금지된 하위 그래프 문제

In extremal graph theory, the forbidden subgraph problem is the following problem: given a graph ${\displaystyle G}$, find the maximal number of edges ${\displaystyle \operatorname {ex} (n,G)}$ in an ${\displaystyle n}$-vertex graph which does not have a subgraph isomorphic to ${\displaystyle G}$. In this 컨텍스트, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 금지된 하위 그래프라고 한다.^[1]

$동일$한 문제는 n ${\displaystyle n}$ -vertex$$ 그래프의 $에지{\displaystyle }$수가 G {\$displaystyle$ G}에 대한 하위 그래프의 이형성을 보장하는지 여부입니다$.$^[2]

정의들

극단 숫자 ${\displaystyle \mathrm{ex}}$ ex${\displaystyle (n,}$ ${\displaystyle G}$ )${\displaystyle \operatorname$ {$ex}(n,G)}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대한 하위 그래프가 없는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$ -vertex$$ 그래프의 최대 에지 수입니다$.$ $K$ $r$ ${\displaystysty r$$}.$${\displaystyle }$$T{\displaystyle }$${\displaystyle (n}$, ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle T(n,r)}$은 Turan 그래프: n$${\$displaystyle$n} 정점에$$ 대한 $완전$한 r$${\$displaysty r}$ -partite$$ 그래프로서, 정점은 가능한 한 부품 사이에 균등하게 분포한다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 색수 $\chi {\displaystyle (G}$) ${\displaystyle \chi(G)}$은 $인접$한 두 정점이 동일한 색을 가지지 않도록$$ G ${\displaystyle G}$의 정점에 색상을 입히는 데 필요한 최소 색상 수입니다.

상한

투란의 정리

Turán's theorem states that for positive integers ${\displaystyle n,r}$ satisfying ${\displaystyle n\geq r\geq 3}$,^[3] ${\textstyle \operatorname {ex} (n,K_{r})=\left(1-{\frac {1}{r-1}}\right){\frac {n^{2}}{2}}.$$}$

이것은 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$에 대한 금지된 서브그래프 문제를 해결한다$.$ 투란의 정리를 위한 동등한 사례는 투란 그래프 $T{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \mathrm{r}}$- 1$){\displaystyle$T$(n,r-1)}$에서 온다$.$

이 결과는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 색수 $\chi {\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \chi (G)}$을(를) $고려$하여 임의$$${\displaystyle \mathrm{그래프}}$ G {\$displaystyle$ G$}$로 $일반화$할 수 있다$.$ T${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$,$$r $)$ {\$displaystyty$ $T(n,r)}$을($으$$)$로 색수 greaticate)로 색상을 지정할 수 있으므로$$ 하위 그래프가 없다.r than ${\displaystyle r}$. In particular, ${\displaystyle T(n,\chi (G)-1)}$ has no subgraphs isomorphic to ${\displaystyle G}$. This suggests that the general equality cases for the forbidden subgraph problem may be related to the equality cases for ${\displaystyle G=K_{r}}$.이 직관은 $o{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle o(n^{2})$ 오류까지$$ 맞는 것으로 판명되었다.

에르드스-스톤 정리

Erdős–Stone theorem states that for all positive integers ${\displaystyle n}$ and all graphs ${\displaystyle G}$,^[4] ${\textstyle \operatorname {ex} (n,G)=\left(1-{\frac {1}{\chi (G)-1}}+o(1)\right){\frac {n^{2}}{2}}.$$}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 양분적이지 않은 경우, ${\displaystyle \mathrm{ex}}$ ${\displaystyle (n,}$ ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \operatorname {ex}(n,G)}$의 1차 근사치를 제공한다$.$

초당적 그래프

초당적 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 경우$,$ Erdős-Stone 정리는 ${\displaystyle \mathrm{ex}}$ ${\displaystyle (n}$, G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle o({}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaysty \operatorname {ex}(n,G)=o(n^{2})}$라는 것만 알려준다$.$초당적 그래프의 금지된 하위그래프 문제는 자랑키에비치 문제로 알려져 있으며, 일반적으로 해결되지 않고 있다.

Zarankiewicz 문제에 대한 진행은 다음과 같은 정리를 포함한다.

