항목

메모들

^ 상기 (1) 형태는 일반적으로 물리학자들에 의해 사용됩니다.전기 공학자들은 전형적으로 $E$ 의_k^{j(ωt−k⋅r)} 형태를 선호합니다 $;$ 즉, 그들은 허수 단위에 i $대신$ $j$ 를 사용할 뿐만 아니라, 지수의 부호를 변경하고, 결과적으로 전체 표현이 그것의 복소 켤레로 대체되고, 실제 부분은 변하지 않습니다 [Cf. (예)]콜린, 1966, p. 41, equ. (2.81)].전기 기술자의 형태와 그로부터 유도된 공식은 $j$ 에 $-i$ 를 대입함으로써 물리학자 협약으로 전환될 수 있습니다.
^ 전기공학규약에서 시간의존인자는 $e$ 이므로위상진차는 양의 인수를 갖는 복소상수에 의한 곱셈에 해당하고, 미분 w.r.t. 시간은 + $j$ ω에 의한 곱셈에 해당합니다.그러나 이 기사는 시간 의존적 인자가 $e$ 인^−iωt 물리학 규칙을 사용합니다.여기에 주어진 결과에는 허수 단위가 명시적으로 나타나지 않지만, 시간 의존적 요인은 복잡한 것으로 판명된 모든 결과의 해석에 영향을 미칩니다.

참고문헌

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원천

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추가열람

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McGrow Hill 물리학 백과사전(제2판), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3

외부 링크

프레넬 방정식 – 울프램.
프레넬 방정식 계산기
FreeSnell – Free Software는 다층 재료의 광학 특성을 계산합니다.
박막 – 박막 및 다층 물질의 광학 특성 계산을 위한 웹 인터페이스(반사 및 투과 계수, 타원계 파라미터 Psi & Delta)
단일 인터페이스 반사 및 굴절 각도 및 강도 계산을 위한 간단한 웹 인터페이스
두 유전체의^{[permanent dead link]} 반사율과 투과율 – 굴절률과 반사율의 관계를 보여주는 대화형 웹페이지 Mathematic.
복잡한 굴절률을 가진 다층으로부터 전송 및 반사 확률의 자립적인 제1원리 유도.

[33] 상기 (1) 형태는 일반적으로 물리학자들에 의해 사용됩니다.전기 공학자들은 전형적으로 $E$ 의_k^{j(ωt−k⋅r)} 형태를 선호합니다 $;$ 즉, 그들은 허수 단위에 i $대신$ $j$ 를 사용할 뿐만 아니라, 지수의 부호를 변경하고, 결과적으로 전체 표현이 그것의 복소 켤레로 대체되고, 실제 부분은 변하지 않습니다 [Cf. (예)]콜린, 1966, p. 41, equ. (2.81)].전기 기술자의 형태와 그로부터 유도된 공식은 $j$ 에 $-i$ 를 대입함으로써 물리학자 협약으로 전환될 수 있습니다.

[34] 전기공학규약에서 시간의존인자는 $e$ 이므로위상진차는 양의 인수를 갖는 복소상수에 의한 곱셈에 해당하고, 미분 w.r.t. 시간은 + $j$ ω에 의한 곱셈에 해당합니다.그러나 이 기사는 시간 의존적 인자가 $e$ 인^−iωt 물리학 규칙을 사용합니다.여기에 주어진 결과에는 허수 단위가 명시적으로 나타나지 않지만, 시간 의존적 요인은 복잡한 것으로 판명된 모든 결과의 해석에 영향을 미칩니다.

[1] Born & Wolf, 1970, 38쪽.

[2] 헤흐트, 1987, 페이지 100.

[3] Driggers, Ronald G.; Hoffman, Craig; Driggers, Ronald (2011). Encyclopedia of Optical Engineering. doi:10.1081/E-EOE. ISBN 978-0-8247-0940-2.

[4] Hecht, 1987, 102쪽.

[Sernelius-5] Bo Sernelius의 강의 노트, 메인 사이트 Archived 2012-02-22 at the Wayback Machine, 특히 강의 12 참조.

[Born_1970-6] Born & Wolf, 1970, p. 40, eqs. (20), (21).

[7] Hecht, 2002, p. 116, eqs. (4.49), (4.50).

[8] Hecht, 2002, p. 120, equ. (4.56)

[9] Hecht, 2002, p. 120, equ. (4.57)

[10] 프레넬, 1866, 페이지 773.

[11] Hecht, 2002, p. 115, equ. (4.42)

[12] 프레넬, 1866, 페이지 757.

[13] Hecht, 2002, p. 115, equ. (4.43)

[14] E. 베르데, 프레넬에서, 1866, p. 789n.

[15] Born & Wolf, 1970, p. 40, eqs. (21a).

[16] Jenkins & White, 1976, p. 524, eqs. (25a).

[17] Whittaker, 1910, p. 134; Darrigol, 2012, p.213.

