극한점

수학에서, 실제 또는 복잡한 벡터 공간에서$$ 볼록 $세트{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$S}의 극한 $지점$은 S$${\$displaystyle S}$의 두 점을 결합하는 어떤 오픈 라인 세그먼트에도 놓여 있지 않은$$ 지점이다$.$ 선형 프로그래밍 문제에서는$$ 극한 $지점$이${\displaystyle }$S의 꼭지점 또는 모서리 지점이라고도 불린다.$(\디스플레이 스타일 S.})$

정의

전체적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 실제 또는 복잡한 벡터 공간이라고 가정한다.

For any ${\displaystyle p,x,y\in X,}$ say that ${\displaystyle p}$ lies between^[2] ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ if ${\displaystyle x\neq y}$ and there exists a ${\displaystyle 0<t<1}$ such that ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.$$}$

X{X\displaystyle}의 만약 K{K\displaystyle}하위 집합 및 pK,{p\in K\displaystyle,}만약 그것은 K.{K.\displaystyle}의 어떤 두개의 뚜렷한 지점 사이에 있지 않으면 p{p\displaystyle}K{K\displaystyle}의 극단적인 point[2]라고 불린다, 그래서 만일 x이 존재하지 않는다면, y∈ K{\di ∈.spl$aystyle$ ${\displaystyle x,}$$y\in K}$ 및$$ <$>$ ${\displaystyle x\neq$ y$}$ $및$ $p{\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$ x${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 모든 극한 지점 집합은 ${\displaystyle \mathrm{극한}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle K}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {극한}(K$)로 표시된다$.$$}$

특성화

벡터 공간에서 두 요소$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ y$$ ${\displaystyle y}$의 중간점은^[2] 벡터 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ (${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle y}$) .${\displaystyle {\tfrac {1}{$1}{$2}}(x+y$)이다$.$$}$

For any elements ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ in a vector space, the set ${\displaystyle [x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$ is called the closed line segment or closed interval between ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y.}$)사이에 노출된 선분 또는 개구간{\displaystyle)}및 y{이\displaystyle}(x))것이다.)∅{(x,x)=\varnothing\displaystyle} 때 x)y{\displaystyle x=y}는 동안(), y)것이다.){x+(1− t)는 yt:0<>t<1}{\displaystyle(x, y)=\{tx+(1-t)y:0<, t<, 1\}} 때)y.{\dis ≠.playstyle$x\neq y.}$$$^[2] 점 $x{\displaystyle }${\$displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ y$${\$displaystyle y}$을(를) 이 구간의 끝점이라고 한다$$.구간은 소멸되지 않는 구간 또는 끝점이 구별되는 경우 적절한 구간이라고 한다.구간의 중간점은 끝점의 중간점이다.

The closed interval ${\displaystyle [x,y]}$ is equal to the convex hull of ${\displaystyle (x,y)}$ if (and only if) ${\displaystyle x\neq y.}$ So if ${\displaystyle K}$ is convex and ${\displaystyle x,y\in K,}$ then ${\displaystyle [x,y]\subseteq K.}$

K의 X{X\displaystyle}과 F{F\displaystyle}의 만약 K{K\displaystyle}는 비공의 부분 집합은 비공의 부분 집합,{\displaystyle K,} 다음 F{F\displaystyle}K{K\displaystyle}의 face[2]만약 때마다 포인트 p∈ F{\displaystyle p\in F}K의 두 지점, 사이에 놓여 있다{년이라고 불린다.경멸하다$Playstyle K,}$ 그러면$$ 그 두 점은 반드시 $F{\displaystyle .}$ ${\displaystyle F$에 속한다$.$$}$

예

${\displaystyle a<b}$이(가) 실수의 두 개인 $경우{\displaystyle }$, ${\displaystyle [\backslash }$$displaystyle a}$과($와$ $b{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$b}$이(가) 구간의 극한 지점이다$.$$}}$ 그러나$$ 열린 간격${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle a}$, b ) ${\디스플레이 스타일(a$,b$)}$에는 극한 지점이$$ 없다.^[2]$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 열린 간격에는$$ 극한 지점이 없는 반면, 비감속 닫힘 간격은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 극한 지점(즉, 닫힌 간격의 끝점)이$$ 있는 경우보다 일반적으로 유한차원 유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 모든 오픈 서브셋에는 극한점이 없다$$.