쿠바리-소스-투란 정리.For every pair of positive integers ${\displaystyle s,t}$ with ${\displaystyle t\geq s\geq 1}$, there exists some constant ${\displaystyle C}$ (independent of ${\displaystyle n}$) such that ${\textstyle \operatorname {ex} (n,K_{s,t})\leq Cn^{2-{\frac {1$모든 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해$$^[5]$}{s}}}.$

초당적 그래프의 다른 결과는 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$,${\displaystyle {}_{}k}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ {\$displaystyle G=C_{2k}$k\$geq 2} 이븐$ 사이클의 경우 입니다$.$ 짝수 사이클은 이 정점에서 분기되는 루트 정점과 경로를 고려하여 처리된다.길이가 같은 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 두 경로가 끝점이 같고$$ 겹치지 않으면 길이 ${\displaystyle \mathrm{2k}}$ ${\displaystyle 2k}$의 주기를 생성한다$.$이로써 다음과 같은 정리를 하게 된다.

정리(Bondy and Simonovits, 1974년).There exists some constant ${\displaystyle C}$ such that ${\textstyle \operatorname {ex} (n,C_{2k})\leq Cn^{1+{\frac {1}{k}}}}$ for every positive integer ${\displaystyle n}$ and positive integer ${\displaystyle k\geq 2}$.^[6]

극단적 그래프 이론의 강력한 보조정리법은 의존적인 무작위 선택이다.이 보조정리법을 통해 우리는 한 부분에서 한정된 수준의 초당적 그래프를 다룰 수 있다.

정리(Alon, Krivelevich 및 Sudakov, 2003).$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 정점 $부분{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle B}$이(가$)$ 있는 초당적 그래프로 설정하여$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모든 정점이 최대 r ${\displaystystyle$ $r$$}$을$($와 같은 $G{\displaystyle }$ ${\$disk$)$에 따라 $다름$)가 $상수{\displaystyle }$ C${\$displaystystystypatchsty}에 따라 다름)$$가 있음$$$ex$ $$($n$, G$$) $\le$ C $n$ ${2\mathrm{}}^{}$- ${\frac{1}{}}^{}$ ${r\frac{\mathrm{}}{}}^{}$ ${\$${\frac{$$1}{r$$\}\}\}\}.$^[7]

일반적으로 우리는 다음과 같은 추측을 한다.

합리적 지수 추측(Erdős and Simonovits)For any finite family ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ of graphs, if there is a bipartite ${\displaystyle L\in {\mathcal {L}}}$, then there exists a rational ${\displaystyle \alpha \in [0,1)}$ such that ${\displaystyle \operatorname {ex} (n,{\mathcal {L}})=$$\Theta(n^{1+\alpha$ $\}\})\}.$^[8]

Füredi와 Simonovits의 조사는 금지된 서브그래프 문제에 대한 진척 상황을 더 자세히 묘사하고 있다.^[8]

하한

하한선 획득에는 다양한 기법이 사용된다.

확률론적 방법

이 방법은 대부분 약한 한계를 주지만, 무작위 그래프 이론은 빠르게 발전하는 주제다.충분히 작은 밀도로 무작위로 그래프를 찍으면 그 안에$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 서브그래프만 소수에 불과하다는 생각에 근거한 것이다.이러한 복사본은 그래프에 $있는$ G$${\$displaystyle G}$의 모든 복사본에서 하나의 엣지를 제거하여 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 자유$$ 그래프를 제공함으로써 제거할 수 있다.

그 확률론적 방법 인도 ⁡(G)≥ cn2− v(n, G)을 증명하는 데 사용할 수 있− 2e(G)− 1{\displaystyle \operatorname{하고}(n,G)\geq cn^{2{\frac{v(G)-2}{e(G)-1}}}}이 c{\displaystyle c}이 상수만 따라에 있는 그래프는 G{G\displaystyle}.[9]을 위해 건설 우리가 할 수 있고 Erdős-Rényi ra.ndom 그래프 $G{\displaystyle (n}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle G(n,p)},$즉, 정점이$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이고 가장자리는 확률 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p$로 독립적으로 그려진 두 개의 정점이었다.기대 선형으로 $G$${\displaystyle (n}$, ${\displaystyle p}$) {\$displaystyle G(n,p)}$에서 G ${\displaystyle$ $G}$의 예상 복사 수를 계산한 후, 각 $해당{\displaystyle }$ 사본에서 하나의 엣지를 제거하면$$ 결국 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -free$$ 그래프가 남게 된다.The expected number of edges remaining can be found to be ${\displaystyle \operatorname {ex} (n,G)\geq cn^{2-{\frac {v(G)-2}{e(G)-1}}}}$ for a constant ${\displaystyle c}$ depending on ${\displaystyle G}$. Therefore, at least one ${\displaystyle n}$-vertex graph는 적어도 예상 수만큼 많은 가장자리를 가지고 존재한다.