[18] Heavens, O. S. (1955). Optical Properties of Thin Films. Academic Press. 제4장

[19] 다리골, 2012, 페이지 191-2.

[brewster-1815b-20] D. Brewster, "투명한 물체로부터의 반사에 의한 빛의 편광을 규제하는 법칙들에 관하여", 왕립학회의 철학적 거래, vol. 105, pp. 125–59, 1815년 3월 16일 읽음.

[21] T. Young, æ디아 브리태니커 백과사전 제4판, 제5판, 제6판 부록 (초반, 1818년 2월 발행) 141-63쪽, 마지막 문장.

[22] Buchwald, 1989, pp. 390-91; Fresnel, 1866, pp. 646-8

[fresnel-1821a-23] A. Fresnel, "주목 계산법 des teintes sque la polarization développe dans les lames cristalisées" et seq., Annales de Chimie et de Picique, vol. 17, pp. 102–11 (1821년 5월), 167–96 (1821년 6월), 312–15 ("후서", 1821년 7월); Fresnel, 1866, pp. 609–48에서 재인쇄; "양극화가 전개되는 색조의 계산에 대하여"로 번역됨.결정판, & postscript", Zenodo: 4058004 / doi: 10.5281 / zenodo. 4058004, 2021.

[fresnel-1823a-24] A. 프레넬, "Mémoire surloides modifications qué léflexion imprim à lalumière polarisée" ("편광에 반사가 인상을 주는 수정의 법칙에 관한 메모"), 1823년 1월 7일 읽음; 프레넬에서 재인쇄, 1866년, pp. 767–99 (전문, 1831년 출판), pp. 753–62 (초본, 1823년 출판).특히 pp. 773 (사인 법칙), 757 (접합 법칙), 760–61 및 792–6 (주어진 위상 차이에 대한 내부 전반사의 각도)를 참조합니다.

[25] Buchwald, 1989, pp. 391-3; Whittaker, 1910, pp. 133-5

[26] 부흐왈드, 1989, 페이지 392.

[27] Lloyd, 1834, pp. 369-70; Buchwald, 1989, pp. 393-4, 453; Fresnel, 1866, pp. 781-96

[28] 프레넬, 1866, 페이지 760-61, 792-6; 휘웰, 1857, 페이지 359.

[29] 휘태커, 1910, 177-9쪽.

[fresnel-1822z-30] A. 프레넬, "Mémoire sur la double rérfraction queles rayons lumineux éprovent en transversant les aiguilles de cristal de roch suivant le directions parallèle à l'axe" (광광선이 석영의 바늘을 축과 평행한 방향으로 통과할 때 겪는 이중 굴절에 대한 메모), 1822년 12월 9일 읽음; 프레넬, 1866, pp. 731-51 (전문), pp. 719-29 (추문, 1822년 Bulletin de la Société philomathique에서 처음 출판, pp. 191-8)

[31] Buchwald, 1989, pp. 230–31; Fresnel, 1866, p. 744.

[32] Buchwald, 1989, p. 442; Fresnel, 1866, p. 737-9, 749. Cf.Whewell, 1857, pp. 356–8; Jenkins & White, 1976, pp. 589–90.

[berry-jeffrey-2007-35] M.V. 베리와 M.R. 제프리를 비교해보세요, "원뿔형 회절:결정광학의 중심에 있는 해밀턴의 악마적인 지점", E.울프(ed.), 광학의 진보, vol. 50, 암스테르담:Elsevier, 2007, pp. 13–50, Doi: 10.1016/S0079-6638(07)50002-8, p. 18, equ. (2.2)

[36] 이는 Born & Wolf, 1970, 페이지 38, 그림 1.10과 일치합니다.

[37] Giles, C.L.; Wild, W.J. (1982). "Fresnel Reflection and Transmission at a Planar Boundary from Media of Equal Refractive Indices". Applied Physics Letters. 40 (3): 210–212. Bibcode:1982ApPhL..40..210G. doi:10.1063/1.93043. S2CID 118838757.

[38] 입사각과 굴절각이 반드시 상보적일 필요가 없는 보다 일반적인 브루스터 각도는 C.L. 자일스와 W.J. 와일드, "자기 매체를 위한 브루스터 각도", 국제 적외선 및 밀리미터파 저널, vol. 6, no.3 (1985년 3월), pp. 187–97에서 설명합니다.

[39] Whittaker, 1910, pp. 133, 148–9; Darrigol, 2012, pp. 212, 229–31.

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S 및 P 분극

배열

전력(강도) 반사 및 전달 계수

특수한 경우

정상발생

브루스터각

내부반사합계

45° 입사

복소 진폭 반사 및 전송 계수

대체형태

다중 표면

역사

파생

재료 파라미터

전자기 평면파

파동벡터들은

s 구성요소

p성분은

전력비(반사율, 투과율)

등굴절률

비자성매체

브루스터각

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