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 닫힌 단위 디스크의 극한 지점은 단위 원이다.

평면 내 볼록한 다각형의 둘레는 해당 다각형의 면이다.^[2]평면 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 볼록 폴리곤의 정점은 해당 폴리곤의 극한 지점이다$$.

주입식 선형 $지도{\displaystyle }$F :${\displaystyle X}$ → Y$${\$displaystyle$F:$X\to$ Y$}$은$($는) 볼록 $세트{\displaystyle }$ C$$ X {\$displaystyle C\subseteq X}$의 극한 지점을 볼록$$ 세트 $F{\displaystyle }$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaysty F(X$)의 극한 지점으로 보낸다$$.$}$주사 아핀 지도에도 해당된다$$^[2].

특성.

콤팩트 볼록스의 극한 지점은 Baire 공간을 형성하지만(하위 공간 토폴로지를 포함) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$에서 이 세트가 닫히지 않을 수 있다.

정리

크레인-밀만 정리

크레인-밀만 정리는 극한점에 대한 가장 잘 알려진 이론들 중 하나이다.

Banach 공간의 경우

이 이론들은 라돈-니코딤 성질을 가진 바나흐 공간을 위한 것이다.

Joram Lindenstrauss의 정리는 라돈-Nikodym 속성이 있는 Barnach 공간에서 비어 있지 않은 폐쇄적이고 경계된 집합은 극한점을 가지고 있다고 말한다.(무한 차원 공간에서는 닫히고 경계되는 공동 속성보다 콤팩트한 성질이 강하다.^[3]

에드가의 정리는 린덴스트라우스의 정리를 내포하고 있다.

관련 개념

위상 벡터 공간의 닫힌 볼록 부분집합은 그 (위상) 경계점 하나하나가 극한점이라면 엄격히 볼록스라고 한다.^[5]힐버트 공간의 유닛볼은 엄격히 볼록한 세트다.^[5]

k-극단점

$보다{\displaystyle }$ 일반적으로 볼록한 집합 $S$의$$점 S {\$displaystyle S$$}$은${\displaystyle (}$는) k {\displaystyle $k}$ -차원$$ 볼록스 $내부$에 있을 경우$$ k$$${\displaystyle }$${\displaystyle k$$}$ $-displaysty$ k} $-densional$$$s$.}$에 $설정$되지 않고, $따라서$ 극단적이다$$.$점{\displaystyle \mathrm{}}$ 또한 0 ${\displaystyle 0}$ - 극한점이다$$.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$이(가) 폴리토프인 $경우{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k$$}$ - 극한$$ 지점은 $정확히{\displaystyle }$ S${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $S$$.}$의 k$$ ${\displaystyle$ S. 보다 일반적으로$$ $볼록{\displaystyle }$ $세트{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $S$$}$ - 극한$$ 지점은 분할 i.$nto{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$ -차원$$ 열린 면.

민코프스키에 기인하는 유한차원 크레인-밀만 정리는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -극단점$$ 개념을 이용해 빠르게 증명할 수 있다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 닫히고 경계되고 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -dimension인$$ 경우, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $p$$}$이(가) $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S,$ p ${\displaystystylek}$의 점인 경우, p${\displaystyle \}}$은 k ${\styledisplays$.${}$은(는$$) 극점의 볼록한 조합이다.$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k=0}$이면 즉시 실행된다.그렇지 않으면 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은($S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 닫히고 경계되기$$ 때문에$$) 최대 확장 가능한 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$의 선 세그먼트에 놓여$$ 있다.세그먼트의 끝점이 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ $및{\displaystyle }$ r$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle r,}$인 경우 이들의 극한 등급은 p${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ p$,}$보다 작아야 하며$$, 정리는 유도에 의해 따른다.

참고 항목

• 초케 이론

인용구

참고 문헌 목록

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. Vol. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Paul E. Black, ed. (2004-12-17). "extreme point". Dictionary of algorithms and data structures. US National institute of standards and technology. Retrieved 2011-03-24.
• Borowski, Ephraim J.; Borwein, Jonathan M. (1989). "extreme point". Dictionary of mathematics. Collins dictionary. Harper Collins. ISBN 0-00-434347-6.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Halmos, Paul R. (8 November 1982). A Hilbert Space Problem Book. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90685-0. OCLC 8169781.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Köthe, Gottfried (1979). Topological Vector Spaces II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 237. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.