이 방법은 또한 그래프의 둘레에 대한 한계에 대한 그래프의 구조를 찾는 데 사용될 수 있다.$g{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle g(G)}$로 표시된 둘레는 그래프에서 가장 짧은 사이클의 길이입니다$.$NOT은 g(G)>2k{\displaystyle g(G)>, 2k}, 그래프 길이보다 2k{2k\displaystyle}이하이어야 한다. 그러한 금지된 주기의 expectation,the 예상 번호의 순환 C의 나는{\displaystyle C_{나는}에서 예상되는 숫자의 합에}나는=3(에게 균등한는 직선성 이 모든 사이클을 금지해야 한다. 입니다.${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n}$ $[\displaystyle i=3,...,n-1,n}).$${\displaystyle {}_{}}$는 다시 금지된 그래프의 각 카피에서 가장자리를 제거하고 ( G)> 2 ${\displaystyle {\frac{k\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle g(G)$ > 2 ${\displaystyle {\frac{k}{}}^{}}$ -${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\$개의 그래프 왼쪽에서 ${\displaystyle {가장자리}_{}}$를 준다

대수구축

구체적인 사례에 대해서는 대수구성을 찾아 개선했다.그러한 구성의 공통적인 특징은 그래프를 구성하기 위해 기하학을 사용하는데, 정점 사이의 대수적 관계에 따라 정점과 가장자리를 나타내는 정점이 있다는 것이다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$의 하위 그래프는 순수하게 기하학적 이유 때문이며$,$ 그래프는 발생이 정의되는 방식으로 인해 강한 경계여야 할 많은 가장자리를 가지고 있다.The following proof by Erdős, Rényi, and Sős^[10] establishing the lower bound on ${\displaystyle \operatorname {ex} (n,K_{2,2})}$ as${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}-o(1)\right)n^{3/2}.}$, demonstrates the power of this method.

First, suppose that ${\displaystyle n=p^{2}-1}$ for some prime ${\displaystyle p}$. Consider the polarity graph ${\displaystyle G}$ with vertices elements of ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{2}-\{0,0\}}$ and edges between vertices ${\displaystyle (x,y)}$ and ${\displaystyle }$(${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle (a,b)}($${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ax+by=$1}인 경우에만 해당$).$$이{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ 그래프는 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\$${$$F}$ _${p}$에 있는 두 개의 선형 방정식의 시스템은 둘 이상의 용액을 가질 수 없기$$ 때문에 ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$ 2, ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$ K_${2,$2}} -free이다$$.A vertex ${\displaystyle (a,b)}$ (assume ${\displaystyle b\neq 0}$) is connected to ${\displaystyle \left(x,{\frac {1-ax}{b}}\right)}$ for any ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{p}}$, for a total of at least ${\displaystyle p-1}$ edges (subtracted 1 in case${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$So there are at least ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(p^{2}-1)(p-1)=\left({\frac {1}{2}}-o(1)\right)p^{3}=\left({\frac {1}{2}}-o(1)\right)n^{3/2}}$ edges, as desired.For general ${\displaystyle n}$, we can take ${\displaystyle p=(1-o(1)){\sqrt {n}}}$ with ${\displaystyle p\leq {\sqrt {n+1}}}$ (which is possible because there exists a prime ${\displaystyle p}$ in the interval${\displaystyle [k-k^{0.525},k]}$ for su충분히 큰 $k{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle k$$}$을$($^[11]를$)$ 사용하여 극성 그래프를 생성한 다음$,$ 점근 값에 영향을 주지 않는 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle {p\mathrm{}}^{}}$$$${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-p^{2}+1}$의 분리된$$ 정점을 추가한다.

