회전 불변도 기법을 통한 신호 매개변수 추정

추정 이론에서 회전 불변성 기법(ESPRIT)을 통한 신호 매개변수 추정은 배경 노이즈에서 사인파 혼합물의 매개변수를 결정하는 기법이다.이 기법은 우선 주파수 추정을 위해 제안되지만,^[1] 일상 사용 기술에 단계별 배열 시스템이 도입되면서 도착각 추정에도^[2] 사용된다.

일반 설명

가상 하위 어레이로 분할

신호 벡터를 다음과 같이 정의합시다.

${\displaystyle a(w_{k}}=[1\filename e^{-filename_{k}}\filename e^{-j2w_{k}}\filename...\cHB e^{-j(m-1)w_{k}}^{T}$

여기서 $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 k번째 사인파의 방사형 주파수를 나타낸다$$.다음과 같은 K의 사인파 숫자에 대한 반데르몬드 행렬을 구성하자.

${\displaystyle A=[a(w_{1})\quad a(w_{2})\quad...\quad a(w_{K})]}$

행렬 A를 다음과 같이 두 세트로 나누자.

${\displaystyle A_{2}=[I_{m-1}\quad 0]A}$

그리고

${\displaystyle A_{1}=[0\quad I_{m-1}]$$여기$서 ${\displaystyle {Im}_{}}$$-$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$은 크기(m-1)별(m-1)의 ID 매트릭스다$$.$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에는 A의 첫 번째(m-1) 행이, ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}에는 A의 마지막(m-1) 행이 포함되어$$$$ 있는 것이 분명하다.

자, 다음 관계를 쓰도록 합시다.

${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{2}=A_{1}H}$여기서$$ H는 대각 행렬로, 다음과 같이 대각선 원소를 벡터로 쓸 수 있다.

${\displaystyle diag(H)=[e^{-jw_{1}\quad...\quad e^{-jw_{K}}}$

In other words, the diagonal elements of H, are the complex exponentials with the radial frequencies of the set ${\displaystyle \{w\}_{k=1}^{K}}$. Here, it is clear that H applies a rotation to the matrix ${\displaystyle A_{1}}$. ESPRIT exploits similar rotations from the covariance matrix of the measured data

신호 하위 공간 추정

알고리즘 자체를 이해하려면 R을 측정된 데이터의 공분산 행렬로 표시하십시오.R의 고유값 분해(단수값 분해와 같은 알고리즘을 통해)를 계산하여 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle R}$= ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ 여기서$$ E는 R의 고유값을 감소 순서로 포함하는 대각 행렬이다.여기서 노이즈의 분산보다 높은 고유값을 찾아냄으로써 이러한 고유값에 해당하는 직교형 고유 벡터를 U에서 분리할 수 있다.이는 첫 번째 K 열만 보관한$$ $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle U(}$:${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$: ${\displaystyle \mathrm{K}}$) ${\displaystyle S=U(:,1:K)}$로 알 수 있다.

이전과 마찬가지로 S에 대해 다음과 같이 분리할 수 있다.

${\displaystyle S_{1}=[I_{m-1}\;0]\$$;S}$ 및 $S$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ S ${\displaystyle S_{2}=[0\;$$I_{m-1}]\;$$S}$ $.$

불변 방정식의 해법

또한 $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$ S$\;=\;$ 등의 S와 A 사이에는 관계가 있다.$A\;F}$ 행렬 F의 내용이 알려져 있지만 현재 주제와 무관한 경우$.$우리는 다음의 관계를 도출할 수 있다.

${\displaystyle S_{2}=A_{2}\;$$F\;=\;A_{1}\;$$H\;F\;=\;;$$S_{1}\;F^{-1}\;;$$H\;F\;=\;;$$S_{1}\;P}$ $$($S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle A{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $[\displaystyle S_{1}\;=\;;$를 사용한 위치)$A_{1}\;F}$ 및$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$= S ${\displaystyle 1{}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{F}}^{}}$- 1 ${\$$S_{1}\;F^{-1}.$

매트릭스 P에는 첫 번째 정형외과적 고유 벡터 세트의 회전이 두 번째 세트에 양보할 수 있도록 주파수 내용에 관한 회전 정보가 포함되어 있는 것이 분명하다.더욱이 P의 고유값은 H의 대각선 원소와 동일하다.그러므로 P에 대해 다음과 같은 방정식을 풀어서

${\displaystyle S_{2}=S_{1}P}$

빈도 함량을 추정할 수 있어이를 달성하기 위해 위 방정식은 유사 역법(최소 제곱법을 통해)으로 해결할 수 있다.

그러기$$ 위해서는 $P{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( S ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ S ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}}{-$1}S_{1$}^{1$}^{*S_{$2}}을 작성하면 된다$.$

빈도 추정

마지막으로 P의 고유값의 각도를 구함으로써 집합${\displaystyle }${ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 추정할 수 있다$.$

알고리즘 예제

ESPRIT 알고리즘 구현을 위한 유사 코드는 다음과 같다.

함수 esprit(y, model_order, number_of_source): m = model_order n = n = number_of_source는 노이즈 측정 y로부터 공분산 행렬 R을 생성한다.R의 크기는 (m-by-m)이 될 것이다.compute the svd of R     [U, E, V] = svd(R)          obtain the orthonormal eigenvectors corresponding to the sources     S = U(:, 1:n)                             split the orthonormal eigenvectors in two     S1 = S(1:m-1, :) and S2 = S(2:m, :)                                                     compute P via LS (MATLAB's backslash operator)P = S1\S2는 P w = 각도(eig(P)) / (2*pi*elspacing) doa=asind(w) %의 고유값의 각도를 찾아 아크신을 도 단위로 하여 doa 각도를 반환한다.

참고 항목

• 독립 성분 분석

참조

추가 읽기

• Paulraj, A.; Roy, R.; Kailath, T. (1985), "Estimation Of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques - Esprit", Nineteenth Asilomar Conference on Circuits, Systems and Computers, pp. 83–89, doi:10.1109/ACSSC.1985.671426, ISBN 978-0-8186-0729-5, S2CID 2293566.
• Roy, R.; Kailath, T. (1989). "Esprit - Estimation Of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques" (PDF). IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 37 (7): 984–995. doi:10.1109/29.32276..
• Ibrahim, A. M.; Marei, M. I.; Mekhamer, S. F.; Mansour, M. M. (2011). "An Artificial Neural Network Based Protection Approach Using Total Least Square Estimation of Signal Parameters via the Rotational Invariance Technique for Flexible AC Transmission System Compensated Transmission Lines". Electric Power Components and Systems. 39 (1): 64–79. doi:10.1080/15325008.2010.513363. S2CID 109581436.
• Haardt, M, Zoltowski, M. D., Mathews, C. P., & Nossek, J. (1995, 5월)효율적인 2D 매개변수 추정을 위한 2D 단일 ESPRIT.icassp (pp. 2096-2099).IEEE