다음의 정리는 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle 3_{}}$ ${\$에 대한 유사한 결과물이다$.$

정리(Brown, 1966) ${\displaystyle \operatorname {ex}(n,K_{3,3})\geq \left({\frac {1}{1}:{2}}-o(1)\오른쪽)n^{5/3}}$^[12]

증명 개요.^[13]Like in the previous theorem, we can take ${\displaystyle n=p^{3}}$ for prime ${\displaystyle p}$ and let the vertices of our graph be elements of ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{3}}$. This time, vertices ${\displaystyle (a,b,c)}$ and ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle {F\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $_$${p$$}$의${\displaystyle }$(${\displaystyle x{}^{}}$-${\displaystyle b{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle u}$ ${\$$displaystyle$$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=u}$인 경우에만 연결된다$.$그리고 이것은 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle 3_{}}$ ${\$최대$$ 두 지점이 세 구의 교차점에 있으므로 자유롭다.Then since the value of ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}$ is almost uniform across ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, each point should have around ${\displaystyle p^{2}}$ edges, so the total number of edges is ${\displaystyle \left(\frac{1}{2}-o(1)\right)p^2}$${\displaystyle {}^{}\cdot p\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}^{}}$3 =${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ -${\displaystyle }$o ( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$n${\displaystyle {}^{}}$5 / ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$(1$)\오른쪽)p^{2}}-$o-p^{$3}=\cdot p^{$1}=\{$1}{2}}-o(1)\frac\n/3$

${\displaystyle \mathrm{그러나}}$ $t{\displaystyle }$≥ 4 ${\displaystyle t\geq 4}$에 대해 ${\displaystyle \mathrm{ex}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{},}$ K ${\displaystyle t_{}}$,${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ ) ${\displaysty \operatorname {ex}(n, K_{t,t})$에 대한 하한을 조이는 것은 여전히 공개 질문으로 남아 있다$.$

정리(Alon et al., 1999) $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle (s}$- ${\displaystyle 1)!}$+ ${\displaystyle 1}$ $(\displaystyle t\geq (s-1)!$$+1$ ${\displaystyle \mathrm{ex}}$ ${\displaystyle (n,}$ ${\displaystyle K_{}}$ s${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\theta }({n\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ s${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {ex}(n,K_{s,t})=$$\Teta(n^{2-{\frac {1}{s}}).$$}$^[14]

무작위화된 대수 구조

이 기법은 위의 두 가지 사상을 결합한 것이다.일부 대수 집합에 있는 꼭지점 사이의 근간을 정의할 때 임의 다항식 관계를 사용한다.이 기법을 사용하여 다음과 같은 정리를 증명한다.

정리:For every ${\displaystyle s\geq 2}$, there exists some ${\displaystyle t}$ such that ${\displaystyle \operatorname {ex} (n,K_{s,t})\geq \left({\frac {1}{2}}-o(1)\right)n^{1-{\frac {1}{s}}}}$.

증명 개요:We take the largest prime power ${\displaystyle q}$ with ${\displaystyle q^{s}\leq n}$. Due to the prime gaps, we have ${\displaystyle q=(1-o(1))n^{\frac {1}{s}}}$. Let ${\displaystyle f\$$in \mathbb {F} _{q}[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{s},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{s}]_{\leq d}}$ be a random polynomial in ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ with degree at most ${\displaystyle d=s^{2}}$ in ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},...,X_{s})}$ and ${\displaystyle Y=(Y_1,Y_{}}$${\displaystyle$$Y_{s})}$ and satisfying ${\displaystyle f(X,Y)=f(Y,X)}$. Let the graph ${\displaystyle G}$ have the vertex set ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{s}}$ such that two vertices ${\displaystyle x,y}$ are adjacent iff ${\displaystyle f(x,y)=0}$.

We fix a set ${\displaystyle U\subset \mathbb {F} _{q}^{s}}$, and defining a set ${\displaystyle Z_{U}}$ as the elements of ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{s}}$ not in ${\displaystyle U}$ satisfying ${\displaystyle f(x,u)=0}$ for all elements ${\dis$$playstyle u\in U}$. By the Lang–Weil bound, we obtain that for ${\displaystyle q}$ sufficiently large enough, we have ${\displaystyle Z_{U} \leq C}$ or ${\displaystyle Z_{U} >{\frac {q}{2}}}$ for some constant ${\displaystyle C}$.Now, we compute the expected number of ${\displaystyle U}$ such that ${\displaystyle Z_{U}}$ has size greater than ${\displaystyle C}$, and remove a vertex from each such ${\displaystyle U}$. The resulting graph turns out to be ${\displaystyle K_{s,C+1}}$ free, and atlast one graph exists이 결과 그래프의 가장자리 수를 예상하여.

초고속화

과잉진행은 금지된 하위그래프 $문제$의 변형을 말하며, 여기서 $우리$는 일부 h ${\displaystyle$ $h{\displaystyle }$$}$ -uniform$$ g$}$이$($$가$) 일부 $금지$된 $하위그래프{\displaystyle }$ H ${\$$displaystyle$ $H}$의 많은 복사본을$$ 포함할$$ 때 이를 직관적으로 $예상$할 수 있다$.$${\displaystyle \mathrm{ex}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \operatorname {ex}(n,H)$ edge$$.우리는 이 개념을 공식화하기 위해 투란 밀도를 도입한다.

투란 밀도

$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ - 균일$$ 그래프 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 투란 밀도는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \pi(G)=\lim _{n\to \inflt }{\frac {\properatorname {ex}(n,G)}{\binom {n}{h}}}.}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{ex}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{n}{}}$, ${\displaystyle \frac{G}{}}$) ${\displaystyle \frac{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}{}}$ h$){\$ {\frac ${\operatorname {ex} (n,G)}{\binom{n}{h}}}}}}}$이(가) 양수이고, 따라서 모노톤이 감소하고 있는$$ 것은 사실이다.^[15]

As an example, Turán's Theorem gives that ${\displaystyle \pi (K_{r+1})=1-{\frac {1}{r}}}$, and the Erdős–Stone theorem gives that ${\displaystyle \pi (G)=1-{\frac {1}{\chi (H)-1}}}$. In particular, for bipartite ${\displaystyle G}$, ${\displayst$$yle \pi (G)=0$ 투란 밀도 ${\displaystyle \pi }$( H${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi (H)}$을(를) 결정하는 것은$$ $o{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle G}$) ${\displaysty \operatorname {ex}(n,G)}$을($n,n^{2})$ 오류까지$$ 결정하는 것과 같다.^[16]

초지속 정리

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ 정점이$$ 있는$$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ - 균일형$$ $하이퍼그래프{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$을(를) 고려하십시오.그 과포화 정리 김치는 모든 ϵ>에 0{\displaystyle \epsilon>0}aδ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}가 n{n\displaystyle}vertices고 적어도 만약 G{G\displaystyle}은 그래프(π(H)+ ϵ)(n2){\displaystyle(\pi(H)+\epsilon){\binom{n}.{2}}}edg$es{\displaystyle }$:$$n {\$displaystyle$ n$}$의 경우, $충분히{\displaystyle }$ 큰 경우,$$H {\$displaystyle H}$의$$ ${\displaystyle n^{}}$( ${\displaystyle H^{}}$) ${\$ 복사본이$$ 적어도 있다$.$

동등하게 이 정리를 다음과 같이 다시 정리할 수 있다.If a graph ${\displaystyle G}$ with ${\displaystyle n}$ vertices has ${\displaystyle o(n^{v(H)})}$ copies of ${\displaystyle H}$, then there are at most ${\displaystyle \pi (H){\binom {n}{2}}+o(n^{2})}$ edges in ${\displaystyle G}$.

적용들

우리는 과잉생성형 문제를 고려함으로써 금지된 여러 가지 서브그래프 문제를 해결할 수 있을 것이다.우리는 아래의 Kővari-Sos-Turan 정리에 대한 증명 스케치를 다시 작성하고 제공한다.

쿠바리-소스-투란 정리.For every pair of positive integers ${\displaystyle s,t}$ with ${\displaystyle t\geq s\geq 1}$, there exists some constant ${\displaystyle C}$ (independent of ${\displaystyle n}$) such that ${\textstyle \operatorname {ex} (n,K_{s,t})\leq Cn^{2-{\frac {1$모든 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해$$^[18]$}{s}}}.$

Proof. Let ${\displaystyle G}$ be a ${\displaystyle 2}$-graph on ${\displaystyle n}$ vertices, and consider the number of copies of ${\displaystyle K_{1,s}}$ in ${\displaystyle G}$. Given a vertex of degree ${\displaystyle d}$, we get exactly ${\displaystyle {\binom {d$$}}{s}}$${\displaystyle {개}_{}}$의 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$s ${\$개의 복사본이 이 정점에 뿌리를$$ 두고 있으며, 총 $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{v}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\in }{}}$ ${\displaystyle \underset{}{V}}$($){\$개의$$ 복사본이 있다.때 0≤ k<>여기,=}잖니{\displaystyle 0\leq k&lt니다.}. 볼록함으로써, 최소한 n(2e(G)/n의{\displaystyle n{\binom{2e(G)/n}{s}의 합해 총}}K1의 복사본, s{\displaystyle K_{1,s}}이다. 게다가,(n. 것은 0{\displaystyle{\binom{k}{s}}=0(k신규) s)${\displaystyle {\binom {n}{s}}}$ subsets of ${\displaystyle s}$ vertices, so if there are more than ${\displaystyle (t-1){\binom {n}{s}}}$ copies of ${\displaystyle K_{1,s}}$, then by the Pigeonhole Principle there must exist a subset of ${\displaystyle s}$ vertices which fo자기 레이놀즈 수 이 복사본들의 적어도 t{\displaystyle지}의 잎의 조합된 Ks을 형성하는 t{\displaystyle K_{s,t}}. 따라서, K의적인 사건, t{\displaystyle K_{s,t}}우리가 n(2e(G)/n의 을,(t− 1)(ns){\displaystyle n{\binom{2e(G)/n}{s}}& 존재한다.gt.(t-$1){\binom {n}{s}}}$. In other words, we have an occurrence if ${\displaystyle {\frac {e(G)^{s}}{n^{s-1}}}\geq O(n^{s})}$, which simplifies to ${\displaystyle e(G)\geq O(n^{2-{\frac {1}{s}}})}$, which is the statement of the theorem.^[19]

이 증명에서 우리는 더 작은 서브그래프의 발생 횟수를 고려하여 초고속화 방법을 사용하고 있다.전형적으로, 초고속화 방법의 적용은 초고속 정리를 사용하지 않는다.대신, 구조는 종종 $금지$된 $일부{\displaystyle }$ 하위 그래프 H ${\displaystyle H}$의 $하위{\displaystyle {}^{}}$ 그래프 H ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ H$'}$을 찾고 G ${\displaystyle G$에 너무 많이 $나타나면{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$도 $G{\displaystyle }$ ${\displaysty G}$에 나타나야$$ 한다는 것을 보여준다.과잉으로 해결할 수 있는 금지된 서브그래프 문제에 관한 다른 이론은 다음과 같다.

일반화

이 문제는 금지된 하위 그래프 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대해 일반화될 수 있다$:$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 그래프에 하위 그래프가 이형화되지 않은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$ -vertex$$ 그래프에서 최대 에지 수를 찾는다$.$^[21]

또한 훨씬 더 어려운 금지된 서브그래프 문제의 하이퍼그래프 버전도 있다.예를 들어, 테트라헤드라가 없는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -vertex$$ 3-uniform hypergraph에서 가장 많은 수의 가장자리를 요구하는 것으로 투란의 문제가 일반화될 수 있다.The analog of the Turán construction would be to partition the vertices into almost equal subsets ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}}$, and connect vertices ${\displaystyle x,y,z}$ by a 3-edge if they are all in different ${\displaystyle V_{i}}$s, or if two of them are in ${\displaystyle V_i}$${\displaystyle V_{i}}$과(와) 세 번째는${\displaystyle {\mathrm{Vi}}_{}}$+ 1 {\$displaystyle$V_${i+1$}에 있다($$$여기$서 V ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$이것은 사면체 없는 것으로 가장자리 밀도는 $5{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle 9\mathrm{}}$ ${\displaystyle 5/9}$이다$.$ 그러나 가장 잘 알려진 상한은 0.562로 플래그 알헤브라의 기법을 사용한다.^[22]

참고 항목

• 비클릭 프리 그래프
• 에르데스-하지날 추측
• 투란의 정리
• 투란 수
• 서브그래프 이형성 문제
• 금지 그래프 특성화
• 에르드스 스톤 정리
• 자랑키에비치 문제
• 극단 그래프 이론

참조